带电粒子在复合场中的运动(高考真题).doc

全国高考真题
带电粒子在复合场中的运动
(2007年全国卷2)25.（20分）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中在在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中在在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O点的距离为l，一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域，并再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：
（1）粒子经过C点时速度的大小和方向；
（2）磁感应强度的大小B。

O
v
A
B
C
x
y
θ
φ
（2008年全国卷1）25．（22分）如图所示，在坐标系xOy中，过原点的直线OC与x轴正向的夹角φ=120º。在OC右侧有一匀强电场；在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为y轴、左边界为图中平行于y轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一带正电荷q、质量为m的粒子以某一速度自磁场左边界上的A点射入磁场区域，并从O点射出。粒子射出磁场的速度方向与x轴的夹角θ=30º，大小为v。粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍。粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场。已知粒子从A点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期。忽略重力的影响。求：
⑴粒子经过A点时速度的方向和A点到x轴的距离；
⑵匀强电场的大小和方向；
⑶粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间。

（2009年全国卷2）25.（18分）如图,在宽度分别为和的两个毗邻的条形区域分别有匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面向里，电场方向与电、磁场分界线平行向右。一带正电荷的粒子以速率v从磁场区域上边界的P点斜射入磁场，然后以垂直于电、磁场分界线的方向进入电场，最后从电场边界上的Q点射出。已知PQ垂直于电场方向，粒子轨迹与电、磁场分界线的交点到PQ的距离为d。不计重力,求电场强度与磁感应强度大小之比及粒子在磁场与电场中运动时间之比。

(2010年全国卷)26（21分）如图，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于x y平面向外。P是y轴上距原点为h的一点，N0为x轴上距原点为a的一点。A是一块平行于x轴的挡板，与x轴的距离为，A的中点在y轴上，长度略小于。带点粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y方向的分速度反向、大小不变。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子从P点瞄准N0点入射，最后又通过P点。不计重力。求粒子入射速度的所有可能值。

（2010年全国卷1）26.（21分）如下图，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m;
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。

（2010年新课标）25.(18分)如图所示，在0≤x≤a、o≤y≤范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～范围内.己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一.求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
(1)速度大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角正弦。

（2011年全国卷）25.（19分）如图，与水平面成45°角的平面MN将空间分成I和II两个区域。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度从平面MN上的点水平右射入I区。粒子在I区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在II区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从II区离开时到出发点的距离。粒子的重力可以忽略。

（2011年新课标）25．（19分）如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d<x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求
⑴粒子a射入区域I时速度的大小；
⑵当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。
y
x
O
P
B
2B
×
Ⅰ
Ⅱ
d
2d

（2012年新课标）25.（18分）如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心O到直线的距离为。现将磁场换为平等于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小。
b
a
O

（2012年全国卷2）26．图中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为V;两板之间有匀强磁场，磁场应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里。图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里。假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面，垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域。不计重力
（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。
（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为，求离子乙的质量。（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。

E
F
G
H

（2009年福建卷）22.(20分)图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T,在X轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m,电量为q,不记其重力。
（1）求上述粒子的比荷；
（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

带电粒子在复合场中的运动(参考答案)
(2007年全国卷)
【分析】（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有
qE＝ma ①
加速度沿y轴负方向。沿粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有
h＝at2 ②
l＝v0t ③
由②③式得
v0＝ ④
设粒子从C点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量
v1＝ ⑤
由①④⑤式得
v＝＝ ⑥
设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有
tanα＝ ⑦
由④⑤⑦式得
α＝arctan ⑧
（2）粒子从C点进入磁场后在磁场中作速度为v的圆周运动。若圆周的半径为R，则有
qvB＝m ⑨
设圆心为P，则PC必与过C的速度垂直，且有＝＝R。用β表示与y轴的夹角，由几何关系得
Rcosβ＝Rcosα＋h ⑩
Rsinβ＝l－Rsinα
由⑧⑩式解得
R＝
由⑥⑨式得
B＝

