高中数学立体几何讲义.doc

平面与空间直线
(Ⅰ)、平面的基本性质及其推论
1、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形
符号语言
文字语言（读法）

点在直线上。

点不在直线上。

点在平面内。

点不在平面内。

直线、交于点。

直线在平面内。

直线与平面无公共点。

直线与平面交于点。

平面、相交于直线。
（平面外的直线）表示或。

2、平面的基本性质
公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
推理模式：。 如图示：
应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。

公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
推理模式：且且唯一如图示：
应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。

α
D
C
B
A
E
F
H
G

例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．
解：∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β．
又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．

α
D
C
B
A
l
例2
β
M
例2．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．
证明 ∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．
∴ AB，CD必定相交于一点，
设ABCD＝M．
又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ．
又∵αβ＝l，∴M∈l，
即AB，CD，l共点．
说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．

公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推理模式：不共线存在唯一的平面，使得。
应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。
例3．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，
但AÏd，如图1．
α
b
a
d
c
G
F
E
A
图1
∴直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．
同理可证bα，cα．
∴a，b，c，d在同一平面α内．
a
b
c
d
α
H
K
图2
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
又 H，K∈c，∴c,则cα．
同理可证dα．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．

“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。

推论1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。
推理模式：存在唯一的平面，使得， 。
推论2： 经过两条相交直线有且只有一个平面。
推理模式：存在唯一的平面，使得。
推论3： 经过两条平行直线有且只有一个平面。
推理模式：存在唯一的平面，使得。

练习：
1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1的中，A1C1B1D1＝O1，B1D 平面A1BC1＝P．
求证：P∈BO1．
证明 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，
A1
A
B
B1
D
D1
C
C1

O1
P
∵B1D平面A1BC1＝P，∴P∈平面A1BC1，P∈B1D．
∵B1D平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1，且P∈平面BB1D1D．
∴P∈平面A1BC1平面BB1D1D，
∵A1C1B1D1＝O1，A1C1平面A1BC1，B1D1平面BB1D1D，
∴O1∈平面A1BC1，且O1∈平面BB1D1D．
又B∈平面A1BC1，且B∈平面BB1D1D，
∴平面A1BC1平面BB1D1D＝BO1．∴P∈BO1
说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上。

（Ⅱ）、空间两条直线
1、空间两直线的位置关系：（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；
2、公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式：。
3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
4、等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等。

P
A
B
C
D
b
c
a
5、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与是异面直线。异面直线的判定方法：①判定定理；②定义法；③反证法是证明两直线异面的有效方法。

例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．
证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线。
证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。

6、异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围：。
7、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作。
8、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 向量法：用向量的夹角公式。

例2．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ A ）
300 450 600

A
C
E
G
F
D
B
α
β
例3． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角
解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，
∠BAD=450 ，Rt△ACB中，BC=AB·cos300= ，
在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=
在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。
说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=。
9、两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线。理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义。两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：①几何法；②向量法。
例4．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：）
例5．两条异面直线、间的距离是1cm，它们所成的角为600，、上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为_______．
答案：

A1
A
B
B1
D
D1
C
C1

O
练习：
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的中，求证：B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段．
证明：如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
连结B1D1，A1C1，BD，AC．
设B1D1A1C1＝M，BDAC＝N．
∴ M，N分别是B1D1，AC的中点．
连结BM，D1N．
∵ BB1∥DD1，且BB1＝DD1，
∴ 四边形BDD1B1是平行四边形．
在平面BDD1B1中，设B1DBM＝O，B1DD1N＝O1，
A1
A
B
B1
D
D1
C
C1
图1
M
O
N
O1
在平行四边形BDD1B1中，
∵ D1M∥NB，且D1M＝NB，
∴ 四边形BND1M是平行四边形．
∴ BM∥ND1，即 OM∥O1D1，
∴ O是BO1的中点，即 O1O＝OB1．
同理，OO1＝O1D．
∴ O1O＝OB1＝O1D．
综上，OB1∶OD1＝1∶2．

2．如图，已知平面α、β交于直线，AB、CD分别在平面α，β内，且与分别交于B，D两点．若∠ABD＝∠CDB，试问AB，CD能否平行？并说明理由．
证明：直线AB，CD不能平行．否则，若AB∥CD，则AB∥CD共面，记这个平面为γ．
B
C
D
A
α
β
l

∴ AB，CDγ．
∴ ABα，D∈γ．
由题知，ABα，D∈α，且DÏAB，
根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，α与γ重合．
同理，β与γ重合．
∴ α与β重合，这与题设矛盾．
∴ AB，CD不能平行．

3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，求证：CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．
A
A1
D1
D
C
C1
B1
B

证明：假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线．
设直线CD1与BC1共面α．
∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α．
∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1确定平面BB1C1C，
∴C，B，C1∈平面BB1C1C．
∵不共线的三点C，B，C1只有一个平面，
∴平面α与平面BB1C1C重合．
∴D1∈平面BB1C1C，矛盾．
因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线．

