逻辑代数中的三种基本运算.pdf

第2章逻辑代数中的三种基本运算、基本概念逻辑：事物的因果关系数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻 辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究 工具是逻辑代数（布尔代数）。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母A、B、C、表示，逻辑变量的取值只有两种,即逻辑0和逻辑1。0和1称为逻辑常量。但必须指 出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义，它们并 不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表 事物矛盾双方的两种对立的状态。二、基本逻辑运算2.“与”运算“与”运算又称“与”逻辑、“逻辑乘”。与运算：决定事件发生的各条件中，所有条件都 具备，事件才会发生（成立）。我们把 这种因果关系称为与运算。ABCY0规定：开关合为逻辑“产 开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“产 灯灭为逻辑“0”与逻辑运算规则：0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=12.“或”运算“或”运算又称“或”逻辑、“逻辑加”。或运算：决定事件发生的各条件中，有一个或一 个以上的条件具备，事件就会发生（成 立）。我们把这种因果关系称为或运算。开关合为逻辑“1”开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑“0”与逻辑运算规则：0+0=01+0=10+1=11+1=13,“非”运算“非”运算又称“非”逻辑、“反相运算”、“逻辑否定”。非运算：决定事件发生的条件只有一个，条件不具 备时事件发生（成立），条件具备时事件 不发生。我们把这种因果关系称为非运算。规定:开关合为逻辑“产 开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“产 灯灭为逻辑“0”非逻辑运算规则：1=。，0=1三、几种常用的复合逻辑运算与非 或非 与或非Y=AB 丫=布 标二Y=AB+CD异或y二/8同或Y=AQB逻辑代数的运算公式和规则公理、定律与常用公式L公理 交换律 遇食律 分配律 上1律 自等律I 互补律|A 0=0A,1=AA,A=0A-A=AA-B=A+BA=A.A,B+A,B=AA+1=1A+0=A A+A=l A+A=AA+B=ABA+A,B=A(A+B)(A+B)=AA (A+B)=AA+A,B=A+B A,(A+B)=A B AB+AC+BC=AB+AC _(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)重叠律 当律 还原律 合并建 吸咚建 消因律 包含律 2.3逻辑代数的基本公式和常用公式根据与、或、非的定义,得表2 3.1为布尔恒等式序号公 式序号公 式101=0;0=1104=0111+A=A214=4120+A=A3AA=A13A+A=A4AA=Q14A+A=A5A9B=B9A15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8AB=A+B18A+B=AB9A=A公式(17)的证明(公式推演法)：右=(A+3)(A+C)=A(1+B+C)+BC=A+AB+AC+BC真值表法：=A+BC=左ABCBCA+BCA+BA+C(A+B)(A+C)00000000001000100100010001111111100011111010111111001111111111112.3.2若干常用公式序号 21公 式2223A+AB=A+BAB+AB=A24A(A+B)=A2526AB+AC+BC=AB+AC AB+AC+BCD=AB+AC Tabab；ABA2.原变量的吸收：A+AB=A长中含短,留下短。证明:A+AB=A(1+B)=A1=A 利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：AB+CD+ABD(E+F)=AB+CD2.反变量的吸收:长中含反，去 掉反。例如:A+AB=A+B证明:A+BA+IABC+DE=A+BC+DE被吸收3.AB+AB=A4.A(A+B)=A证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB=A5.混合变量的吸收：AB+AC+BC正负相对,余全完。AB+AC-证明：AB+AC+BCBC+ABC=AB+AC-K(A+A1BC=AB+AC吸收=AB+ACB+A例如:BCD=CAB+AC+O+BCD二 AB+AC+Sc3=AB+AC注2.A+B=A+C匚B=C逻辑加与代数加不同 如 A=B=1,C=0注2.AB=AC 蛤B=C逻辑乘与代数乘不同 如 A=C=O,B=1作业：2.1(4),2.2(2),2.3(4)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若 以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则 等式仍然成立。例：代入定理证明德摩根定理也适用于多变量的情况。解：A+(B+C)=A(B+C)=A B CA(B C)=A+(B C)=A+B+C注意:在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需遵守 与普通代数一样的运算优先顺序，即先括 号里的内容，其次算乘法，最后算加法。2.4.2反演定理对任意一个逻辑式Y,若将其中所有的换成“+”，换成“”，。