初中数学重要公式整理.doc

初中代数重要概念、公式
数与式
1.绝对值
解:| a | =
2.非负数：“”、“”、“”为非负数，若为非负数，且，则 ， .
解: 0, 0
3.幂的运算法则：（为整数）
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） .
解: 整数指数幂的运算法则：( m、n为整数)
（1） am · an = am+n；
（2） am ÷ an = am – n ( a ≠ 0 )；
（3） ( am )n = amn；
（4） ( ab )n = anbn；
（5） ( b ≠ 0 ).
4.乘法公式：
（1） ；（2） .
解: 平方差公式： ( a + b )( a - b ) = a2 – b2 ;
完全平方公式： ( a ± b )2 = a2 ± 2ab + b2 .
5.分解因式的方法：
（1）提取公因式：ab + ac = ；
解:（1）提取公因式法：ab + ac = a ( b + c )；
（2）应用乘法公式（逆向）：
； .
解: （2）运用公式法：a2 – b2 = ( a + b )( a - b )；
a2 ± 2ab + b2 = ( a ± b )2 ；

（3）十字相乘法(二次项系数为1)：
.
解: x2 +( a + b )x + ab = ( x + a )( x + b )；
6.分式：
（1），（其中为整式）
解: , (M为不等于0的整式)

（2） ， ， ， .
解: 分式的加减运算: =, .
分式的乘除运算:
,
(3)
解:分式的乘方运算:
( n 为正整数,且b ≠ 0 )
7.二次根式的性质：
（1） （2）
（3） （4）
（5）的有理化因式是 .
解:
(1) ( a ≥ 0 , b ≥ 0 );
(2) ( b ≥ 0, a > 0 ) ;
(3) = a ( a ≥ 0 ) ;
(4) =
(5) 的有理化因式是
8.指数（为整数）
（1）的正整指数幂 ；
（2）零指数
（3）负整数指数

解:(1) a的正整指数幂 am = aaa …… a ( m 个) ;
(2)a0 = 1 (a ≠ 0);
(3)负整数指数幂: a – m = ， (a ≠ 0),
(a ≠ 0,且 b ≠ 0).

方程与方程组
1.关于的方程的解的情况：
当时，方程的解为 ；
当时，方程解的情况为 ；
当时，方程解的情况为 .
解(1) x = ；
(2)全体实数 (3)无解
2.一元二次方程的两根为
（1）求根公式
解:一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
求根公式：
（b2 - 4ac ≥ 0 ）
（2）根的判别式
方程 实根；
方程 实根；
方程 实根；
方程 实根；
解: 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 根的判别式△ = b2 – 4ac.
△ ＞ 0 方程有两个不相等的实数根
△ = 0 方程有两个相等的实数根
△ ＜ 0 方程没有实数根
不等式与不等式组
1.一元一次不等式
的解集是 ；的解集是 ；
的解集是 ；的解集是 .
解: 当a > 0, ax > b的解集是x > ;
ax < b的解集是x < .
当 a < 0, ax > b的解集是x < ;
ax < b的解集是x > .
2.一元一次不等式组（）
的解集是 ； 的解集是 ；
的解集是 ； 的解集是 ；
解(1)x﹥b (2)x﹤a (3)无解 (4)a﹤x﹤b
函数及其图象
1.第一象限内的点的坐标符号为（ ， ）；第二象限内的点的坐标符号为（ ， ）；
第三象限内的点的坐标符号为（ ， ）；第四象限内的点的坐标符号为（ ， ）；
解: 1.第一象限内的点的坐标符号为（ + ，+ ）；第二象限内的点的坐标符号为（ _， +）；
第三象限内的点的坐标符号为（ _ ，_ ）；第四象限内的点的坐标符号为（ + ，_）；
如图1，坐标平面内任意点，轴，
则 图1
如图2，轴上任一点A的坐标为 ,
OA= ，Y轴上任一点B坐标为 ，
OB= ，AB= .
2.在X轴上的两点A和B之间的距离为
AB= ; 在y轴上两点A,B之间
的距离AB= ;
3. (a,b)关于x轴对称点的坐标 ; 图2
(a,b) 关于y轴对称点的坐标 ;
(a,b) 关于原点对称点的坐标 .
解: (a,b)关于x轴对称点的坐标(a,-b)
(a,b) 关于y轴对称点的坐标(-a,b);
(a,b) 关于原点对称点的坐标(-a,-b).

