No.29全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.29 高中数学联赛模拟试卷
1、若为完全平方数，则正整数n满足 。
2、已知向量满足，若，则 。
3、函数在是减函数，且不等式恒成立，则与的大小关系是 。
4、函数的定义域为D，若满足①在D内是单调函数，②存在使在上的值域为，那么就称为“好函数”。现有 是“好函数”，则的取值范围是 。
5、把一根长为7米的铁丝截下两段（也可以直接截成两段），这两段的长度差不超过1米，分别以这两段为圆的周长围成两个圆，则这两个圆的面积之和的最大值为 平方米。
6、高斯记号表示不超过实数的最大整数，如，，则方程的解集为 。
7、已知是函数 的一个零点，是函数的一个零点，则的值为
8、对于任意的，都有，则 。
9、设,,是正实数,求证:
10、求实数的取值范围，使得对任意实数和任意恒有
.
11、设a, b为四面体ABCD的一对对棱AB与CD的长，r为四面体内切球半径．求证：. (第22届全苏竞赛题)

12、设二次函数，,.当,在区间,上变动时，求的实数解的取值范围.

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题4参考答案
1、∵，当，即时，上式为完全平方数。
当时，有，所以上式不可能为完全平方数。所以
2、∵∴且
，∴
3、<, 此时2<a, 在是减函数, f(2)>f(a),同理f(2b)>f(b)。
∴
4、因为函数在其定义域内为增函数，则若函数为“好函数”，方程必有两个不同实数根，∵
，∴方程有两个不同的正数根，得。其次，恒成立，故恒成立，k>0
综上所述：
5、设这两段的长度分别为米、米则、满足关系，其平面区域为右上图所示阴影部分，两圆的面积之和为，看成是个圆的方程，这个圆经过点或时，最大，其最大值为平方米。
6、易知，，故
7、如图：是曲线与曲线交点A的横坐标，是曲线与曲线交点B的横坐标，∵函数与互为反函数，∴A与B关于直线y=x对称即为点A的纵坐标，∴
8、设x＝y＝1，得于是
x＝y＝0，得于是
令y＝1，得
若，则符合此时2011
则不符合，
9、解： 设,,中最大, 若 ,则不等式显然成立.
若,则可以应用二元均值不等式
,
同理 ,.
以上三式相乘,即证.
10、解：显然,原题即关于的二次不等式
恒成立，故对，恒有判别式.即
对恒成立. 由此，对一切 ， ①
或.②
因为，所以.
由①有.易知，当时，为减函数.从而.
由此可得.由②有.而，且当时等号成立，从而得.综上可知，或为所求.
11、分析：内切球半径与边长之间的关系可以通过体积来完成。
解：如图11，过AB与CD分别作平行四边形ABEF与平行四边形CDGH，使得AF∥CD，CH∥AB，连AC，BH，EG，FD，得一个平行六面体AFEB-CDGH（或以四面体ABCD的三棱CA，CB，CD为共顶点的棱构成平行六面体）．
设AB与CD之间的距离为d，它们所成的角为θ，知V四面体=ab·d·sinθ．
设ha为△ABD中AB边上的高，显然D到AB的距离大于D到面AFEB的距离，即ha>d，而S△ABD=a·ha>ad．
同理，S△ABC>ad, S△ACD>bd, S△BCD>bd．
于是，四面体ABCD的表面积S表=S△ABD+S△ABC+S△ACD+S△BCD>(a+b)d．
而V=S表·r, 所以．
12、解： 设为方程，，, ①的一个根. 则
，.
显然，当，时，最大，即；当，时，最小，即.所以，.
现在的问题是:,，是否一定是某个二次方程，,,的实数解.令，为实数，且.由
知，也是方程
的根，其中，.显然，.这说明，若是形如①的方程的实根，则对任意绝对值不大于1的实数,也是形如①的方程的实根.
由于是方程的实根，故都是形如①的方程的根.因此，所求实数解的范围是,.