换成1,1换成0,原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到 的结果就是Y的反函数Y。一 注章：；而需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算 优先次序2.不属于单个变量上的反号应保留不变。例：已知 Y=A(B+C)+CD,求 V。解：根据反演定理可写出Y=(A+BC)(C+D)=AC+BC+AD+BCD=AC+BC+AD例：若丫 二人豆+口+(3,求V。解：根据反演定理可写出Y=(A+B)C D C2.4.3对偶定理若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。所谓对偶式是这样定义的：对于任何一个逻辑式Y,若将其中的换成“+”，换成，0 换成1,1换成0,则得到一个新的 逻辑或这 个就叫做Y的对偶式。例：试用对偶定理证明下式：A+BC=(A+B)(A+C)解：根据乘法分配律，有A(B+C)=AB+AC根据对偶定理可知：原等式得证。2.5逻辑函数及其表示方法比赛规则：主裁判（A）同意，两名副裁判（B、C）中至少有一名同意，试举才成功，指示灯（丫）亮。若以1表示开关闭合，0表示开关断开；以1表 示灯亮，0表示灯暗，则指示灯Y是开关A、B、C的二值函数，即Y=A,B,C）2.5.2逻辑函数的表示方法真值表、逻辑函数式、逻辑图、波形图、卡 诺图。各种表示方法之间可以相互转换。（1）真值表输入变量A B。遍历所有可能的输 入变量的取值组合输出Y1 Y2输出对应的取值(2)逻辑函数式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非 的运算式表示就得到逻辑式。(3)逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑 电路的实现相对应。(4)波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间 顺序排列起来画成时间波形。(5)卡诺图举例：举重裁判电路0Yy=A(B+C)ABCY00000010010001101000101111011111各种表现形式的相互转换2.真值表一逻辑式例：奇偶判别函数的真值表4R,庐1,31 使 ABC工 月，84),Ch 使 ABC 彳口,8,00 使 ABC=A这三种取值的任何一种都使上1,所以 上？ABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 122LL L o2.真值表口 逻辑式 找出真值表中使 上1的输入变量取值组合 每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。将这些变量相加即得匕(4)把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y,列表2.逻辑式 逻辑图用图或符号性笆箜啰省第里曹里算符。_(2)为赢又到羸由蜀海屈等不函拓存号灯冠的逻辑运算式。y=A(B+C)A+B+A+BAB=AB+AB二43AA+B=(A+B)(A+B)2.5.3逻辑函数的两种标准形式最小项之和 最大项之积最小项勿：m是乘积项 包含日因子 个变量均以原变量或反变量的形式在切中出现一次对于n变量函数 有2n个最小项最小项举例:两变量4 5的最小项AB,AB,AB,AB（22=给）三变量4 B,幽最小项ABC,ABC,ABC,ABCABC,ABC,ABC,ABC（23=阶）最小项的编号:取小项取值对应十进制数编号ABCABC0 0 00m0ABC0 0 11叫ABC0 1 02m2ABC0 1 13_ _m3_ABC1 0 04二 二ABC1 0 15m5ABC1 1 06加6ABC1 1 17加7最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1。任何两个最小项之积为0。两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子,只留下公共因子。-相邻：仅一个变量不同的最小项如 ABCABCABC+ABC=AB(C+C)=AB逻辑函数最小项之和的形式:例：y(A/,C)=ABC+BC=ABC+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC=ZW 3,6/7)最大项:对于变量函数 2个碳;或项。包含日因子。个变量均以原变量或反变量的形式在附出现 一次。如：两变量4比勺最大项A+B,4+5,A+B,A+B（2?=妗）三变量函数的最大项:变量的各组取值ABC对应的最大项及其编号最大项编号0 0 00 0 10 100 1110 010 1110111A+B+C A+5+仁 A+F+C A+F+A+B+C A+B+A+F+C A+B+M%M 2 M 3 m4 M 5 m6 M 7最大项的性质在输入变量任一取值下,有且仅有一个最大项的 值为0。全体最大项之积为0。任何两个最大项之和为1o 只有一个变量不同的两 个最大项的乘积等于各 相同变量之和。最小项与最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系即：叫二Mj Mj=而 若干个最小项之和表示的表达式F,其反函数F可 用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。例：F=ni1+m3+m5+m7F=+m.+ms+m7=m3 m5 in7=Mx M3 M5 M7逻辑函数的标超强二键积项均为最小项标准积之和（最小项）表达式例：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式解：从真值表找出F为1 的对应最小项然后将这些项逻辑加F（A、B、C）=ABC+ABC+ABC+ABC=m3+m5+m6+m7=Zm（3、5、6、7）2.6 逻辑函数的公式法化简逻辑函数“最简”的标准与函数本身的类 型有关。