基础巩固训练
1、 下列推断中，错误的是（ ）。 C
A． B．
C． D．，且A、B、C不共线重合
2、判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”。
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）。（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）。
（3）两条相交直线可以确定一个平面（ ）。（4）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）。
（5）三条平行直线可以确定三个平面（ ）。（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）。（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）。（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）。 ⑴×⑵×⑶√⑷×⑸×⑹×⑺×⑻√。
3、如下图，正四面体S—ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（ ）。
A B C D
解析：取AC的中点E，连结DE、BE，则DE∥SA，
∴∠BDE就是BD与SA所成的角设SA=a，则BD=BE= a DE=a，cos∠BDE== 。答案：C

异面直线
题型：异面直线的判定或求异面直线所成的角及距离
[例4]、A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角。
（1）证明：用反证法。
假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，
从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线。
（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°。
[反思归纳] ①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”注意，异面直线所成角的范围是（0，］。
[例5]、长方体中，已知AB=a，BC=b， =c，且a>b，求：
（1）下列异面直线之间的距离：AB与；AB与；AB与。
（2）异面直线与AC所成角的余弦值。
（1）解：BC为异面直线AB与的公垂线段，故AB与的距离为b。
为异面直线AB与的公垂线段，故AB与的距离为c。
过B作BE⊥，垂足为E，则BE为异面直线AB与的公垂线，BE==，即AB与的距离为。
（2）解法一：连结BD交AC于点O，取的中点F，连结OF、AF，则OF∥，∴∠AOF就是异面直线与AC所成的角。
∵AO=，OF= =，
AF=，∴在△AOF中，

cos∠AOF==。
解法二：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的夹角公式计算。
[反思归纳]1、 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：①几何法；②向量法。2、求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 向量法：用向量的夹角公式。

空间中的平行关系
（Ⅰ）、直线与平面平行
1．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: ．
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：．
3. 直线与平面平行证明方法：
①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；
②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；
③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

4 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：．

（Ⅱ）、平面与平面平行
1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．
2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．
3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：，，，，．
平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．
推理模式：．
4. 证明两平面平行的方法：
（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β。
（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a⊥α，a⊥β则α∥β
（4）平行于同一个平面的两个平面平行。。
5．两个平面平行的性质有五条：
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β。
（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。
（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。
（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。
（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。

（Ⅲ）、线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换

（三）、基础巩固训练
1、若两条直线m, n分别在平面α、β内，且α//β，则m, n的关
系一定是（ ）。 D
（A）平行 （B） 相交 （C）异面 （D）平行或异面
2、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这
两个平面的交线的位置关系是( ). C
A异面 B相交 C平行 D不能确定
3、a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立
的是（ ）。 （如图） D
A过A有且只有一个平面平行于a、b B过A至少有一个平面平行于a、b
C过A有无数个平面平行于a、b D过A且平行a、b的平面可能不存在
5、a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
其中正确的命题是__________（将正确的序号都填上）。 ①④⑤⑥。

考点：线面平行的判定与性质
题型：证明线面平行与线面平行性质的运用
例1、 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE
证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ
又NQ= BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形
∴MN∥PQ，PQ平面BCE 而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE
证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG
∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，
∴MG∥平面BCE 又==，
∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE
又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE 又MN平面MNG∴MN∥平面BCE。
[反思归纳]证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行。
例2、 如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点
证明：连结AN，交平面α于点Q，连结PQ
∵b∥α，b平面ABN，平面ABN∩α=OQ，∴b∥OQ又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点 ∵a∥α，a平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ∴P为MN的中点
[反思归纳]本题重点考查直线与平面平行的性质

考点：面面平行的判定与性质
题型：证明面面平行与面面平行性质的运用
例3、如图，在四棱锥P – ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．
求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行.
证明： ∵O、M分别是AC、PA的中点，连接OM，则OM//PC。
∵OM平面PCD，PC平面PCD，∴OM//平面PCB．
连结ON，则ON//AB，由AB//CD，知ON//CD．
∵ON 平面PCD，CD 平面PCD，∴ON//平面PCD．
又∵OM∩ON=O，∴OM、ON确定一个平面OMN．
由两个平面平行的判定定理，知平面OMN与平面PCD平行，即过D、M、N三点的平面与侧面PCD平行。
（二）、强化巩固训练
1、如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF∥平面ABCD 。
证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN
∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC
∴EM∥BB1，FN∥BB1∴EM∥FN 又B1E=C1F，∴EM=FN
故四边形MNFE是平行四边形 ∴EF∥MN又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD
证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连结GF，则=
∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴= ∴FG∥B1C1∥BC 又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD而EF在平面EFG中， ∴EF∥平面ABCD
【点评】证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行。

2、已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8。（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值。
（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE
∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND。 又∵BN∶ND=PM∶MA，
∴EN∶AN=PM∶MA。∴MN∥PE。
又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC。
（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的
角就是PE与平面ABCD所成的角
设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO
为PE与平面ABCD所成的角
由正棱锥的性质知PO==
由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE=
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=
在Rt△POE中，PO=，PE=，∴sin∠PEO==。
故MN与平面ABCD所成角的正弦值为。
【点评】：证线面平行，一般是转化为证线线平行求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易可见平移是求线线角、线面角的重要方法当然，也可以建立坐标系，用向量法求角，后面有专门的介绍。

3、正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD。
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F

证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD， 又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，
∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．
∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
【点评】 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行。

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