高中数学求函数值域的7类题型和16种方法.pdf

求函数值域的7类题型和16种方法一、函数值域基本知识1.定义：在函数）=/（九）中，与自变量X的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫 做函数的值域（或函数值的集合）。2.确定函数的值域的原则当函数y=fM用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数y=fM用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；当函数y=f（x）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数y=fM由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。一般地，常见函数的值域：1.一次函数y 二丘+6。，。）的值域为R.2.二次函数y=依2+法+。（wO）,当a 0时的值域为-,+oo,当a。且 w 1）的值域为yy 0）.5.对数函数y=log（。且，1）的值域为ha6.正，余弦函数的值域为Li4,正，余切函数的值域为R.三、求解函数值域的7种题型题型一：一次函数=办+5（。）的值域（最值）1、一次函数：当其定义域为尺，其值域为R；2、一次函数 =依+4，。）在区间上的最值，只需分别求出/（机）,/（），并比较它们的 大小即可。若区间的形式为（-8,1或Cm,”）等时，需结合函数图像来确定函数的值域。题型二：二次函数/（X）=X2+法+（。0）的值域（最值）-4i G0）41、二次函数/（X）=QX2+X+C（Q。0），当其定义域为R时，其值域为空卫（。时，/（一二）是函数的最小值，最大值为“如，/中较大者；2a 2ab当.a(2)若xwtm,时，我们把原函数变形为x=4z型，然后利用工m,n(即x的有界性)，便 ciy-c可求出函数的值域。例3：函数)=与二.的值域为1-,1 b,+s)；若xwha时，其值域为。3 2%-1-I 3J -5 11-H-例4：当工(311时，函数=2之的值域 4,1。(2)已知/(x+l)=g二士，且 2x+l-2J-2-xxe-3,2),则/G)的值域为00,.2sin x-1(1 r_ 例品函数的值域为一 一叫三加+；若尤71 3兀I，T,其值域为,1 22?3dx2+CX+C题型四：二次分式函数y=-的值域ax2+bx+c一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题：检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；闭区间的边界值也要考查达到该值时的X是否存在；分子、分母必须是既约分式。2例6：X2+X-1(1.+oo)I 009 例7：X2+x 2例8：3xy=-X2+43 34?4例9：x-1求函数X(l,+oo)的值域w 17解：由原函数变形、整理可得：yx2+(2y l)x+y+l=。求原函数在区间(-1,+8)上的值域，即求使上述方程在(-1,+8)有实数解时系数y的取值范围当y=。时，解得：x=le(-l,+oo)也就是说，y=。是原函数值域中的一个值当yw。时，上述方程要在区间(-L+00)上有解，0即要满足了(1)。或12y-l 1 12y解得：O综合得：原函数的值域为:题型五:形如y=+的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。例10：求函数y=2x+4、厅二在匚8,1时的值域-4,4题型六：分段函数的值域：一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函 数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。y=|x-1|+|x+2|例11：3,+00)例 12：y=一12+4a+1 1-00,5 J题型七：复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的 值域逐层向外递推。0,2例4：y=+3x+4四、函数值域求解的十六种求法(1)直接法(俗名分析观察法)：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量 x的范围出发，推出y=/(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值 域的方法。注意此法关键是定义域。例1：已知函数丁=1-1)2-1,xg 1,0X2),求函数的值域。-1,0,3)例2：求函数y=f+1的值域。口,+8)例 3：求函数y=Jx1+Jx+L(xNl)的值域。VX+oo)例4：求函数y=Jx2+6x+10的值域。1,+8)(2)配方法:二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如y=依2+法+c Q，。)或尸(Q=+bf(x)+。W。)类的函数的值域问题，均可使用配方法。例1.求函数y=，2X X2+3的值域。分析与解答：因为2x X2+320,即一3VxVl,y-+1)2+4,于是：0 4(x+1)2+4 44,0y2o42+2%+4 例2.求函数y=一在区间代匕,4的值域。/2+2x+4 4c（/分析与解答：由）=-配方得：y=x+_+2=Gx x 2 T）+6,1 4 1当 V九42时，函数y=x+2是单调减函数，所以6y18；4%44当24x4时，函数y=x+2是单调增函数，所以所以函数在区间X G 1,4的值域是6 V y 一丁解得2%=1,1+2%1+y1 V.2%0,-0,-ly无最小值。