高中数学必修二圆的方程典型例题.doc

高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
解法一：（待定系数法）
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
说明：圆相切有内切、外切两种．

例3 求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．

例4、 设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．
分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5　已知圆，求过点与圆相切的切线．

说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．
例6 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．
分析：首先求、两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．

例7、过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程。

练习：
1．求过点，且与圆相切的直线的方程．

2、过坐标原点且与圆相切的直线的方程为
3、已知直线与圆相切，则的值为 .
类型三：弦长、弧问题
例8、求直线被圆截得的弦的长.

例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为

例10、求两圆和的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系
例11、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.

例12、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

例13、圆上到直线的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．

练习1：直线与圆没有公共点，则的取值范围是

练习2：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .

3、　圆上到直线的距离为的点共有（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

P
E
O
y
x

4、　过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示．

类型五：圆与圆的位置关系
例14、判断圆与圆的位置关系，

例15：圆和圆的公切线共有 条。
练习
1：若圆与圆相切，则实数的取值集合是 .

2：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.

类型六：圆中的对称问题
例16、圆关于直线对称的圆的方程是

G
O
B
N
M
y
A
x
图3
C
A’
例17、自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切
（1）求光线和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自到切点所经过的路程．

类型七：圆中的最值问题
例18、圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
例20：已知，，点在圆上运动，则的最小值是 .
练习：
1：已知点在圆上运动.
（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.
2、已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.

类型八：轨迹问题
例21、基础训练：已知点与两个定点，的距离的比为，求点的轨迹方程.

例22、已知线段的端点的坐标是（4，3），端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

例23、如图所示，已知圆与轴的正方向交于点，点在直线上运动，过做圆的切线，切点为，求垂心的轨迹．

分析：按常规求轨迹的方法，设，找的关系非常难．由于点随，点运动而运动，可考虑，，三点坐标之间的关系．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．

例24、已知圆的方程为，圆内有定点，圆周上有两个动点、，使，求矩形的顶点的轨迹方程．

练习：
1、由动点向圆引两条切线、，切点分别为、，=600，则动点的轨迹方程是 .

练习巩固：设为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值，求点的轨迹.

2、已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的面积等于

4、已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，问点的轨迹是什么？

例5、已知定点，点在圆上运动，的平分线交于点，则点的轨迹方程是 .

练习巩固：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.

类型九：圆的综合应用
例25、 已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．

例26、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．

例27 有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离地的运费是地的运费的3倍．已知、两地距离为10公里，顾客选择地或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．

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