类型不同，“最简”的标准也有所不 同。这里以最常用的“与或型”表达式为例来 介绍“最简”的标准。F=ABC+ABC+ABC+ABC一般而言，“与或型”逻辑函数需要同时满 足下列两个条件，方可称为“最简”：(1)或项最少，即表达式中号最少；(2)每个与项中的变量数最少，即表达式中“”号最少。2.并项法利用公式|ab+aF=a将两项合并为一项,消去一个变量。例:试用并项法幽下列逻辑函数丫1=ABCD+ABCDY2=AB+ACD+AB+ACD：YX=ABCD+ABCD=A 5CD+BCD)=Ay2=+acd|+|A)+AcdI=A(B+CD)+A(B+CD)=B+CD2.吸收项法利用公式A+AB=A利用吸收律和包含律 AB+AC+BCD=AB+AC差套关公贵亲减少后 a f a n 项数。A+AB=A+B例1:试用吸收法化简下列逻辑函数解:K=(AB+C)ABD+AD=(AB+C)BAd|+AD=ADY2=AB+ABC+ABD+AB(C+D)=AB+|aB(+D+D)|=ABY3=A+A BC(A+BC+D)+BC=(A+BC)+(A+BC)(A+BC+D)=A+BC例2:试用消项法化简下列逻辑函数=AC+AB+B+C=AC+AB+BC=AC+BCY2=ABCD+ABE+ACDE=(AB)CD+(A)E+(CD)(E)A=ABCD+a5e例3：试用消因子法化简下列逻辑函数解：Yj=B+ABC=B+ACY,=AB+B+AB=A+B+AB=A+BY3=AC+AD+CD=AC+(A+C)D=AC+ACD=AC+D3.配项法(1)利用公式I A+A=A-例：试化简逻辑函数 Y=ABC+ABC+ABC解：Y=(ABC+ABQ+(ABC+ABQ=AB(C+C)+BQA+A)=AB+BC(2)利用公式 A+A _例：试化简逻辑函数Y=AB+AB+BC+BC解：_ _ _Y=AB+AB+BC+BC=AB+AB(C+C)+BC+(A+A)BC=AB+ABC+ABC+BC+ABC+ABC=(AB+ABC)+(BC+ABC)+(ABC+A BC)=AB+BC+AC4.综合法在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。例1:化简逻辑函数 _ _ _Y=AD+AD+AB+AC+BD+ABEF+BEF解：_ _ _=A+AB+AC+BD+ABEF+BEF（利用 A+A=l）=A+AC+BD+BEF（利用4+ab=a）=A+C+BD+BEF（利用 a+M=A+B）例2:化简逻辑函数Y=AB+AC+BC+CB+BD+ra+ADE(Fi-G)角单：Y=ABC+BC+CB+BD+DB+ADE(F+G)(利用反演律)=A+BC+CB+BD+DB+ADE(F+G)(利用=)=A+BC+CB+BD+DB(利用 4+45=4)=A+BC(D+D)+CB+BD+DB(C+C)(配项法)=A+BCD+BCD+CT+BD+DBC+OTC=A+BCD+CB+BD+DBC(利用 4+4E=4)=A+CD(B+B)+CB+BD=A+CD+CB+BD(利用 a+a=i)例3:化简逻辑函数Y=AGBC+ro+CD+A(B+C)+AB(D+DE解：Y=AC+BC+BD+CD+A(B+C)+AB+ABDE=AC+BC+BD+CD+A(BQ+ABDE=AC+BC+BD+CD+A+ABDE=A+BC+BD+CD =A+BC+BD例4化简逻辑函数L=+解法 1：_ _ _L=AB+BC+BC+AB+AC（噌加冗余项 AC：=AB+BC-AB+AC（消去1个冗余项）=3CABAC（再消去1个冗余项/百）解法2:_L=AB+BC+BC+AB+1C（噌加冗余互配）二麻+B守+知+而（消去1个冗余项百C）=AB+BC+AJ（再消去1个冗余项初）由上例可知，逻辑函数的化简结果不是唯一的。公式法化简优点是：不受变量数目的限制。缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运 用各种公式和定理；在化简一些较为复杂的 逻辑函数时还需要一定的技巧和经验；有时 很难判定化简结果是否最简。作业：2.8(7)、(9)2.9(C)2.10(4)2.7 逻辑函数的卡诺图化简法2.逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方 式表示出来。以2n个小方块分别代表n变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的 两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变 量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺 图。(1)表示最小项的卡诺图二变量卡诺图 三变量卡诺图五变量的卡诺图CDEab ooo ooi on oio no in 101 100001110m0m2由6mT叫叫机9！1f 4机15刖加12用25崔27机26加30机31加29雨28加16ml7W19傩8部以机23用21制为(2)用卡诺图表示逻辑函数将函数表示为最小项之和的形式。在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1,其余地方填0。与或式的卡诺图表示.直接将表达式的与项或“最小项所对应的方格标以2.其它形式函数的卡诺图表示要转换成与 或式再在卡诺图上表示。例1:F(A,B,C)=AC+AB+BC+ABC可表示为:例2:用卡诺阿将逻矍函婺 _Y=ABCD+ABD+ACD+AB解：道先将Y名为最/期三和的形百Y=ABCD+AB(C+C)D+A(B+B)CD+AB(C+C)(D+D)=mx+m4+m6+m8+m9+m10+mn+m15Y=m1+m4+m6+m8+m9+m10+mn+m15例3:已知逻辑函数的卡诺图如下图所示，试 写出该函数的逻辑式。