高中数学选修22定积分的简单应用.doc

[学习目标]　1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.

知识点一　定积分在求几何图形面积方面的应用
1.求由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a＜b)及y＝0所围成的平面图形的面积S.
(1)如图①，f(x)＞0，f(x)dx＞0，所以S＝f(x)dx.
(2)如图②，f(x)＜0，f(x)dx＜0，所以S＝
＝－f(x)dx.
(3)如图③，当a≤x≤c时，f(x)≤0，f(x)dx＜0；当c≤x≤b时，f(x)≥0，f(x)dx＞0.所以S＝＋f(x)dx＝－f(x)dx＋f(x)dx.

2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)＞g(x))，直线x＝a，x＝b(a＜b)所围成平面图形的面积S.
(1)如图④，当f(x)＞g(x)≥0时，S＝[f(x)－g(x)]dx.
(2)如图⑤，当f(x)＞0，g(x)＜0时，S＝f(x)dx＋＝[f(x)－g(x)]dx.

3.当g(x)＜f(x)≤0时，同理得S＝[f(x)－g(x)]dx.
思考　(1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
(2)当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？
答案　(1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.

(2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)＝0，下边界函数为f(x)，所以
S＝(0－f(x))dx＝－f(x)dx.
4.利用定积分求平面图形面积的步骤：
(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；
(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)写出平面图形面积的定积分表达式；
(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案.
知识点二　定积分在物理中的应用
1.在变速直线运动中求路程、位移
路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b
所经过的路程s和位移s′分别为：
(1)若v(t)≥0，则s＝v(t)dt，s′＝v(t)dt.
(2)若v(t)≤0，则s＝－v(t)dt，s′＝v(t)dt.
(3)若在区间[a，c]上v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0，
则s＝v(t)dt－v(t)dt，s′＝v(t)dt.
2.定积分在物理中的应用
(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.
(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝F(x)dx.
思考　下列判断正确的是 .
(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；
(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子v(t)dt；
(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子v(t)dt.
答案　(1)(3)
解析　(1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用v(t)dt求解；当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为
－v(t)dt.所以(2)错(3)正确.

题型一　利用定积分求平面图形的面积问题
例1　求由抛物线y2＝，y2＝x－1所围成图形的面积.
解　在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.

方法一　以x为积分变量.
由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A，B.
设点P(1,0)，则所求面积S＝2
＝2＝.
方法二　以y为积分变量.
由可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A，B.
设点P(1,0)，则所求面积S＝2 (y2＋1－5y2)dy
＝2＝.
反思与感悟　若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.
跟踪训练1　在曲线y＝x2(x≥0)上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为.试求：切点A的坐标和过切点A的切线方程.
解　如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x得过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x.

令y＝0，得x＝即C.
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则S＝S曲边△AOB－S△ABC.
S曲边△AOB＝x2dx＝x3＝x，
S△ABC＝|BC|·|AB|＝·x＝x，
即S＝x－x＝x＝，所以x0＝1.
从而切点为A(1,1)，切线方程为y＝2x－1
题型二　运用定积分求解物理问题
例2　一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：
(1)此点在t＝4 s时的位置；
(2)此点在t＝4 s时运动的路程.
解　因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负.
(1)在t＝4 s时，该点的位移为
(t2－4t＋3)dt＝＝(m).
即在t＝4 s时该点在距出发点 m处.
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0，
∴该点在t＝4 s时的路程为
S＝(t2－4t＋3)dt＋＋(t2－4t＋3)dt
＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝4(m).
反思与感悟　解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分.
跟踪训练2　有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车.设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？
解　设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.
v0＝36 km/h＝10 m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t.
令v(t)＝0，解得t＝5.
所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s＝(10－2t)dt＝(10t－t2)＝25(m).
故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.
题型三　用定积分解决变力做功问题
例3　设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.
解　设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)＝kx(其中常数k为比例系数).
因为当f(x)＝100时，x＝5，所以k＝20.
所以f(x)＝20x.
弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，故所做的功
W＝20xdx＝10x2＝2 250(N·cm)＝22.5(J).
反思与感悟　(1)根据物理学知识，求出变力f(x)的表达式；(2)由功的物理意义知，物体在变力f(x)的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式W＝f(x)dx求出变力所做的功.
跟踪训练3　如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V1变为V2，求气体压力所做的功.

解　由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P＝(V表示气体体积，C为常数)，而活塞上的压力为F＝PQ＝＝(Q表示截面积，L表示活塞移动的距离，V＝LQ).
记L1，L2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有W＝F(L)dL＝dL＝CdV＝C(ln V)
＝C(ln V2－ln V1).
所以气体体积由V1变为V2，气体压力所做的功为C(ln V2－ln V1).

用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误

例4　求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积.
错解　由题意，作出图形如图

由得所以抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4)，
所以所求面积为S＝(6－x－)dx
＝
＝24－8－×＝16－.
错因分析　S＝(6－x－)dx
＝(6－x)dx－dx.
(6－x)dx表示由直线y＝6－x与直线x＝0，直线x＝4，直线y＝0围成的图形的面积，dx表示由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＝0，直线x＝4，直线y＝0围成的图形的面积.上述S显然不是所求图形的面积.
正解　S＝dx＋(6－x)dx
＝＋
＝＋
＝＋8＝.
防范措施　合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理.