2 8 max 4,函数y=2x+5/1-2%的值域为(-Q0,1 o例 2.求函数 y=(X2-5%+12)(x2-5%+4)+21 的值域。分析与解答：令，=%25x+42 9 9-则，4。y-tQ+8)+21=t?+8%+21 G+4、+5,当.2 ：时，y=(於+41+5=8-1,值域为4 min I 4 J 16 I 16 J例3.求函数y=x+，10 x 冗2 23的值域。分析与解答：由 y=x+JlOx-23 二 x+、/2-Q-5,令 x-5=J5 cos6,因为2 Q 5)2 2 0n 2 2cos20 0-1 cos0 1,。0,兀,贝x/2-G-5 y/2sin0,于是 y=7笃sin。+2 cos0+5=2sin|0+|+5,0+e,-,I 4 J 4 4 4sinfo+KI 4 U(Q、不同时为零)的函数的值域，通常转化成关于x的二次方a x2+b x+c 1 2222程，由于方程有实根，即A20从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行 讨论。注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。X2 一元+3例L求函数)=-7的值域。X2-X+1%2 一犬+3解：由 y=-变形得(y _ 1)九2 _(y_l)x+y 3=0,X2-x+l当y=l时，此方程无解；当 ywl 时，龙 氏，.，A=(y 1)24(y l)(y 3)2 0解得iVyV?,又 ywl,.lyV?函数y=一？的值域为田1 0,Z?0).当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。例1：求函数y=x Jl-2x的值域。解：:当元增大时，1-2兀随元的增大而减少，-Jl-2x随元的增大而增大,函数y=X /1 2%在定义域(00,上是增函数。函数y=%-J1-万的值域为(-00,-o例2.求函数y=x+1在区间X(0,+oo)上的值域。分析与解答：任取元，X e(0,-H2o),且九x,则f(x)-/(x)=%1 2X z vt X 17q.,因为0 x%,所以：x-x 0,当 0,则 f(x)f(x)；当 0 x x 1 时，x x-1 0-,_分析与解答：因为-ixif而炉7与71=在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数gQ）=、厅，易知g（x）在定义域内单调增。g=gG）=ji,maxg=g（-l）=-V2,n|g（x）j2,0 g2（x）2,min又/2（x）+g2（x）=4,所以：2 f2（x）4,2 f（x）0/。；+6（或Qb）为定值；取等号成立的条件。.三个条件缺一不可。止匕外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧，k添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，比如求函数y=x+（k4,ncN）的值域。Xn x+2例i求函数7 十二的值域.解：y=a=JX+1+-22,当且仅当x 二 l时二”成立.故函数的值域为ys2,+8）.7X+1、X+1此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程.2 _|例2：求函数的值域：尸工I解：户卞12x2-x+1 x（2x-l）+l2x-l11 1 9 1=x+-=x +-+2x-l 2 1 2%-2xi,.,x-l02 21 2 1+J2当且仅当-=V时，即犬=时等号成立，X-2/.yV2+1,所以元函数的值域为例 3.求函数 y 二(SH1 X+)2+(COSX+5)2-4 的值域。sin y cosx解：原函数变形为：y=(sin.2 x+cos2 x)十一g十一 sin x cos x=1+ces2x+sec2 x=3+tan2 x+cot2 x 3Vtan2 x cot2 x 4 2=5当且仅当跖n父=nntx即当x=r士工时(kaz),等号成立4故原函数的值域为：f5,+s)例4.求函数y=2sin裳sin2x的值域。解：y=4sin xsin xcos=4 1册n/七口,官y=16 sin4 x cos2 x=8sin2 xsin2 x(2-2 sin2 x)8(sm2 x+sin2 x 4-2-2sin2 x)/3364=7 当且仅当正颐=2-2加2 x,即当2=士时，等号成立。3,a/64函&旧.,8相由y/正一可得：27 9，9Q 9故原函数的值域为：-手，子(10)函数有界性法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如y=sinx+c,由于正余弦函数都是有界函数,bcosx+d值域为-1,1,利用这个性质可求得其值域。42 1例L求函数尸皿的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为尺，对函数进行变形可得(y 1)X2=(y+1),y+1Tywl,.X2=Z_(xwR,ywl),y-iy+1.2 0,一1 y 1,sy-i%2 1函数y=门的值域为1形如since=f(yx2=g(y),因为卜ina|0,.,.-_-y 1 0 n y 1 或y -12cos x+1例3：求函数尸病E的值域。