、BC4 00 01 11 1001011010解：Y=ABC+ABC+ABC+ABC2.用卡诺图化简逻辑函数 依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同 因子。在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直 观地反映出来。合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子。四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消 去两对因子。八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子。二变量卡诺图的典型合并情况三变量卡诺图的典型合并情况D4队 00 01 11 10四变量卡诺图的典型合并情况00011110gDAB00 01 11 1000011110O.若两个最小项相邻，则可合并为一项并消 去一个因子，合并后的结果中只剩下公共因子。QAB 00 01 11 100001111000000000000000.若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则 可合并为一项并消去二对因子。合并后的结果中 只包含公共因子。aboo 01 n io A#00 01 n io0000000000000100000111001100001000100000011110aboo 01 11 10000001000100010001CDAB00 01 11 1000111001000010010000001110(丁10LF=(A,B,C,D)=AC+ABC+ABD或 F=(A,B,C,D)=AC+ABC+BCD例：用卡诺图把逻辑函数F(A,B,C,D)=M(3,4,6,7,11,12,13,14,15)化简成最简域与裳达式。解：尸(A,8C,Q)=riM(3,4,6,7,n,12,13,14,15)=M+A2+3+4+5=mi+m4+叫+吗2+吗3+叫4+叫5二 En(0125,8,910)F=2m(0,1,2,5,8,9J0)CDAB 00 01 11 1000011110110110rp1101F(A,B,C,D)=CD+AB+BDF(A,B,C,D)=CDTAB+BD=(C+D)(A+B)(B+D)2.8具有无关项的逻辑函数及其化简1）、约束项例如，有三个逻辑变量A、B、C,它们分别代表一台电动机的正转、反转和停止的命 令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。ABC的取值只可能是00是010、100当中的某一种，而不能是000、011、101、而不111中的任何一种。因此，A、B、C是一组具 有约束的变量。可写成：ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=0约束项：恒等于0的最小项2）、任意项有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。任意项：在某些变量取值下，其值等于1或等于0的那些最小项称为任意项。3）、无关项约束项和任意项统称为无关项o讨论：2.在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0,所 以既可以将约束项写进逻辑函数式中，也可以将约束项从 函数式中删掉，而不影响函数值。同样即可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输入变量的取值使这些任意项为时，函数值是如是0 无所谓。2.在用卡诺图表示逻辑函数时，首先将函数化为最小项之 和的形式，然后在卡诺图中这些最小项对应的位置上填入lo 既然可以认为无关项包含于函数式中，也可以认为不包含在 函数式中，那么在卡诺图中对应的位置上就可以填入1,也 可以填入a为此，在卡诺图中用x表示无关项。在化简逻 辑函数时既可以认为它是1,也可以认为它是a、无关项在化简逻辑函数中的应用例：化简具有约束的型辑函数Y=ABCD+ABCD+ABCD给定约束条件为：ABCD+XBD+AB CD+ABCD+ABCD+ABC D+A B C D=0解：采用公式化简法 _Y=(ABCD+ABCD)+(ABCD+ABCD)+(ABCD+AB CD)+(ABC D+ABCD)=(ABD+TBD)+(A CD+AC F)=A D+A D例：化简具有约束的翼辑函数Y=ABCD+ABCD+ABCD给定约束条件为：ABCD+XBD+AB CD+ABCD+ABCD例:试化简逻辑函数丫=ACD+ABCD+ABCD 已知约束条件为 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABC D+ABCD=0解：卡诺图化简法说明:采用画1的包I圈化简，结果通常为与或表示式。若要求用其他形式表示怎么办?常用的逻辑函数表达式有五种:画1的包I1与或:圈直接得出;2、与非-与非：画1的包圈，再运用反演律变换得出;3、与或非：画0的包圈直接得出;4、或与：画。的包围圈，再运用反演律变换得出;5、或非-或非:画。的包,再两次运用反演律变换得出。例：将就简后，变换为“与非当非”形式。F(A,BC D)=Z m(l,579,15)+3局11J 4)F(A,B,C,D)=AD+CD+BD 与或形式 即：F(A,B,QD)=AD+CD+BD=AD CD BD I 与非电非”形三例：将就简后，并变换为“或与”、“或非诫非”梅猾 BCD)=确(1,579”)+(3 局 11,14)ABC式（、（9（）D 3 D/I 3 6 7 o 1112 作 2 2 2 2