【数学】2018年高考真题——全国卷Ⅲ(文).doc

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）
文科数学
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于(　　)
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
答案　C
解析　∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，
∴A∩B＝{1,2}．
2．(1＋i)(2－i)等于(　　)
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
答案　D
解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

答案　A
解析　由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.

4．若sin α＝，则cos 2α等于(　　)
A. B.
C.－ D.－
答案　B
解析　∵sin α＝，
∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
答案　B
解析　由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.
6．函数f(x)＝的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
答案　C
解析　由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
7．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
答案　B
解析　函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝对称，令a＝2可得与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图象．
8．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
答案　A
解析　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
9．函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　方法一　f′(x)＝－4x3＋2x，则f′(x)＞0的解集为∪，此时f(x)单调递增；f′(x)＜0的解集为∪，此时f(x)单调递减．
方法二　当x＝1时，y＝2，所以排除A，B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝＞2，所以排除C选项．
10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)
A. B.2 C. D.2
答案　D
解析　由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.
又因为a＞0，b＞0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，
所以点(4,0)到渐近线的距离为＝2.
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵S＝absin C＝＝
＝abcos C，
∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
12．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　)
A．12 B．18
C．24 D．54
答案　B
解析　由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，
所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.
所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.
二、填空题
13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
答案　
解析　由题意得2a＋b＝(4,2)，
因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.
14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
答案　分层抽样
解析　因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．
15．若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是________．
答案　3
解析　画出可行域如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－3x＋3z，作出直线y＝－3x，并平移该直线，当直线y＝－3x＋3z过点A(2,3)时，目标函数z＝x＋y取得最大值为2＋×3＝3.

16．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
答案　－2
解析　∵f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2.
三、解答题
17．等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
解　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
18．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表；

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2＝，
.
解　(1)第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
(ⅰ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min；用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅱ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 min.因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅲ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 min；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 min.因此第二种生产方式的效率更高．
(ⅳ)由茎叶图可知，用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．
(2)由茎叶图知m＝＝80.
列联表如下：

(3)因为K2＝＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
19．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
(1)证明　由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，
又DM⊂平面CMD，
故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，
所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，
所以DM⊥平面BMC.
又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)解　当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，
所以O为AC中点．
连接OP，因为P为AM中点，
所以MC∥OP.
又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，
所以MC∥平面PBD.
20．已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m＞0)．
(1)证明：k＜－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：2||＝||＋||.
证明　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k，得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①
由题设得0＜m＜，故k＜－.
(2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，
y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.
又点P在C上，所以m＝，从而P，
||＝.
于是||＝＝＝2－.
同理||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||.
21．已知函数f(x)＝.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；
(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.
(1)解　f′(x)＝，
f′(0)＝2，f(0)＝－1.
因此曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程是
2x－y－1＝0.
(2)证明　当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.
令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.
当x＜－1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x＞－1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
所以g(x)≥g(－1)＝0.
因此f(x)＋e≥0.
22．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点当且仅当＜1，
解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为
.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，所以tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
.
23．选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b恒成立，求a＋b的最小值．

解　(1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值为5.