4.函数自变量的取值范围:
(1) 关于的整式, 取 ; (2) 关于的分式,分式的分母 ;
(3) 关于的二次根式,二次根式的被开方式 ;
(4) 、是与实际相关的两个变量，是的函数，除上述要求外，的取值还必须使实际问题 ，几何图形 .
解(1)全体实数 (2)分母不等于0 (3)被开方式大于等于0
5.四种简单函数
（1）正比例函数 ；
（2）反比例函数 ；
（3）一次函数 ；
（4）二次函数的一般式： ，
顶点坐标（ ， ），对称轴方程： .
二次函数顶点式： ，顶点坐标（ ， ），对称轴方程 .
二次函数双根式： ，与轴的交点坐标为（ ， ），（ ， ）.
解: (1) y = kx (k ≠o)
(2) (k ≠o)
(3) y = kx + b(k ≠o)
(4) y = ax2 + bx + c( a ≠ 0 )
顶点坐标（），对称轴方程：x=
二次函数顶点式： y=a(x-h)2+k，顶点坐标（ h ， k ），对称轴方程 x=h .
二次函数双根式： y=a(x-x1)(x-x2) ，与轴的交点坐标为（x1 ，0），（ x2，0）.
6.看抛物线与 x 轴的相对位置定判别式：
抛物线与 x 轴有两个交点，△ ；
抛物线与 x 轴有一个交点，△ ；
抛物线与 x 轴无交点， △ .
解：抛物线与 x 轴有两个交点，△ ＞ 0；
抛物线与 x 轴有一个交点，△ ＝ 0；
抛物线与 x 轴无交点， △ ＜ 0.
7．
原直线y=kx+b
变换后

翻折
沿x轴翻折后
y=
沿y轴翻折 后
y=
平移
向左平移m（m＞0）个单位
y=
向右平移m（m＞0）个单位
y=
旋转
绕原点旋转90°后

绕原点旋转任意角度

原直线y=kx+b
变换后

翻折
沿x轴翻折后
y=-kx-b
沿y轴翻折 后
y=-kx+b
平移
向左平移m（m＞0）个单位
y=k（x+m）+b
向右平移m（m＞0）个单位
y=k（x-m）+b
旋转
绕原点旋转90°后
两直线垂直
KK1=-1
绕原点旋转任意角度
旋转后解直角三角形

统计与概率
1、 在统计里, 我们所要考察对象的全体叫做 , 总体中的每一个考察对象叫做 , 样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个 , 样本容量样本中个体的数目叫做 。
解：在统计里, 我们所要考察对象的全体叫做总体, 总体中的每一个考察对象叫做个体, 样本从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本, 样本容量样本中个体的数目叫做样本的容量
2、平均数: 一般地，如果有n个数x1，x2，x3，…，xn,那么这n个数的平均
= ;
众数: 在一组数据中， 数据叫做这组数据的众数
中位数: ，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.
解：( x1 + x2 + x3 + … + xn )
在一组数据中，出现次数最多的; 将一组数据按大小依次排列 数据叫做这组数据的众数。
把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.
3、方差: 样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数叫做样本方差, 如果有n个数x1，x2，x3，…，xn,的平均数为, 则方差 S2= .
S2 =
4、一般地, 我们把一组数据的个数称为该组的 ;频率是 的比.
解：一般地, 我们把一组数据的个数称为该组的频数;频率是频数与总数的比.
5、条形统计图的特点是可以清楚地表示出每个项目的 ;
折线统计图的特点是可以清楚地反映 的情况;
扇形统计图的特点是可以清楚地表示各部分在 .
解：条形统计图的特点是可以清楚地表示出每个项目的具体数目;
折线统计图的特点是可以清楚地反映事物变化的情况;
扇形统计图的特点是可以清楚地表示各部分在总体中所占的百分比.
6、制作频数分布表的步骤是: 。
解：（1）计算最大值与最小值的差；（2）决定组距与组数；（3）决定分点；（4）列频数分布表
7、数分布直方图中各小长方形的宽表示 ，小长方形的高等于 .
解：数分布直方图中各小长方形的宽表示组距，小长方形的高等于频数.
8、在一定条件下，有些事件必然发生, 这样的事件称为 ；有些事件必然不发生, 这样的事件称为 ；可能发生也可能不发生的事件，称为
。
解：在一定条件下，有些事件必然发生, 这样的事件称为必然事件; 有些事件必然不发生, 这样的事件称为不可能事件; 可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
9、一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)= .
解：P(A)=.
10、当A为必然事件时, P(A)= ; 当A为不可能事件时, P(A)= .
解：当A为必然事件时, P(A)= 1; 当A为不可能事件时, P(A)=0.
11、大量重复实验可以作为事件发生 的估计值.
解： 大量重复实验可以作为事件发生概率的估计值.
12、在一次实验中如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性 ，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的 .
解：在一次实验中如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性相等，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件发生的概率.
13、用列举法计算概率时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用 .
解：用列举法计算概率时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用数形图.

