备考2019年中考数学知识点过关培优训练卷：锐角三角函数(含解析).doc

备考2019年中考数学知识点过关培优训练卷：锐角三角函数

一．选择题
1．下列各式中，不成立的是（　　）
A．cos60°＝2sin30° B．sin15°＝cos75°
C．tan30°•tan60°＝1 D．sin230°+cos230°＝1
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则下列三角函数表示正确的是（　　）

A．tanA＝ B．tanB＝ C．sinA＝ D．cosA＝
3．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8，sinA＝，点D是AB中点，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．2019年1月3日，嫦娥四号探测器自主着落在月球背面，实现人类探测器首次月背软着陆．当时，中国已提前发射的“鹊桥”中继星正在地球、月球延长线上的L2点（第二拉格朗日点）附近，沿L2点的动态平衡轨道飞行，为嫦娥四号着陆器和月球车提供地球、月球中继通信支持，保障嫦娥四号任务的完成与实施．

如图，已知月球到地球的平均距离约为38万公里，L2点到月球的平均距离约为6.5万公里．某刻，测得线段CL2与AL2垂直，∠CBL2＝56°，则下列计算鹊桥中继星到地球的距离AC方法正确的是（　　）
A．AC2＝（6.5sin56°）2+44.52 B．AC2＝（6.5tan56°）2+44.52
C．AC2＝（6.5cos56°）2﹣44.52 D．AC2＝（6.5cos56°）2+6.52

5．如图，山上有一座高塔，山脚下有一圆柱形建筑物平台，高塔及山的面与建筑物平台的剖面ABCD在同一平面上，在点A处测得塔顶H的仰角为35°D处测得塔顶H的仰角为45°，又测得圆柱形建筑物的上底面直径AD为6m，高CD为2.8m，则塔顶端H到地面的高度HG为（　　）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°0.82，tan35°＝0.70，＝1.41）

A．10.8m B．14m C．16.8m D．29.8m
6．如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠ABC的值（　　）

A． B．1 C． D．
7．钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为3.9米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（　　）米．（参考数据：≈1.732）

A．1.732 B．1.754 C．1.766 D．1.823
8．国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52°，BC＝5米，CD＝35米，DE＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）（　　）

A．28米 B．29.6米 C．36.6米 D．57.6米
9．如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶40海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（　　）

A．海里 B．海里
C．80海里 D．海里
10．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．英国佩里加（H．Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理．该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）．若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（　　）

A． B．18 C．16 D．
二．填空题
11．如图，往竖直放置的在A处山短软管连接的粗细均匀细管组成的“U形装置中注入一定量的水，水面高度为9cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度为　 　cm．

12．如图，在4×5的正方形网格中点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC＝　 　．

13．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA＝　 　．

14．科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C．小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B、C两地的距离是　 　千米．

15．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为20m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，则乙建筑物的高度为　 　m．

16．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是45°，沿斜坡走2米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为　 　米；大树BC的高度为　 　米（结果保留根号）

17．如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A，B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100m的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500m，在点D测得端点B的俯角为45°，则岛屿两端A，B的距离为　 　m（结果保留根号）．

18．如图，有一个底面直径与杯高均为15cm的杯子里而盛了一些溶液，当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°才能将液体倒出，则此时杯子最高处距离桌面　 　cm（sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）

19．如图，在4×4的正方形网格图中有△ABC，则∠ABC的余弦值为　 　．

20．如图，△ABC中，∠A＝90°，∠ABD＝∠ACB，AD＝AC，sin∠ABD＝　 　．

三．解答题
21．计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°．

22．某公园内有一如图所示地块，已知∠A＝30°，∠ABC＝75°，AB＝BC＝8米，求C点到人行道AD的距离（结果保留根号）．

23．夏季多雨，在山坡CD处出现了滑坡，为了测量山体滑坡的坡面长度CD，探测队在距离坡底C点米处的E点用热气球进行数据监测，当热气球垂直升腾到B点时观察滑坡的终端C点，俯视角为60°，当热气球继续垂直升腾90米到达A点，此时探测到滑坡的始端D点，俯视角为45°，若滑坡的山体坡角∠DCH为30°，求山体滑坡的坡面长度CD的长．（计算保留根号）

