高中数学直线与圆习题精讲精练.doc

圆与直线
一、典型例题
例1、已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线l方程。
分析：
直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
设Q（x0，4x0），M（m，0）
∵ Q，P，M共线
∴ kPQ=kPM
∴
解之得：
∵ x0>0，m>0
∴ x0-1>0
∴
令x0-1=t，则t>0
≥40
当且仅当t=1，x0=11时，等号成立
此时Q（11，44），直线l：x+y-10=0
评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S△OQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：
（1）BC边上的高所在直线方程；（2）AB边中垂线方程；（3）∠A平分线所在直线方程。
分析：
（1）∵ kBC=5
∴ BC边上的高AD所在直线斜率k=
∴ AD所在直线方程y+1=(x-2)
即x+5y+3=0
（2）∵ AB中点为（3，1），kAB=2
∴ AB中垂线方程为x+2y-5=0
（3）设∠A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。
∵ kAC=-1，kAB=2
∴
∴ k2+6k-1=0
∴ k=-3-（舍），k=-3+
∴ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0
评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。
例3、（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；
（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。
分析：
研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。
（1） 法一：从数的角度
若选用标准式：设圆心P（x，y），则由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2
又2x0-y0-3=0
两方程联立得：，|PA|=
∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10
若选用一般式：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（）
∴
解之得：
法二：从形的角度
AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5）
∴ 半径r=|PA|=
显然，充分利用平几知识明显降低了计算量
（2） 设A关于直线x+2y=0的对称点为A’
由已知AA’为圆的弦
∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心
设圆心P（-2a，a），半径为R
则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2
又弦长，
∴
∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+
∴ a=-7或a=-3
当a=-7时，R=；当a=-3时，R=
∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244
例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，（1）求实数m取值范围；（2）求圆半径r取值范围；（3）求圆心轨迹方程。
分析：
（1）m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-1<0
∴
（3） 半径r=
∵
∴ 时，
∴ 0<r≤
（3）设圆心P（x，y），则
消去m得：y=4(x-3)2-1
又
∴
∴ 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)（）
例5、如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程。
分析：
从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。
连OQ，则由OQ⊥MQ，AP⊥MQ得OQ∥AP
同理，OA∥PQ
又OA=OQ
∴ OAPQ为菱形
∴ |PA|=|OA|=2
设P(x，y)，Q(x0，y0)，则
又x02+y02=4
∴ x2+(y-2)2=4（x≠0）
评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。

同步练习
（一） 选择题
1、 若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m取值范围是
A、-1<m≤ B、≤m≤1 C、<m<1 D、≤m≤1
2、 已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，则m值为
A、 或-3 B、-3或 C、-3或3 D、或3
3、 点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是
A、 2 B、 C、 D、
4、 过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有
A、 1条 B、2条 C、3条 D、4条
5、 圆x2+y2-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=900，则C的值是
A、 -3 B、3 C、 D、8
6、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r取值范围是
A、 （4，6） B、[4，6） C、（4，6] D、[4，6]
7、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x2+(y-1)2=R2相切，则正数R等于
A、 B、 C、1 D、
8、 方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆
A、关于x轴对称 B、关于y轴对称
C、关于直线x-y=0对称 D、关于直线x+y=0对称
（二） 填空题
9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为（3，-2），则过点（a，b），（d，e）的直线方程是___________________。
10、 已知{(x，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=
3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。
11、 已知x，y满足，则x-y的最大值为________，最小值为________。
12、 过点A（2，1），且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。
13、 已知圆：(x-1)2+y2=1，作弦OA，则OA中点的轨迹方程是__________________。

（三） 解答题
14、 已知y=2x是△ABC中∠C平分线所在直线方程，A（-4，2），B（3，1），求点C坐标，并判断△ABC形状。

15、 已知n条直线：x-y+ci=0（i=1，2，…，n），其中C1=，C1<C2<C3<…<Cn，且每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…，n，（1）求Cn；（2）求x-y+Cn=0与坐标轴围成的三角形面积：（3）求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形面积。

16、 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小值。

17、 已知两圆x2+y2=4和x2+(y-8)2=4，（1）若两圆分别在直线y=x+b两侧，求b取值范围；（2）求过点A（0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围。

18、当0<a<2时，直线l1：ax-2y-2a+4=0与l2：2x+a2y-2a2-4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a应取何值？

参考答案
（一）1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D
（二）9、3x-2y+C=0 10、2 11、6，-5 12、x+y=3或x-2y=0
13、（x≠0）
（三）14、C（2，4），∠C=900
15、（1） （2） （3）n3
16、（1）利用圆心到直线距离等于半径
（2）(x-1)(y-1)=(x>1，y>1)
（3）
17、（1）画图 3≤b≤5
（2）k∈（）
18、

一、选择题
1、设，，则M与N、与的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.
解：设点、点、点，则M、N分别表示直线AB、AC
的斜率，BC的方程为，点A在直线的下方，∴，即M＞N；
同理，得。 答案选B。 仔细体会题中4个代数式的特点和“数形结合”的好处

