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带电粒子在复合场中的运动高考题型分类解析
付红周
重庆市丰都县丰都中学校，重庆丰都408200
复合场一般包括重力场、电场、磁场，在同一区域，可能同时存在两种或三种不同的场，也可能是不同的场分区域存在。三种场力中，重力和电场力一般是恒力，要做功，做功的多少取决于初末位置，与运动路径无关，洛伦兹力不做功，只改变速度方向，不改变速度大小。带电粒子在复合场中的运动是高考重点内容，题型多，难度大，现就近几年来带电粒子在复合场中运动考题分类解析：
1 不考虑重力场的复合场中的带电粒子的运动
1．1 带电粒子在电场和磁场重叠的区域运动
1
1、（06年重庆）有人设想用题1图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子。粒子在电离室中电离后带正电，电量与其表面积成正比。电离后，粒子缓慢通过小孔O1进入极板间电压为U的水平加速电场区域I,再通过小孔O2射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域II,其中磁场的磁感应强度大小为B,方向如图。收集室的小孔O3与O1、O2在同一条水平线上。半径为r0的粒子，其质量为m0、电量为q0,刚好能沿O1O3直线射入收集室。不计纳米粒子重力。
（）
（1）试求图中区域II的电场强度；
（2）试求半径为r的粒子通过O2时的速率；
（3）讨论半径r≠r2的粒子刚进入区域II时向哪个极板偏转。
解析：设半径为r0的粒子加速后的速度为v0，则

设区域II内电场强度为E,则
v0 q0B= q0E

电场强度方向竖直向上。
（2）设半径为r的粒子的质量为m、带电量为q、被加速后的速度为v,则

由　得：

（3）半径为r的粒子，在刚进入区域II时受到合力为：
F合=qE-qvB=qB(v0-v)
由可知，当
r>r0时，v<v0,F合>0，粒子会向上极板偏转;
r<r0时，v>v0,F合<0，粒子会向下极板偏转。
1．2 带电粒子在电场和磁场分区域运动
2、（07全国2）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E。在其他象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为l。一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而同过C点进入磁场区域，并在此通过A点，此时速度与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：
（1）粒子经过C点是速度的大小和方向；
（2）磁感应强度的大小B。
（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有qE=ma （1）
加速度沿y轴负方向。设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有
（2） （3）
由（2）（3）式得 （4）
设粒子从C点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量 （5）
由（1）（4）（5）式得 （6）
设粒子经过C点时的速度方向与x轴夹角为，则有 （7）
由（4）（5）（7）式得 （8）
（2）粒子从C点进入磁场后在磁场中做速率为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有 （9）
设圆心为P，则PC必与过C点的速度垂直，且有。用表示与y轴的夹角，由几何关系得 （10）
（11）
由（8）、（10）、（11）式解得 （12）
由 (6)、(9)、(12)式得 。
1．3 带电粒子在多磁场区域运动
3、（07年全国1）两屏幕荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别去垂直于两屏交线的直线为x和y轴，交点O为原点，如图所示。在y>0，0<x<a的区域有垂直于纸面向内的匀强磁场，在y>0，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点出有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0<x<a的区域中运动的时间与在x>a的区域中运动的时间之比为2︰5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。
解：对于y轴上的光屏亮线范围的临界条件如图1所示：带电粒子的轨迹和x=a相切，此时r=a，y轴上的最高点为y=2r=2a ;
对于 x轴上光屏亮线范围的临界条件如图2所示：左边界的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，由几何知识得到在x轴上的坐标为x=2a;速度最大的粒子是如图2中的实线，又两段圆弧组成，圆心分别是c和c’ 由对称性得到 c’在 x轴上，设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和t2,满足

解得 由数学关系得到：

代入数据得到：
所以在x 轴上的范围是
2 要考虑带电粒子的重力场的复合场中带电粒子的运动
2．1带电粒子在复合场中的直线运动
2．1．1磁场和重力场中的直线运动。
4、一绝缘细棒处于磁感应强度为B的匀强磁场中，棒与磁场垂直，与水平方向的夹角为，磁感线水平指向纸内，如图，棒上套一个可以在其上滑动的带负电的小球C小球质量为，电量为，棒与球的动摩擦因素为，让小球从棒上端由静止下滑，求下滑的最大速度
解：小球下滑的速度最大时，棒对它的弹力垂直棒向下，受力如图
沿杆方向垂直杆方向又联立以上各式可解得θ
2．1．2、电场和重力场中的直线运动。
5、（07年四川）如图所示，一根长L=1.5m的光滑绝缘细直杆MN，竖直固定在场强为E=1.0×105N/C、与水平方向成θ=30°角的倾斜向上的匀强电场中。杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q=+4.5×10－6C；另一带电小球B穿在杆上可自由滑动，电荷量q=+1.0×10－6C，质量m=1.0×10－2kg。现将小球B从杆的上端N静止释放，小球B开始运动。(静电力常量k=9.0 ×109N·m2/C2．取g=10m/s2)
(1)小球B开始运动时的加速度为多大?
(2)小球B的速度最大时，距M端的高度h1为多大?
(3)小球B从N端运动到距M端的高度h2=0.61m时，速度为v=1.0m/s，求此过程中小球B的电势能改变了多少?
解：（1）开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得
　　　　　(1)
解得 (2)
代入数据解得：a=3.2m/s2 (3)
(2)小球B速度最大时合力为零，即 　　(4)
解得　 (5)
代入数据解得h1=0.9m (6)
(3)小球B从开始运动到速度为v的过程中，设重力做功为W1，电场力做功为W2，库仑力做功为W3，根据动能定理有　 (7)
W1＝mg（L-h2） (8)
W2=-qE(L-h2)sinθ (9)
解得　　 (10)
设小球的电势能改变了ΔEP，则ΔEP＝－（W2＋W3）　　 　(11)
　　(12) ΔEP＝8.2×10－2J　　　(13)
2．1．3 带电粒子在电场、磁场和重力场中的直线运动
6、（96年）设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场.已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小E=4.0伏/米,磁感应强度的大小B=0.15特.今有一个带负电的质点以v=20米/秒的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示).
解：根据带电质点做匀速直线运动的条件,得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹力的合力必定为零.由此推知此三个力在同一竖直平面内,如右图所示,质点的速度垂直纸面向外.