24．已知：如图，九年一班在进行方向角模拟测量时，A同学发现B同学在他的北偏东75°方向，C同学在他的正南方向，这时，D同学与BC在一条直线上，老师觉得他们的站位很有典型性，就组织同学又测出A、B距离为80米，B、D两同学恰好在C同学的东北方向且AD＝BD．
求C、D两名同学与A同学的距离分别是多少米（结果保留根号）．

25．某校数学兴趣小组的同学测量一架无入飞机P的高度，如图A，B两个观测点相距300m，在A处测得P在北偏东71°方向上，同时在B处测得P在北偏东35°方向上．求无人飞机P离地面的高度（结果精确到1米）
（参考数据：sin35°≈0.57，tan35°≈0.70，smn71°≈0.95，tan71°≈2. 90）

26．如图，P、Q为河对岸的两幢建筑物，某综合实践小组为了测出河宽（沿岸是平行的），先在岸边的点A处测得∠PAC＝45°，再沿着河岸前进10米后到达B点，在点B处测得∠PBC＝53°，∠QBC＝30°．
（1）求河宽；
（2）该小组发现此时还可求得P、Q之间的距离，请求出PQ的长（精确到0.1米）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.732）

27．如图1，是某人拿自拍杆用手机进行自拍的实物图，图2是由其抽象出来的几何图形，AC是可以伸缩的自拍杆，其端点A离地面BD的高度AH为1.4m，当自拍杆AC的长度为0.9m，张角∠HAC为118°时，求自拍杆的另一端点C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）

28．直觉的误差：有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个13cm×5cm的长方形，面积是65cm2，面积多了1cm2，这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知，tan∠CEF＝，tan∠EAB＝，∵tan∠CEF＞tan∠EAB，∴∠CEF＞∠EAB，∵EF∥AB，∴∠EAB+∠AEF＝180°，∴CEF+∠AEF＞180°，因此A、E、C三点不共线．同理A、G、C三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm2
（1）小红给出的证明思路为：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成她的证明；
（2）将13cmx13cm的正方形按上述方法剪开拼合，是否可以拼合成一个长方形，但面积少了1cm2？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由．

参考答案
一．选择题
1．解：A、cos60°＝sin30°，错误；
B、sin15°＝cos75°，正确；
C、tan30°•tan60°＝1，正确；
D、sin230°+cos230°＝1，正确；
故选：A．
2．解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴，
∴tanA＝，故选项A错误；
tanB＝，故选项B错误；
sinA＝，故选项C错误；
cosA＝，故选项D正确．
故选：D．
3．解：依照题意，画出图形，如图所示．
设BC＝3x，则AB＝5x，AC＝＝4x，
∴4x＝8，
∴x＝2，
∴AB＝5x＝10．
∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，点D是AB中点，
∴CD＝AB＝5．
故选：B．

4．解：在直角三角形BCL2中，∠CBL2＝56°，BL2＝6.5，
∴CL2＝BL2tan56°，
在直角三角形ACL2中，，
∴AC2＝（6.5tan56°）2+44.52，
故选：B．
5．解：延长AD交HG于M，则MG＝CD＝28m，
设DM＝x，
在Rt△AHM中，HM＝（x+6）•tan35°，
在Rt△DHM中，HM＝x•tan45°＝x，
∴（x+6）•tan35°＝x，
即（x+6）•0.70＝x，
∴x＝14，
即HM＝14．
∴HG＝14+2.8＝16.8（m）．
故选：C．

6．解：连接AC，
AC＝，BC＝，AB＝，
∴△ABC是直角三角形，
∴sin∠ABC＝＝；
故选：A．

7．解：如图，延长CA交DB延长线与点E，过点A作AF⊥BE于点F，
则∠CED＝60°，
∵AB的坡比为1：2.4，
∴＝＝，则设AF＝5x，BF＝12x，
∵AB＝3.9米，
∴在直角△ABF中，由勾股定理知，3.92＝25x2+144x2．
解得x＝．
∴AF＝5x＝，BF＝12x＝
∴EF＝＝＝，AE＝＝＝
∵∠C＝∠CED＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵AC＝4.5米，
∴DE＝CE＝AC+AE＝4.5+（米），
则BD＝DE﹣EF﹣BF＝4.5+﹣﹣≈1.766（米），
答：浮漂D与河堤下端B之间的距离为1.766米．
故选：C．