1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有(　　)

S＝[f(x)－g(x)]dx　　S＝(2－2x＋8)dx
①　　　　　　　　　　　　②

S＝f(x)dx－f(x)dx　　S＝[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx
③　　　　　　　　　　　　④
A.①③ B.②③
C.①④ D.③④
答案　D
解析　①应是S＝[f(x)－g(x)]dx，②应是
S＝2dx－(2x－8)dx，③和④正确.故选D.
2.曲线y＝cos x(0≤x≤π)与坐标轴所围图形的面积是(　　)
A.2 B.3 C. D.4
答案　B
解析　S＝cos xdx－cos xdx＝sin x- sin x ＝sin －sin 0－ sin ＋sin ＝1－0＋1＋1＝3.
3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车 (　　)
A.405 B.540 C.810 D.945
答案　A
解析　停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，
∴s＝v(t)dt＝ (27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)＝405.
4.由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是 .
答案　
解析　由图形可得

S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx
＝＋
＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4
＝.
5.一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功.
解　设F(x)＝kx，
∵弹簧压缩x cm可产生4x N的力，∴k＝4.
∴弹簧克服弹力所做的功为
W＝4xdx＝4×＝50(N·cm)＝0.5(J).

1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤：
(1)在平面直角坐标系中画出图形；(2)通过解方程求出交点坐标；(3)写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.
2.路程问题.
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算.
3.变力做功问题.
(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步.(2)根据变力做功的公式，将其转化为求定积分的问题.

一、选择题
1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)

A. f(x)dx
B.
C. f(x)dx＋f(x)dx
D.f(x)dx－f(x)dx
答案　D
解析　∵x∈[a，b]时，
f(x)<0，x∈[b，c]时，f(x)>0，
∴阴影部分的面积S＝f(x)dx－f(x)dx.
2.一物体沿直线以v＝2t＋1 (t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s间行进的路程为(　　)
A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m
答案　D
解析　s＝＝4(m).
3.一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为(　　)
A.120 m B.437.5 m
C.360 m D.480 m
答案　B
解析　从A处到B处所用时间为25 s.所以|AB|＝1.4tdt＝0.7t2＝437.5 (m).
4.若y＝f(x)与y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为(　　)
A.[f(x)－g(x)]dx
B.[g(x)－f(x)]dx
C.|f(x)－g(x)|dx
D.
答案　C
解析　当f(x)＞g(x)时，所求面积为[f(x)－g(x)]dx；当f(x)≤g(x)时，所求面积为[g(x)－f(x)]dx.综上，所求面积为|f(x)－g(x)|dx.
5.以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)
A. m B. m
C. m D. m
答案　A
解析　v＝0时物体达到最高，
此时40－10t2＝0，则t＝2 s.
又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s.
∴h＝(40－10t2)dt＝＝(m).
6.如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为(　　)
A.0.5 J B.1 J C.50 J D.100 J
答案　A
解析　由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为W＝F(x)dx＝xdx＝＝50 (N·cm)＝0.5 (J).
二、填空题
7.由曲线y＝与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为 .
答案　(－x3)dx
解析　画出y＝和y＝x3的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，

解方程组得交点的横坐标为x＝0及x＝1.因此，所求图形的面积为S＝(－x3)dx.
8.有一横截面的面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6).则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为 cm3.
答案　144
解析　由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝4(6t－t2)dt＝4＝144 (cm3).故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144 cm3.
9.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，则克服弹簧力所做的功为 J.

答案　kl2
解析　在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx，其中k为比例系数.由变力做功公式得W＝＝kl2(J).
10.由两条曲线y＝x2，y＝x2与直线y＝1围成平面区域的面积是 .
答案　
解析　如图，y＝1与y＝x2交点A(1,1)，
y＝1与y＝交点B(2,1)，由对称性可知面积
S＝2＝.

三、解答题
11.求抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积.
解　由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，
由得两直线交点坐标为C(2,2)，
∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－＝2－＝.
12.物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？
解　依题意知物体A，B均做变速直线运动.设a秒后物体A比B多运动5米，则A从开始到a秒末所走的路程为sA＝vAdt＝(3t2＋1)dt＝a3＋a；
B从开始到a秒末所走的路程为
sB＝vBdt＝10tdt＝5a2.
由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5.
此时sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米).
故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米.
13.定义F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函数f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O作曲线C1的切线，切点为B(n，t)(n>0)，设曲线C1在点A、B之间的曲线段与OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值.
解　∵F(x，y)＝(1＋x)y，
∴f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝2log2(x2－4x＋9)＝x2－4x＋9，故A(0,9)，f′(x)＝2x－4.
又∵过O作C1的切线，切点为B(n，t)(n>0)，
∴解得B(3,6).
∴S＝(x2－4x＋9－2x)dx＝＝9.

15