初中几何重要公式

平行线

解：∠1=∠4 ∠3=∠4 ∠2+∠4=180°
性质：
两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
判定：
两条直线被第三条直线所截，同位角相等 (或内错角相等，或同旁内角互补)，则这两条直线平行.二、三角形 图3
1.三角形
（1）三角形任何两边的和 第三边；
（2）三角形任何两边的差 第三边；
（3）三角形三个内角的和等于 ；
（4）三角形的一个外角等于 ；
（5）三角形的一个外角大于 ；
（6）三角形外角和等于 ； 图4
（7）、分别为、的中点，则 .
解：（1）三角形任何两边的和大于第三边；
（2）三角形任何两边的差小于第三边；
（3）三角形三个内角的和等于180°；
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（5）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角；
（6）三角形外角和等于360°； 图4
（7）、分别为、的中点，则∥且=.

2.等腰三角形
（1）
（2）互相重合；
（3）
（4）
解：（1）AB=AC，∠B=∠C
（2）AB=AC，顶角的平分线、底边的高线、底边的中线互相重合；
（3）AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°
（4）BC

3.直角三角形（在△ABC中，∠C=90°）
（1） （2）勾股定理： ；
（3）如图5，若则∠1=∠ ，
∠2=∠ ，△ABC∽△ ∽△ ；
（4）直角三角形内切圆半径
（5）直角三角形外接圆半径
图5角
（6）∠C=90°，CD为AB边上的中线
（7）. 在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°
解：（1）∠A+∠B=90° （2）勾股定理：；
（3）如图5，若则∠1=∠A，
∠2=∠B，△ABC∽△ACD∽△CBD；
（4）直角三角形内切圆半径
（5）直角三角形外接圆半径
（6）∠C=90°，CD为AB边上的中线
（7）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
两边中点的连线称为三角形的中位线，中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

4．等腰三角形
（1）等腰三角形两腰 ，两底角 ，简称
（2）. 等腰三角形顶角的 、底边 、底边上的 互相重合，简称“三线合一”.
（3）.等边三角形三条边 ，三个角 ，都等于 .
（4）. 等边三角形是 对称图形，有 条对称轴.
解：（1）两腰相等，两底角相等，简称“等边对等角”
（2）.顶角的角平分线、底边中线、底边上的高线互相重合，简称“三线合一”.
（3）. 三条边相等，三个角相等，都等于60°.
（4）. 轴对称图形，有三条对称轴.
5.角平分线上的点到 的距离相等;
如图: 已知射线OC平分，点P在OC上，且于M，PN垂直OB于N，则 PM PN.
解：角平分线上的点到角的两边距离相等. PM=PN
6.到角的两边距离相等的点 .
如图:已知P在的内部, 于M， PN⊥OB于N，且PM=PN. 射线OC平分，则点P在 .