8．解：延长AB交ED于G，过C作CF⊥DE于F，
∴GF＝BC＝5，
∵山坡CD的坡度为1：0.75，
∴设DF＝3k，CF＝4k，
∴CD＝5k＝35，
∴k＝7，
∴DF＝21，BG＝CF＝28，
∴EG＝GF+DF+DE＝5+21+19＝45，
∵∠AED＝52°，
∴AG＝EG•tan52°＝45×1.28＝57.6，
∴AB＝29.6米，
答：铁塔AB的高度约为29.6米．
故选：B．

9．解：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝40，
∴AD＝AB＝20，BD＝AB＝20，
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝20，
∴BC＝BD+CD＝（20+20）海里，
故选：B．

10．解：延长QN交AE于H．

由题意AO＝AD＝DE＝，AE＝2，
在Rt△AOH中，∵tan∠AOH＝＝，
∴AH＝，
∴OH＝＝，DH＝AH＝AD＝，
∵△NHD∽△HAO，
∴＝＝，
∴DN＝1，HN＝，
∴ON＝OH﹣HN＝5，
∵OM＝DN＝1，
∴MN＝5﹣1＝4，
∴正方形MNUV的周长为16，
故选：C．
二．填空题
11．解：由于U型管的物理性质可知：现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，水平面高度仍然相等，
旋转前，EF＝AC＝9，
此时EF+AF+AC＝18+AF，
旋转后，EF+AF+AB＝18+AF，
设旋转后EF＝AC＝x，
∴AB＝2x，
∴3x+18，
∴x＝6，
∴AB＝2×6＝12．
故答案为12．

12．解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．
∵S△ABC＝AC•3＝AB•CE，即×2×3＝×3•CE，
∴CE＝．
在Rt△BCE中，BC＝，CE＝，
∴BE＝＝2，
∴tan∠ABC＝＝．
故答案为：．

13．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°．
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，
∴BE＝BC＝AE．
设BC＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x．
∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，即＝，
解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴cosA＝＝＝．
故答案为：．

14．解：作BE⊥AC于E，
在Rt△ABE中，sin∠BAC＝，
∴BE＝AB•sin∠BAC＝6×＝3，
由题意得，∠C＝45°，
∴BC＝＝3÷＝3（千米），
故答案为：3．

15．解：作AF⊥CD于F，
则四边形ABCF为矩形，
∴AF＝BC＝20，AB＝CF，
∵∠AFD＝90°，∠DAF＝45°，
∴DF＝AF＝20，
在Rt△DBC中，tan∠DBC＝，
则CD＝BC•tan∠DBC＝20，
∴BA＝CF＝CD﹣DF＝20﹣20（m）
故答案为：20﹣20．

16．解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG＝CH，CG＝DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH＝30°，AD＝2米，
∴DH＝米，AH＝米，
∴CG＝米，
设BC＝x米，
在直角三角形ABC中，AC＝＝x米，
∴DG＝（3
⎷
3
+x）米，BG＝（x﹣3）米，
在直角三角形BDG中，∵BG＝DG•tan30°，
∴x﹣3＝（3
⎷
3
+x）×
⎷
3

3
，
解得：x＝9+3
⎷
3
，
∴BC＝（9+3
⎷
3
）米．
答：大树的高度为（3+5）米

17．解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB＝EF，AE＝BF．
由题意可知：AE＝BF＝100米，CD＝500米．
在Rt△AEC中，∠C＝60°，AE＝100米．
∴CE＝＝＝（米）．
在Rt△BFD中，∠BDF＝45°，BF＝100米．
∴DF＝＝100（米）．
∴AB＝EF＝CD+DF﹣CE＝500+100﹣＝600﹣（米）．
答：岛屿两端A、B的距离为（600﹣）米．
故答案为：（600﹣）．