2、已知两圆相交于点，两圆圆心都在直线上，则的值等于 ( )
A．-1 B．2 C．3 D．0
解：由题设得：点关于直线对称,；
线段的中点在直线上，，答案选C。

3、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 ( )
A.15 B.30 C.36 D.以上都不对
解：设三角形的另外两边长为x,y,则
；注意“=”号，等于11的边可以多于一条。
点应在如右图所示区域内：
当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当
x=4时，y=8,9,10,11；当x=5时，y=7,8,9,10,11。以上共有15个，x,y对调又有15个。
再加(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11， 11），共36个，答案选C。

4、设，则直线与圆的位置关系为 （ ）
A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切
解：圆心到直线的距离为，圆半径。
∵，
∴直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选C。

5、已知向量若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（ ） A．相交但不过圆心 B．相交过圆心 C．相切 D．相离
解：，
圆心到直线的距离，
直线与圆相离，答案选D。 复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式

6、已知圆和点,若点在圆上且的面积为,则满足条件的点的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解:由题设得：，，点到直线的距离,
直线的方程为,与直线平行且距离为1的直线为
得：圆心到直线的的距离,到直线的距离为,
圆与直线相切；与直线相交, 满足条件的点的个数是3，答案选C

7、若圆始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是 ( )
A． B．
C． D．
解：公共弦所在的直线方程为：，
即：，
圆始终平分圆的周长，圆的圆心在直线上,
，即，答案选B。

8、在平面内,与点距离为1, 与点距离为2的直线共有 ( )
A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
解：直线与点距离为1，所以直线是以A为圆心1为半径的圆的切线，
同理直线也是以B为圆心2为半径的圆的切线，即两圆的公切线，
，两圆相交，公切线有2条，答案选B。
想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？
B
A'
B'
P
A
P'
C

二、填空题
1、直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的
距离之差最大，则P点坐标是______ ___.
解：A关于l的对称点A′，A′B与直线l的
交点即为所求的P点。得P(5，6）。
想一想，为什么，A′B与直线l的交点即为所求的P点？
如果A、B两点在直线的同一边，情况又如何？

2、设不等式对一切满足的值均成立，则的范围为 。
解：原不等式变换为，
设：，，按题意得：。
即：。

3、已知直线与圆，则上各点到的距离的最大值与最小值之差为 。
解： 圆心到直线的距离=，直线与圆相离，
上各点到的距离的最大值与最小值之差== 。

4、直线被圆截得的弦长为______________。
解：直线方程消去参数得：，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为。

5、已知圆，直线，以下命题成立的有___________。
①对任意实数与，直线和圆相切；
②对任意实数与，直线和圆有公共点；
③对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切
④对任意实数，必存在实数，使得直线和圆相切
解：圆心坐标为
，所以命题②④成立。
仔细体会命题③④的区别。

6、点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，反射光线与圆相切，则光线l所在直线方程为____ __。
解：光线l所在的直线与圆关于x轴对称的圆相切。圆心坐标为，半径，
直线过点A(－3，3)，设的方程为：，即：
圆心到直线的距离，
解得：或，得直线的方程：或。

7、直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则弦的长为 。
解：由直线与直线垂直，由圆心在直线上，
圆方程为，圆心为，圆心到直线的距离，
弦的长=

8、过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线，两切线交于点，则点的轨迹方程为 。
解：设,根据题设条件，线段为点对应圆上的切点弦，
直线的方程为,点在上，,
即的轨迹方程为：。 注意掌握切点弦的证明方法。

三、解答题
1、已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的图象交于C、D两点。
（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标。
解：（1）设A、B的横坐标分别为，由题设知，
得点，，
A、B在过点O的直线上，，
，得：，O、C、D共线。
（2）由BC平行于x轴，有
代入，得，,
，，得。

2、设数列的前项和，，a、b是常数且。
（1）证明：是等差数列；
（2）证明：以为坐标的点，落在同一直线上，并求直线方程。
（3）设，是以为圆心，为半径的圆，求使得点P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围。
解：（1）证明：由题设得；当n≥2时，
，
。
所以是以为首项，为公差的等差数列。证毕；
（2）证明：∵，对于n≥2，

∴以为坐标的点，落在过点，斜率为的同一直线上，
此直线方程为：，即。
（3）解：当时，得，都落在圆C外的条件是
①
②
③

由不等式①，得r≠1
由不等式②，得r＜－或r＞+
由不等式③，得r＜4－或r＞4+
再注意到r＞0，1＜－＜4－=+＜4+
使P1、P2、P3都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞)。

3、已知、、，求证：
证一：，，
，
设函数，
则：
当，即时，上述函数表示的直线都在轴上方，即：
、、，不等式成立，证毕。
因为题中变量较多，考虑“固定”某变量（这里是a），然后利用一次函数的性质来证明代数不等式的方法值得借鉴。
证二：、，，即：①；
、②（将看作一个数，利用①的结论）
由①式得，，
即：，证毕。
仔细体会上述递推证明的方法，你能进一步推广运用吗？如试证明，其中。
4、求与圆外切于点，且半径为的圆的方程
解一：设所求圆的圆心为，则 ，
所求圆的方程为。 注：因为两圆心及切点共线得（1）式
解二：设所求圆的圆心为，由条件知
，所求圆的方程为。
仔细体会解法2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。