解：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
则点P在oc上。
7.线段垂直平分线上的点到 的距离相等;
如图:已知直线MN是线段AB的垂直平分线,点P是MN上一点,连接PA,PB则 .
解：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
8.到线段两端距离相等的点 ;
如图:已知PA=PB,则点P在 上.
解：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. PA=PB
三角形全等
1.全等三角形性质： .
2.全等三角形判定 、 、 、 ，
直角三角形全等判定 .
解：全等三角形对应角相等，对应线段（边、高线、中线、角平分线等）相等. 全等三角形的周长相等，面积相等；判定有两组边及夹角对应相等的两个三角形全等.，简称“SAS”. 有两组角及夹边对应相等的两个三角形全等.,简称“ASA”. 有两组角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简称“AAS”. 有三组边对应相等的两个三角形全等,简称“SSS”；直角三角形判定有SSS，SAS，ASA，AAS，斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”.

特殊的四边形
1.特殊的四边形判定：
（1）平行四边形： ；
；
；
；
.
（2）矩形： ；
；
.
（3）菱形： ；
；
.
（4）正方形： ；
；
.
（5）等腰梯形： ；
；
.
解：（1）平行四边形：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
5.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
（2）矩形：
1.有三个角是直角的四边形是矩形.
2.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
3.对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）菱形：
1.四条边相等的四边形是菱形.
2.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（4）正方形：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
*2.有一个角是直角的菱形是正方形.
（5）等腰梯形
1.同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形.
*2.对角线相等的梯形是等腰梯形.
3.两腰相等的梯形是等腰梯形.
2.特殊四边形的性质：

边
角
对角线
对称性
平行
四边形

矩形

菱形

正方形

等腰
梯形

解：

特殊的四边形
类型
性质
边
角
对角线
对称性
平行四
边形
对边平行且相等.
对角相等，邻角互补.
对角线互相平分.
中心对称图形

矩形
对边平行且相等.
四个角都是直角.
对角线互相平分且相等.
轴对称图形;中心对称图形

菱形
对边平行，四边相等.
对角相等，邻角互补.
对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.
轴对称图形;中心对称图形
正方形
对边平行，四边相等.
四个角都是直角.
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
轴对称图形;中心对称图形
等腰梯形
两底平行，两腰不平行但相等.
同一底上的两个底角相等.

两条对角线相等.

轴对称图形

面积公式
1.三角形：是底，是边上的高）；
直角三角形：是直角边）= （是斜边，是斜边上的高）.
2.平行四边形：是一边，是边上的高）.
3.矩形：为一组邻边）.
4.菱形：是边，是边上的高）= （为对角线）.
5.正方形：为边）= （为对角线）.
6.梯形：为上、下底，为高）= （为中位线，为高）.
解：1、三角形：
2、平行四边形面积:
3、菱形面积：
4、菱形面积：
5、正方形面积：
6、梯形面积：
多边形
多边形内角和： （n-2）·180°
多边形外角和： 360°

比例线段
1.
解：ad=bc ad=x2
相似三角形
1.相似三角形性质
.
2.相似三角形判定：
.
直角三角形判定： .
解：1. 相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形周长之比等于相似比；相似三角形面积之比等于相似比的平方。
2．平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形和原三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似；两组角对应相等的两个三角形相似；两组边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似；三组边对应成比例的两个三角形相似；斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
3．三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，此三角形为直角三角形。

解直角三角形（Rt△ABC，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边）
1.直角三角形中边与角间的关系

解：在Rt△ABC中,∠C=90°, a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.
(1) 边之间的关系：勾股定理 ;
(2) 角之间的关系：;
边角之间的关系：;;
在直角三角形中,除∠C=90°外,还有五个元素∠A、∠B、a、b、c, 已知其中两个元素(其中至少有一条边),求其它元素的过程称为解直角三角形.
解直角三角形的关键是利用已知条件,正确选择边角关系,建立方程(组)求解.
2.特殊角的三角函数植

解：

30°
45°
60°
sinA

cosA

tanA

1

cotA

1

圆
1.点与圆位置关系，设圆的半径为，点到圆的圆心距离为
点在圆外； 点在圆上； 点在圆内.
解：（1）点P在圆外 d>r；
（2）点P在圆上 d=r；
（3）点P在圆内 d<r.
2.垂径定理
已知:①CD为直径；
②CD⊥AB于E；
则: ①AE= （AB不是直径）；
②= ；
③= .