（2008年全国卷）
（1）设磁场左边界与x轴相交于D点，与CO相交于O´点，则几何关系可知，直线OO´与粒子过O点的速度v垂直。在直角三角形OO´D中∠OO´D =30º。设磁场左右边界间距为d，则OO´=2d。依题意可知，粒子第一次进入磁场的运动轨迹的圆心即为O´点，圆孤轨迹所对的圆心角为30º，且O´A为圆弧的半径R。
由此可知，粒子自A点射入磁场的速度与左边界垂直。
A点到x轴的距离
…………①
由洛仑兹力公式、牛顿第二定律及圆周运动的规律，得
……………………②
联立①②式得
……………③
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，第一次在磁场中飞行的时间为t1，有
…………………………④
………………………⑤
依题意，匀强电场的方向与x轴正向夹角应为150º。由几何关系可知，粒子再次从O点进入磁场的速度方向与磁场右边夹角为60º。设粒子第二次在磁场中飞行的圆弧的圆心为，必定在直线OC上。设粒子射出磁场时与磁场右边界交于P点，则∠OP=120º。设粒子第二次进入磁场在磁场中运动的时间为t2，有
………………………………⑥
设带电粒子在电场中运动的时间为t3，依题意得
……………………⑦
由匀变速运动的规律和牛顿定律可知
…………………………⑧
………………………………⑨
联立④⑤⑥⑦⑧⑨可得
…………………………⑩
（3）粒子自P点射出后将沿直线运动。设其由P´点再次进入电场，则几何关系知
……………………
三角形OPP´为等腰三角形。设粒子在P、P´两点间运动的时间为t4，有
……………………………
又由几何关系知……………
联立②式得

（2009年全国卷2）
【解析】本题考查带电粒子在有界磁场中的运动.
粒子在磁场中做匀速圆周运动,如图所示.由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直,圆心O应在分界线上,OP长度即为粒子运动的圆弧的半径R.由几何关系得
………①
设粒子的质量和所带正电荷分别为m和q,由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

……………②

设为虚线与分界线的交点,,则粒子在磁场中的运动时间为……③
式中有………④粒子进入电场后做类平抛运动,其初速度为v,方向垂直于电场.设粒子的加速度大小为a,由牛顿第二定律得…………⑤
由运动学公式有……⑥ ………⑦
由①②⑤⑥⑦式得…………⑧
由①③④⑦式得
（2009年全国卷1）
26. 【解析】设粒子的入射速度为v,第一次射出磁场的点为,与板碰撞后再次进入磁场的位置为.粒子在磁场中运动的轨道半径为R,有…⑴,粒子速率不变,每次进入磁场与射出磁场位置间距离保持不变有…⑵,粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离始终不变,与相等.由图可以看出……⑶
设粒子最终离开磁场时,与档板相碰n次(n=0、1、2、3…).若粒子能回到P点,由对称性,出射点的x坐标应为-a,即……⑷,由⑶⑷两式得……⑸
若粒子与挡板发生碰撞,有……⑹联立⑶⑷⑹得n<3………⑺联立⑴⑵⑸得
………⑻把代入⑻中得
…………⑼
…………⑾
…………⑿