l3,+Q0)2-sin x例生求函数丁=，由的值域。r3100 U5(11)数型结合法:如果所给函数有较明显的几何意义(如两点间距离，直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由可联想到两点)与金，y)连 X-X 11 222 1线的斜率或距离。例1：求函数y=|x+i|+|x-2|的值域。2%+l(x 1)解法1：将函数化为分段函数形式：y=3(-1%2)值域是y|y23。解法2(几何法或图象法)：,函数y=|x+l|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,易见y的最小值是3,函数的值域是3,+oo0如图-。4。6 d-d。4 d-4 0 4 4 0Ax-1 O 1 2-1 Ox 1 2-1 O 1 2x)例2.求函数y=Jx2+4x+5+&24x+8的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为/=J(x+2”+1+J(x 2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,个单位正方形。设HK=x,则EK=2-x,KF=2+x,AK=-2+22,KC二6+2+l。再切割成12:cE 75 F由三角形三边关系知，AK+KCNAC=5。a点共线时取等号。原函数的知域为y|y5)o例3.求函数y=Jl+x+1x的值域。解析：令=/l+x,一=J1-x,则2+口2=2,直线+v=y与圆“2+v2=2在直角坐标系的第一象限有公共点时由图1知：当+v=y经过点(0,J5)时，y=V2；fmin当直线与圆相切时，y=QD=(，霓)=2。max所以，值域为、5yW2 J2,_1_ F例 4.求函数 y=Jx26x+13-Jx2+4x+5 的值域。解：将函数变形为y=J(x-3)2+(0-2)2-J(x+2)2+(0-1)2B 当A、K、C三+v=y,原问题转化为：当,求直线的截距的取值范围。上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点5(-2,1)到点P(x,O)的距离之差。即 y=AP-BP由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P,则构成AABP,根据三角形两边之差小于第三边，有忸月-旧叫=J(3+2+(2-1)2=V26即一后 y 173%+1 3%+1 t/tl/.0 1 10 y =、口6 X2的值域。(2)求函数)=1的值域。解析:016-%2 16,/.0 口6-X2 0,.原函数可化为(犬2+1)二九2 3,即元2(1y)=y+3,当ywl时,%/X2 o,22L1 0,解得一 i-y 1-y又 ywl,所以3Vy0；其次，/(%)是函数/(x)=yb-x 与/(x)=lx-a 的和；1 2最后,-a+2-x)(x-)-b-a+2JX2+(a+b)x-ab可见，函数/(x)满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对/(x)平方、开方得/(x)=yjb-a+2J-X2+(q+b)x-ab(xea,b),这里，g(x)=2J-42+(a+b)x-ab(xa,b).对 g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域为04-0.于是，/(幻的值域为 a).例 2 求函数-+kx-a(xg,a0)的值域.k k解：显然，该题就是例1的推广，且此题的/(x)也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对/(%)平方、开方得/(x)=Jb-a+2J-k2x2+k(a+b)x-ab(x g).这 里，y k kg(x)=2J-2%2+k(a+b)x-ab(xg-,-).对g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得 k kg(x)的值域仍为0/-于是，/(x)的值域也仍为打二 J2s-).例 3 求函数/(x)=lsinxl+lcosxl(xe7?)的值域.解:参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对/(X)平方、开方得了(X)=sin2x1(XH).这里，g(x)=1 sin2x1(xeH).易知，g(%)的值域为0,1.于是，/(x)的值域为口,点.例 4 求函数/(x)=|sinx+cosx|+|sin x-cos x|(x w R)的值域.解:参照例1的验证步骤，显然，此题的/也满足了采用“平方开方法”的三个特征于是，对了 平方、开方得/(x)=j2+2lcos2xl(xeA).这里,g(x)=21 cos2xl(x w A).易知，g(x)的值域为0,2.于是，/的值域为立2.例5求函数y=75一3+J5 X的值域解：(平方法)函数定义域为：e h,5y2=(%-3)+(5-x)+2，-X?+8x 15由 x,51，-x2+8x-15gIo,1产 G b/d r-1原函数值域为!泛,2平方法)函数定义域为：e b,5y2=(%3)+(5 x)+2.x2+8x 15由九sb,51，1-x2+8x-15gIo,1二.丁2 G t,4 r-1原函数值域为j2,2(16)映射法原理：因为y=ax+b(cwo)在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范 cx+d围，就可以求另一个变量范围。