天津市2013届高三数学总复习之综合专题：利用导数研究函数零点或方程实数根(教师版).doc

导数在研究函数中的应用5——利用导数研究函数零点或方程实数根
1、设函数。
（1）求的单调区间和极值；
（2）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围；
（3）已知当恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）
∴当，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是
当；当；
（2）由（1）的分析可知图象的大致形状及走向（图略）
∴当的图象有3个不同交点，
即方程有三解；
（3）
∵上恒成立
令，由二次函数的性质，上是增函数，
∴∴所求的取值范围是。
2、已知函数，。
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）若函数与在区间上均为增函数，求的取值范围；
（3）若方程有唯一解，试求实数的值。
解：（1）因为，所以切线的斜率
又，故所求切线方程为，即。
（2）因为，又，所以当时，；
当时，，即在上递增，在上递减，
又，所以在上递增，在上递减
欲与在区间上均为增函数，则，解得
（3）原方程等价于，
令，则原方程即为。
因为当时原方程有唯一解，所以函数与的图象在轴右侧有唯一的交点又，且，
所以当时，；当时，。
即在上递增，在上递减。故在处取得最小值，从而当时原方程有唯一解的充要条件是。
3、已知函数且对于任意实数，
恒有
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数在区间上单调递减，求实数的
取值范围；
（3）函数有几个零点？
解：（1），
依题意，对任意实数，恒有即
即，，所以；
（2），
函数在上单调递减，在区间，恒成立，在上恒成立，而在上单调递减，为所求；
（3）=，
令，解得，
当时，当时，
当时，当时，
，
所以，①当时，函数没有零点；②当时，函数有四个零点；③当或时，函数有两个零点；④当时，函数有三个零点。
4、设函数，其中。
（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；1
（2）求函数的单调区间与极值；
（3）已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围。
解：（1）当时，，故。
所以，曲线在点处的切线的斜率为。
（2），令，解得。
因为，所以，。
当变化时，的变化情况如下表：

所以在区间，内是减函数，在内是增函数；
函数在处取得极小值；
函数在处取得极大值。
（3）由题设，，
所以，方程，有两个相异实根，故，
，由解得。
因为，所以，故。
如果，则，而，不合题意；
如果，对任意的，有，
则，又，
所以，在上的最小值为，于是对任意的，恒成立的充要条件是，即，解得。
注意到，于是的取值范围是。
5、已知函数，其中。
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）证明：对任意，在区间内均存在零点。

6、已知，函数（的图像连续不断）
（1）求的单调区间；
（2）当时，证明：存在，使；
（3）若存在均属于区间的，且，使，证明。

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