（2010新课标）
A
x
y
D
P
O
R
C
v
α
α
α
a
【答案】（1）（2）
【解析】设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，
根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：，解得：
当a/2<R<a时，在磁场中运动的时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，t=T/4时，∠OCA=π/2
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得：
，且
解得：
（2010年全国卷1）
【答案】⑴
⑵速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°
⑶从粒子发射到全部离开所用 时间 为
【解析】 ⑴粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过做OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有
解得
，则粒子做圆周运动的的圆心角为120°，周期为
粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得
，，化简得
⑵仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出。
角度最小时从磁场右边界穿出圆心角120°，所经过圆弧的弦与⑴中相等穿出点如图，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以此时速度与y轴的正方向的夹角是60°。
角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的的夹角是60°，则此时速度与y轴的正方向的夹角是120°。
所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°
⑶在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，
R
R
R
在三角形中两个相等的腰为，而它的高是
，半径与y轴的的夹角是30°，这种粒子的圆心角是240°。所用 时间 为。
所以从粒子发射到全部离开所用 时间 为。
（2011新课标）
y
x
O
P
B
Ⅰ
Ⅱ
d
2d
Oa
Ob
θ′
α
P′
Pa
Pb
θ
25．⑴（提示：由几何关系，ra1=2d，）
⑵（提示：，得ra2=d，a在Ⅱ中的偏转角θ′=60º，a离开II时，a的纵坐标ypa=(2-)d；粒子在Ⅰ、Ⅱ中的周期，因此a在Ⅱ中经历的时间是T2/6= T1/12，这段时间内b的偏转角α=30º，而b的半径是a的1/3，因此ypb=）
（2011全国卷）
解析：设粒子第一次过MN时速度方向与水平方向成α1角，位移与水平方向成α2角且α2=450，在电场中做类平抛运动，
则有：得出：
在电场中运行的位移:
在磁场中做圆周运动，且弦切角为α=α1-α2，
得出：
在磁场中运行的位移为：
所以首次从II区离开时到出发点的距离为：

（2012年新课标）
b
a
O
d
c
24解析:粒子在磁场中做圆周运动,设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得:①,式中v为粒子在a点的速度.
过b点和O点作直线的垂线,分别与直线交于c和d点,由几何关系知,线段和过a、b两点和轨迹圆弧的两条半径(末画出)围成一正方形,因此②
设,由几何关系得: ③ ④
联立②③④式得: ⑤
再考虑粒子在电场中的运动,设电场强度的大小为E,粒子在电场中做类平抛运动.设其加速度大小为a,由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得:qE=ma⑥ ⑦ r=vt⑧
式中t是粒子在电场中运动的时间,联立①⑤⑥⑦⑧式得:⑨

（2012年全国卷2）
【答案】边上从到点。边上从到。
【解析】（1）由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，它所受到的向上的磁场力和向下的电场力平衡，有 ①
式中，v是离子运动的速度，E0是平行金属板之间的匀强电场的强度，有
② 由①②式得： ③
在正三角形磁场区域，离子甲做匀速圆周运动。设离子甲质量为m，
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有： E
F
G
H
O
K
I/
④
式中，r是离子甲做圆周运动的半径。离子甲在磁场中的运动轨迹为半圆，圆心为O：这半圆刚好与EG边相切于K，与EF边交于I/点。在ΔEOK中，OK垂直于EG。
由几何关系得 ⑤
由⑤式得 ⑥
联立③④⑥式得,离子甲的质量为 ⑦
（2）同理，有洛仑兹力公式和牛顿第二定律有 ⑧
E
F
G
H
O/
I
式中，和分别为离子乙的质量和做圆周运动的轨道半径。离子乙运动的圆周的圆心必在E、H两点之间，又几何关系有
⑨
由⑨式得 ⑩
联立③⑧⑩式得，离子乙的质量为 ⑾
（3）对于最轻的离子，其质量为，由④式知，它在磁场中做半径为的匀速圆周运动。因而与EH的交点为O，有 ⑿
当这些离子中的离子质量逐渐增大到m时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边变到点；当离子质量继续增大时，离子到达磁场边界上的点的位置从点沿边趋向于点。点到点的距离为 ⒀
所以，磁场边界上可能有离子到达的区域是：边上从到I/点。边上从到。

（2009年安徽卷）
（1）设粒子在磁场中的运动半径为r。如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直径，由几何关系得
①
由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得
②
联立①②并代入数据得
=4.9×C/kg（或5.0×C/kg） ③
（2）设所加电场的场强大小为E。如图乙，当粒子子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有

④
代入数据得
⑤
所加电场的长枪方向沿x轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有
⑥
⑦
联立①⑥⑦并代入数据得
⑧
（3）如图丙，所求的最小矩形是，该区域面积w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

⑨
联立①⑨并代入数据得

矩形如图丙中（虚线）

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