垂径定理的推论:
已知:①CD为直径；
②AE= （AB不是直径）；
则: ①CD⊥AB于E；
②弧AC= ；
③弧AD= .

解：垂直于弦的直径平分弦,平分弦所对的优弧和劣弧.
垂径定理
已知:①CD为直径；
②CD⊥AB于E；
则: ①AE=BE（AB不是直径）；
②弧AC=弧BC；
③弧AD=弧BD.

垂径定理的推论:
已知:①CD为直径；
②AE= BE（AB不是直径）；
则: ①CD⊥AB于E；
②弧AC=弧BC；
③弧AD=弧BD.

3.圆心角、弧、弦之间的关系：

在同圆或等圆中，以下三条知一推二
①∠AOB=∠COD；
②弧AB= ；
③AB= .
解：在同圆或等圆中,圆心角相等、弦相等、所对的弧相等，若其中一组关系成立,则其它关系也成立.
①∠AOB=∠COD；
②弧AB=弧CD；
③AB=CD.

4.和圆有关的角：PB、PC切⊙O于B、C，点A在⊙O上，
（1）∠A=∠ ，∠PBO=∠ = °，
（2）∠OPB=∠ ，∠POB=∠ .
（3）AB是直径.

解：
（1）在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半.
∠A=∠BOC，∠PBO=∠PCO=90°
（2）∠OPB=∠BPC，∠POB=∠POC.
（3）AB是直径90°.直径或半圆所对的圆周角是直角.

5．直线与圆
（1）.直线与圆的位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为
直线和圆相离；直线和圆 ；直线和圆相交.
解：（1）直线与⊙O相离d > r；
（2）直线与⊙O相切d = r；
（3）直线与⊙O相交d < r.
（2）.切线性质：PA、PB切⊙O于A、B，
PA= ，∠1=∠ ，PA⊥ ，AB⊥ .
解：圆的切线垂直于过切点的半径.
（3）.切线判定：
点A在⊙O上 与⊙O相切；
AP OA
OA⊥AP于A 与⊙O相切；
OA=
解：圆的切线判定方法:
（1）交点个数:与圆只有一个交点的直线叫圆的切线;
（2）数量关系判定法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;
（3）判定定理:过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
点A在⊙O上 与⊙O相切；
AP ⊥OA
OA⊥AP于A 与⊙O相切；
OA=OB
6．圆与圆
设两圆的半径分别为，圆心距为
两圆外切；两圆内切；
两圆相交；
两圆内含；两圆外离.
解：（1）两圆外离d > +；
（2）两圆外切d = +；
（3）两圆相交-<d <+
(4) 两圆内切d = -
(5) 两圆内含d <-

7．与圆有关的计算（半径为R的圆）
圆周长：C= .

弧长L= .（n为圆心角度数）

圆面积S= .

扇形面积S扇= （n为圆心角度数）= （L为弧长）
弓形面积= .

解：R表示圆的半径,D表示圆的直径,n表示弧或弧所对的圆心角的度数,C表示圆的周长,l表示弧长,S表示面积.
1.圆的周长
2.弧长
3.圆面积
4.扇形面积
5．弓形面积=
8．圆柱、圆锥的侧面积与表面积
S圆柱侧= .
S圆柱全=
S圆锥侧=
S圆锥全=
解：S圆柱侧=.
S圆柱全=
S圆锥侧=
S圆锥全=

三视图
类型
图形
主视图
左视图
俯视图

长
方
体

正
棱
柱

圆
柱

圆
锥

图形与变换

类型
性质
轴对称图形
对应点所连的线段被对称轴垂直平分.
图形的平移
对应点连线平行且相等.（注意特殊情形）
图形的旋转
对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.

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