解法一:由合力为零的条件,可得

求得带电质点的电量与质量之比

因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁场方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向之间夹角为θ,则有

即磁场是沿着与重力方向夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向.
解法二:因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁砀方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向间夹角为θ,由合力为零的条件,可得
                                               ①
                                        ②

即磁场是沿着与重力方向成夹角θ=arctg0.75,且斜向下方的一切方向
2．2带电粒子在复合场中的圆周运动
2．2．1 在电场和重力场中的变速圆周运动
B
E
m
7、一条长为l的细线上端固定在O点，下端系一个质量为m的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E，方向水平向右，已知小球在B点时平衡，细线与竖直线的夹角为α，求（1）当悬线与竖直方向的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球的速度恰好为零。（2）当细线与竖直方向成α角时，至少要给小球一个多大的冲量，才能使小球做圆周运动？
mg
qE
T
mg,
小球在B点受力平衡，由平衡条件有
由此可得： (1)
设小球由C点（细线与竖直线夹角）运动至最低点A时速度恰好为零，此过程小球的重力势能减少，电势能增加，则能量守恒得
mg
qE
T
C
A
B
＝ (2)由（1），（2）解得
B
D
vB
绳系小球在复合场中做圆周运动的条件与在重力场中类似，只不过其等效“最高点”为D，“最低点”为B等效重力加速度（或叫做复合场强度）为g,，由图可知 ;。由此可解得
给小球施加的冲量至少应为
2．2．2 在电磁场和重力场中的匀速圆周运动
E
v0
B
2
1
8、（06年四川）如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B＝1.57T。小球1带正电，其电量与质量之比，，所受重力与电场力的大小相等；小球2不带电，静止放置于固定和水平悬空支架上。小球1向右以的水平速度与小球2正碰，碰后经0.75s再次相碰。设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。（取g＝9.8m/s2）问：
（1）电场强度E的大小是多少？
（2）两小球的质量之比是多少？
（1）小球1所受的重力与电场力始终平衡　mg1=q1E　　 　（1）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　E＝2.5N/C （2）
（2）相碰后小球1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：q1v1B＝ （3）
半径 R1＝ （4）
周期为 T＝＝1s　 　 （5）
∵两球运动时间　 　t＝0.＝T
∴小球1只能逆时针经周期时与小球2再次相碰　　 （6）
第一次相碰后小球2作平抛运动　h＝R1＝ （7）
　　　　　　　　　　　　　　　L＝R1＝v2t （8）
两小球第一次碰撞前后动量守恒，以水平向右为正方向
m1v0＝m1v1+m2v2 （9）
由（7）（8）式得　　 v2＝3.75m/s
由（4）式得　　v1＝17.66m/s
∴两小球质量之比　 ＝11
2．3带电粒子在复合场中的一般曲线运动
9、如图所示，空间存在着垂直纸面向外的水平匀强磁场，和竖直向上的匀强电场，磁感应强度为B电场强度为E，在这个区域内，有一个带正电的液滴a在电场力和重力的作用下处于静止状态，现在从场中某点由静止释放一个带负电的液滴b（图中未画出），当它的运动方向变为水平时恰好与相撞撞后两液滴全为一体，并沿水平方向做匀速直线运动，已知液滴b的质量是a质量的2倍，b所带的电量大小是a所带电量的4倍，设相撞前a、b之间的静电力不计，
（1）求两液滴相撞后共同速度的大小
（2）画出液滴b在相撞前运动的轨迹示意图
（3）求液滴b开始下落时距液滴a的高度h
解：设a、b的质量分别为m、2m电量分别为q、4q，相撞后共同速度为v1，液滴a开始静止，有：
撞后匀速直线运动有：
对液滴b受重力和电场力加速下滑，受洛伦兹力但不做功，粒子做R增大的圆周运动，由动能定理：· ·
两液滴相撞时动量守恒：联立以上方程求得，
2．4 带电粒子在交变电磁场中的运动
10、如图甲，与纸面垂直的竖直面MN的左侧空间存在竖直方向上场强大小为E的匀强电场，上下及左侧无界，一个质量为m，电荷量为q的可视为质点的带正电的小球，在t=0时以大小为的水平速度向右通过电场中的一点P，当时刻在电场中加随时间周期性变化的磁场如右图乙，使得小球能竖直向下通过D点，D为电场中小球初速度方向上的一点，PD间距离为L，D到竖直面MN的距离DQ=，设B垂直纸面向里为正
甲乙
求（1），如果B0为已知量，试推出满足条件时的表达式
（2）若小球能始终在电场所在空间做周期性运动，则当小球运动运动的周期最大时，求出磁感应强度B0及运动的最大周期T的大小，并画出小球运动一个周期的轨迹
丙 丁
解：当小球进入电场时有，小球将做匀速直线运动
（1） 在时刻加磁场，小球在时间内做匀速圆周运动，设圆周运动周期为T0，若竖直向下通过D点，由丙图知
即
由得
，

（2） 小球运动的速率始终保持不变，当R变大也增加，小球在电场中运动周期增加，在小球不飞出电场的情况下，当最大时有：

小球运动轨迹如丁图，小球在电场中运动的最大周期