八年级数学上册1.3蚂蚁怎样走最近试题北师大版.doc

1.3蚂蚁怎样走最近
专题 最短路径的探究
1. 编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱
表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1C1B1，A2C2B2，…，则
每一根这样的竹条的长度最少是______________.
2. 请阅读下列材料：
问题：如图（1），一圆柱的底面半径和高均为5dm，BC是底面
直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.
小明设计了两条路线：
路线1：侧面展开图中的线段AC.如下图（2）所示：

设路线1的长度为，则；
比较两个正数的大小，有时用它们的平方来比较更方便哦！
路线2：高线AB + 底面直径BC，如上图（1）所示，
设路线2的长度为，
则.
.
∴ ∴
所以要选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的
底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的方式进行计算.
请你帮小明完成下面的计算：
路线1：___________________；
路线2：__________ ,
∵, ∴ ( 填>或<).
所以应选择路线____________(填1或2)较短.

(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.

3. 探究活动:有一圆柱形食品盒，它的高等于8cm，底面直径为cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s.
（1）如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含根号）

（2）如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计）

答案：
1. 【解析】 底面周长为a、高为b的圆柱的侧面展开图为矩形,它的边长分别为a,b，所以对角线长为，所以每一根这样的竹条的长度最少是.
2.解：（1）25+π2 49 ＜ ＜ 1
（2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2，
l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，
l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h].
r恒大于0，只需看后面的式子即可．
当r=时，l12=l22；
当r＞时，l12＞l22；
当r＜时，l12＜l22．
3.解：（1）如图，AC=π•÷2=9cm，BC=4cm，则蚂蚁走过的最短路径为：AB==cm，所以÷2=（s），即至少需要s．

（2）如图，作B关于EF的对称点D，连接AD，交EF于点P，连接BP，则
蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AD，由图可知，AC=9cm，CD=8+4=12（cm）．
所以AD==15（cm），15÷2=7.5（s）
即至少需要7.5s．