例1.求函数y=lZ主的值域。2x+l解：,定义域为x I X 一；或X一；,由y=l-3x2x+l得知三故乂 二i-y 2y+3或*=21-y 1.-2y+3 2解得y -故函数的值域为18,-|U|,+8)(17)其他方法其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上,其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及 一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法 的能力。例1.求函数丫 Jx+2的值域。x+3解：令 t=Jx+2(t 0),贝1Jx+3=t2+lV-t _ 1 1 1(1)当t0时，r 2,当且仅当匕1,即x=i时取等号，所以0y_Lt+J 2t(2)当 t=0 时,y=0o综上所述，函数的值域为：ki_ 2_注：先换元，后用不等式法例2.求函数y=1+XZ2xl+Xl+X4的值域。1+2x2+X4解:1 2x2+X4 X+X3 y=-+-1+2x2+X4 1+2x2+X41-X2)J+X2,X1+X2+n J X x=tan,贝U =cos2 B2 U+X2)X1+X2=lsin|32/.y=cos2 p+sinp=-sin2 p+-sinp+l=-I sin p-I+当 sin P=1 时,y=4 max 16当 sin|3=l 时，y=-2 min此时tanB都存在，故函数的值域为-2,U 2 16注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin p的有界性。例3.求函数）=2%（x0）的值域解：（图象法）如图，值域为6,11A x+2x例4.求函数y=的值域解（复合函数法）：令彳=_%2+2%=_（%_1）2+1,则 y=（r 1）由指数函数的单调性知，原函数的值域为g,+8例5.求函数）=X+J1-X2的值域 解（三角代换法）：.-1X1，设 x=cosO 0 g Io,ky=cosO+|sin0|=cosO+sin0=*sin(0.原函数的值域为1,、笃+,上”小结：(I)若题目中含有同VI,则可设JT TTa=sin0-0 (或设q=cosO,0 0 7i)(2)若题目中含有Q2+Z72=1则可设。=cos。，/?=sin。,其中0。2兀(3)若题目中含有71%2,则可设x=cos,其中0V 71(4)若题目中含有Jl+%2,则可设x=tan,其中；0 0,y 0,r 0),则可设x=Vr cos20,y=JFsim。其中%2 1 X.例6、求函数y=-的值域X2+1-ZZ_1+V 解法一：(逆求法)=42=：1 0-1 y 1)X2+1 t2/tl/.0 2-1 y +O/+y+l=O1)y=l时不成立2)ywl 时，A 0 0-4(y-l)(y+l)O-lyl/.-1 y 1综合 1）、2）值域yl-lVyl八八 兀兀、解法四：（三角代换法）V X G 7?设犬=tan。0七一万，2，则y=-tan2=-cos20 20 e Ctt，兀)cos20 g Cl,111+tan2原函数的值域为yl-ivy/X+A),如 A此时图 X*-=88 cm,宽 入 x=X 88=55 cm A 82 3 2 3如果入金士,三,可设*W入入W2,3 4 3 1 2 4则由S的表达式得S(X)-S(X2)=44V10(8=44vW(-；r)(8-_f=)又质2故8-万亍0,J o 7人人21 22 3S(入)s(入)0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当 a二时，f(x)=x+22 lxf(X)在区间1,+8)上为增函数,7f(x)在区间1,+8)上的最小值为f，2解法一在区间1,+8)上,f(x)二x2+2x+q0恒成立u X2+2x+a0恒成立设 y=X2+2x+a,x 1,+8)*.*y=X2+2x+a=(x+1)2+a 1 递增,.当x=l时,y=3+a,当且仅当y=3+a0时,函数f(x)O恒成立,min min故 a 3解法二 f(x)=x+2,xG l,+8)当aNO时，函数f(x)的值恒为正；当a40时,函数f(x)递增，故当x=l时,f(x)=3+a,min当且仅当f(x)=3+a0时，函数f(x)O恒成立，故a 3 min例 3 设 m是实数,记 M=f(x)=log(X24mx+4m2+m+-)3 m-1(1)证明 当m$M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则mM(2)当mM时，求函数f(x)的最小值(3)求证 对每个meM,函数上(x)的最小值都不小于1(1)证明 先将 f(x)变形 f(x)=log (x-2m)2+m+1,3 m-1当 meM 时，ml,.(xm)2+m+0 恒成立，m-1故f(x)的定义域为R反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须X2 4mx+4iD2+m+0,令A0,即16皿一 m-14(4m2+m+)l,故 meM m-1(2)解 设 u=X24mx+4iD2+m+i,m-1,ynogsU是增函数，当u最小时，f(x)最小而 u二(X2m)2+m+i,m-1显然，当x=m时，u取最小值为m+m-1此时f(2m)=log(m+)为最小值3 m-1证明 当 idM 时，m+L=(m-l)+-+13,m-1 m-1当且仅当m=2时等号成立log(m+i)Nlog 3=13 m-1 3