第八章matlab数值积分与微分.ppt

*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第八章,MATLAB,数值积分,与微分,5/24/2025,1,数值积分,数值微分,5/24/2025,2,8.1,数值积分,8.1.1,数值积分基本原理,求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生,(Simpson),法、牛顿柯特斯,(Newton-Cotes),法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间,a,b,分成,n,个子区间,xi,xi+1,，,i=1,2,n,，其中,x1=a,，,xn+1=b,。这样求定积分问题就分解为求和问题。,5/24/2025,3,8.1.2,数值积分的实现方法,1.,变步长辛普生法,基于变步长辛普生法，,MATLAB,给出了,quad,函数来求定积分。该函数的调用格式为：,I,n,=,quad(fname,a,b,tol,trace,),其中,fname,是被积函数名。,a,和,b,分别是定积分的下限和上限。,tol,用来控制积分精度，缺省时取,tol,=0.001,。,trace,控制是否展现积分过程，若取非,0,则展现积分过程，取,0,则不展现，缺省时取,trace=0,。返回参数,I,即定积分值，,n,为被积函数的调用次数。,5/24/2025,4,(1),建立被积函数文件,fesin.m,。,function f=,fesin(x,),f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);,(2),调用数值积分函数,quad,求定积分。,S,n,=quad(fesin,0,3*pi),S=,0.9008,n=,77,例,8-1,求定积分。,5/24/2025,5,2.,牛顿柯特斯法,基于牛顿柯特斯法，,MATLAB,给出了,quad8,函数来求定积分。该函数的调用格式为：,I,n,=,quadl(fname,a,b,tol,trace,),其中参数的含义和,quad,函数相似，只是,tol,的缺省值取,10-6,。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于,quad,函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,5/24/2025,6,(1),被积函数文件,fx.m,。,function f=,fx(x,),f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*,cos(x,);,(2),调用函数,quadl,求定积分。,I=quadl(fx,0,pi),I=,2.4674,例,8-2,求定积分。,5/24/2025,7,例,8-3,分别用,quad,函数和,quadl,函数求定积分的,近似值，并在相同的积分精度下，比较函数,的调用次数。,5/24/2025,8,3.,被积函数由一个表格定义,在,MATLAB,中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用,trapz(X,Y,),函数。其中向量,X,Y,定义函数关系,Y=,f(X,),。,例,8-4,用,trapz,函数计算定积分。,5/24/2025,9,8.1.3,二重定积分的数值求解,使用,MATLAB,提供的,dblquad,函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：,I=,dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace,),该函数求,f(x,y,),在,a,bc,d,区域上的二重定积分。参数,tol,，,trace,的用法与函数,quad,完全相同。,5/24/2025,10,例,8-5,计算二重定积分,(1),建立一个函数文件,fxy.m,：,function f=,fxy(x,y,),global,ki,;,ki,=ki+1;%,ki,用于统计被积函数的调用次数,f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y);,(2),调用,dblquad,函数求解。,global,ki;ki,=0;,I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1),ki,I=,1.57449318974494,ki,=,1050,5/24/2025,11,8.2,数值微分,8.2.1,数值微分的实现,在,MATLAB,中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数,diff,，其调用格式为：,DX=,diff(X,),：计算向量,X,的向前差分，,DX(i,)=X(i+1)-X(i),，,i=1,2,n-1,。,DX=,diff(X,n,),：计算,X,的,n,阶向前差分。例如，,diff(X,2)=,diff(diff(X,),。,DX=,diff(A,n,dim,),：计算矩阵,A,的,n,阶差分，,dim=1,时,(,缺省状态,),，按列计算差分；,dim=2,，按行计算差分。,5/24/2025,12,例,8-6,生成以向量,V=1,2,3,4,5,6,为基础的范,得蒙矩阵，按列进行差分运算。,例,8-7,用不同的方法求函数,f(x,),的数值导数，,并在同一个坐标系中做出,f(x,),的图像。,5/24/2025,13,