18．解：过最高点作桌面的垂线AD，过流水口B作桌面的垂线BC，作BE⊥AD于点E，如图所示，

在Rt△BCF中，有∠BFC＝52°，BF＝15cm，
∴BC＝BF•sin52°＝15×0.79＝11.85（cm），
∴DE＝BC＝11.85cm，
∵BE∥CD，
∴∠EBF＝∠BFC＝52°，
∴∠ABE＝90°﹣52°＝38°，
∴∠BAE＝90°﹣38°＝52°，
在Rt△ABE中，AB＝15cm，
∴AE＝AB•cos52°＝15×0.62＝9.3（cm），
∴AD＝AE+DE＝9.3+11.85＝21.15（cm）．
故答案为：21.15．
19．解：设小正方形的边长为1，
∵AC＝＝，BC＝＝5，AB＝＝2，
∵AB2+AC2＝（2）2+（）2＝25，BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠CAB＝90°，
∴cos∠ABC＝＝；
故答案为：．
20．解：∵∠A＝90°，∠ABD＝∠ACB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵AD＝AC，
∴AB＝，
∴BD＝，
∴sin∠ABD＝，
故答案为：．
三．解答题
21．解：原式＝﹣（）2+1﹣2×
＝﹣+1﹣
＝．
22．解：过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，
在Rt△ABE中，∠A＝30°，AB＝8m，
∴BE＝4m，
∵BF∥AD，
∴∠ABF＝30°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠CBF＝45°，
在Rt△BCF中，CB＝8m，
∴CF＝4m，
∴C点到人行道AD的距离为4+4米；

23．解：作DG⊥AE于G，DF⊥EH于F，
则四边形GEFD为矩形，
∴GE＝DF，GD＝EF，
设DF＝a米，则GE＝a，
在Rt△DCF中，∠DCF＝30°，
∴CD＝2DF＝2a，CF＝a，
∴EF＝EC+CF＝120+a，
∵AM∥GD，
∴∠ADG＝∠MAD＝45°，
∴AG＝DE＝EF＝120+a，
∵BN∥EF，
∴∠BCE＝∠NBC＝60°，
在Rt△BEC中，tan∠BCE＝，
BE＝EC•tan60°＝120×＝360，
AG＝AB+BE﹣GE＝450﹣a，
∴450﹣a＝120+a，
解得，a＝285﹣405，
∴CD＝2a＝570﹣810，
答：山体滑坡的坡面长度CD的长为（570﹣810）米．

24．解：作AE⊥BC交BC于点E，则∠AEB＝∠AEC＝90°，

由已知，得∠NAB＝75°，∠C＝45°，
∴∠B＝30°，
∵BD＝AD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∵AB＝80，
∴AE＝AB＝40，
∴，
，
答：C、D两名同学与A同学的距离分别是40米和米．
25．解：过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，
根据题意，得AB＝300m，∠APC＝71°，∠BPC＝35°，
设PC＝xm，
在Rt△PBC中，BC＝CP×tan35°≈0.70x（m），
在Rt△PAC中，AC＝CP×tan71°≈2.90x（m），
∴300+0.70x＝2.90x，
∴x＝，
答：无人飞机P离地面的高度约为136米．
26．（1）过点P作PE⊥AC于点E，过点Q作PF⊥AC，
设BE＝x，
∴AE＝10+x，
∵∠A＝45°，
∴PE＝AE＝10+x，
∵tan∠PBE＝，
∴＝，
解得：x＝30，
∴PE＝30+10＝40；
（2）∵∠QBC＝30°，QF＝PE＝40，
∴BF＝QF，
∴BF＝40，
∴PQ＝EF＝BF﹣BE＝40﹣10≈59.3；

27．解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，
∴四边形AHEF为矩形，
∴EF＝AH＝1.4m，∠HAF＝90°，
∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，
在Rt△ACF中，sin∠CAF＝，
∴CF＝0.9sin28°＝0.9×0.47≈0.423m，
CE＝CF+EF＝0.423+1.4≈1.8m，
答：操作平台C离地面的高度为1.8m；

28．解：（1）以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
在Rt△EFC中，EC＝，
在直角梯形ABFE中，AE＝，
若A、E、C三点共线，则在Rt△ABC中，
AC＝，
∵≠+，
∴A、E、C三点共线不共线，
∴所以拼合的长方形内部有空隙；
（2）设剪开的长方形短边长为xcm，
根据题意可得：
（13﹣x）（13+13﹣x）＝13×13﹣1，
∴x2﹣39x+170＝0，
∴x＝5或x＝34（舍），
∴可以拼成成一个长方形，但面积少了1cm2，剪开的三角形的短边长是5cm；

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