O
A
C
B
D
N
x
y
M

5、如图，已知圆心坐标为的圆与轴及直线
均相切，切点分别为、，另一圆与圆、
轴及直线均相切，切点分别为、。
（1）求圆和圆的方程；
（2）过点作的平行线，求直线被圆
截得的弦的长度；

解：（1）由于圆与的两边相切，故到及的距离均为圆的半径，则在
的角平分线上，同理，也在的角平分线上，
即三点共线，且为的角平分线，
的坐标为，到轴的距离为1，即：圆的半径为1，
圆的方程为；
设圆的半径为，由，得：,
即，，圆的方程为：；
（2）由对称性可知，所求弦长等于过点的的平行线被圆截得的弦长，
此弦所在直线方程为，即，
圆心到该直线的距离，则弦长=
注：也可求得点坐标，得过点的平行线的方程，再根据圆心到直线的距离等于，求得答案；还可以直接求点或点到直线的距离，进而求得弦长。

6、已知两圆；，直线，求经过圆的交点且和直线相切的圆的方程。
解：设所求圆的方程为，
即：，得：
圆心坐标为；半径，
所求圆与直线相切，圆心到直线的距离
，解得，舍去
所求圆的方程为：
要熟练掌握过两圆交点的圆系的方程及公共弦的直线方程（）

7、如果实数、满足，求的最大值、的最小值。
解：（1）问题可转化为求圆上点到原点的连线的斜率的最大值。
设过原点的直线方程为，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。
得：，，
（2）满足，

。
注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于x,y的二元函数转化为关于角的一元函数，从而方便求解的技巧。

8、已知圆，直线，。
（1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.
解：（1）解法1：的方程，
即恒过定点
圆心坐标为，半径，，
∴点在圆内，从而直线恒与圆相交于两点。
解法2：圆心到直线的距离，
，所以直线恒与圆相交于两点。
（2）弦长最小时，，，，
代入，得的方程为。
注意掌握以下几点：（1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线；（3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。

9、已知圆和直线，
（1）若圆上有且只有4个点到直线的的距离等于1，求半径的取值范围；
（2）若圆上有且只有3个点到直线的的距离等于1，求半径的取值范围；
（3）若圆上有且只有2个点到直线的的距离等于1，求半径的取值范围；
解一：与直线平行且距离为1的直线有两条，分别为：
，，注意掌握平行直线的表示方法及其距离计算。
圆心到直线的的距离为,到直线的的距离为,则：
（1）圆上有且只有4个点到直线的的距离等于1
（2）圆上有且只有3个点到直线的的距离等于1
（3）圆上有且只有2个点到直线的的距离等于1
解二：圆心到直线的距离，则：
（1）圆上有且只有4个点到直线的的距离等于1，
（2）圆上有且只有3个点到直线的的距离等于1，
（3）圆上有且只有2个点到直线的的距离等于1
解法1采用将问题转化为直线与圆的交点个数来解决，具有直观明了的优点，对解决这类问题特别有效；解法2的着眼点是观察从劣弧的点到直线l的最大距离,请仔细体会。

10、已知为原点，定点，点是圆上一动点。
（1）求线段中点的轨迹方程；
Q
P
R
O
（2）设的平分线交于，求点的轨迹方程。
解：（1）设中点，则，代入圆的方程得。
（2）设，其中，，由，
，代入圆方程并化简得：
。当y=0时，即在轴上时，的平分线无意义。
（1）本题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系；（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：①转化为对称问题②利用角平分线性质，转化为比例关系③利用夹角相等。

11、如图所示，过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线，M为上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。
解：设边上的高为边上的高为，连接
当时，

在上，,
当时，垂心为点B，也满足方程，而点M与点N重合时，不能使A，M，Q构成三角形。
的垂心的轨迹方程为：。

12、已知函数
（1）在曲线上存在两点关于直线对称，求的取值范围；
（2）在直线上取一点，过作曲线的两条切线、，求证：
解：（1）设曲线上关于直线的对称点为和，线段的中点，则直线垂直于直线，设直线的方程为：。
则
据题意得：（1）
，在直线上，
又在直线上，，得，代入式（1)得。
（2）设点坐标为，则过点所作的切线方程为：，则有

直线、的斜率为方程的两个根，
，，证毕。

M
y
x
Q
O
A
B
P
13、已知圆，是轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，
求动弦AB的中点P的轨迹方程。
解：连接MB，MQ，设，
点M，P，Q在一直线上，得①
由射影定理得，即：
②
①式代入②式，消去a，得③，
从几何图形可分析出，又由③式得，
动弦AB的中点P的轨迹方程是：。

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