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数学八年级上册知识点及典型例题
第一章 平行线
1.1同位角、内错角、同旁内角
如图：直线l1 , l2 被直线l3 所截，构成了八个角。
L2
L1
L3

1. 观察∠ 1与∠5的位置：它们都在第三条直线l3 的同旁，并且分别位于直线l1 , l2 的相同一侧，这样的一对角叫做“同位角”。
2. 观察∠ 3与∠5的位置：它们都在第三条直线l3的异侧，并且都位于两条直线l1 , l2 之间，这样的一对角叫做“内错角”。
3. 观察∠ 2与∠5的位置：它们都在第三条直线l3的同旁，并且都位于两条直线l1 , l2之间，这样的一对角叫做“同旁内角”。
想一想
问题1.你觉得应该按怎样的步骤在“三线八角”中确定关系角？

确定前提（三线） 寻找构成的角（八角） 确定构成角中的关系角

问题2：在上面同位角、内错角、同旁内角中任选一对，请你看看这对角的四条边与“前提”中的“三线”有什么关系？
结论：两个角的在同一直线上的边所在直线就是前提中的第三线。
1．2 平行线的判定（1）
复习画两条平行线的方法：

提问：（1）怎样用语言叙述上面的图形？
（直线l1，l2被AB所截）
（2）画图过程中，什么角始终保持相等？
（同位角相等，即∠1＝∠2）
（3）直线l1，l2位置关系如何？
（ l1∥l2）
（4）可以叙述为：
∵∠1＝∠2
∴l1∥l2 （ ？ ）
语言叙述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单地说：同位角相等，两直线平行。
几何叙述：∵∠1＝∠2
∴l1∥l2 （同位角相等，两直线平行）
想一想

平行线判定方法的特殊情形：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

1．2 平行线的判定（2）
E
F
4
A
B
C
D
1
3
2
图中，直线AB与CD被直线EF所截，①若∠3＝∠4，则AB与CD平行吗？②若∠2+∠4＝180°，则AB与CD平行吗？

①∵∠3＝∠4，∠1＝∠4 ②∵∠2+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°
∴∠1＝∠3 ∴∠3＝∠4
∴ AB∥CD（ ） ∴ AB∥CD（ ）
① 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则两条直线平行。简单的说，内错角相等，两直线平行。
② 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则两条直线平行。简单的说，同旁内角互补，两直线平行。
2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=43°,∠1=47°，
E是AC延长线上的一点，则AB与CD平行吗？请说明理由。

1．3 平行线的性质
图中，直线AB∥CD，并被直线EF所截。∠1与∠2相等吗？∠2与∠3相等吗？∠3与∠4的和是多少度？

平行线的性质：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说，两直线平行，同位角相等。
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说，两直线平行，内错角相等。
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说，两直线平行，同旁内角互补。

1．4平行线之间的距离
复习点到点的距离，点到直线的距离。
两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离处处相等。
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离。
测量两条平行线之间的距离：①在一条直线上任意取一点A，并过A作另一条直线的垂线段AB
②量出AB的距离
3、在直线L上找一点P，使PA+PB最短。
L
. A
. B

第二章 特殊三角形
2．1 等腰三角形
有两边相等的三角形叫做等腰三角形。（特殊情况是正三角形）
A

B
C

相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC，叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。

(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)∠B＝∠C
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线。
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。

等A
B
C
D
E
F
腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
例题：如图，在等腰三角形ABC中，AD是顶角的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，点
E、F关于AD对称吗？

2．2 等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等。也就是说，在同一个三角形中，等边对等角。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。简称等腰三角形三线合一。
用几何语言表述为：
在△ABC中，如图
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（在同一个三角形中，等边对等角）
在△ABC中，如图
（1）∵AB＝AC ，∠1＝∠2
∴AD⊥BC，BD＝DC （等腰三角形三线合一）
（2）∵AB＝AC，BD＝DC
∴AD⊥BC，∠1＝∠2
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
∴BD＝DC，∠1＝∠2
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是两底角的平分线。猜想：BD＝CE。
2．3 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简单的说，在同一个三角形中，等角对等边。

2．4 等边三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，也叫正三角形
（等腰三角形不一定是等边三角形）

等边三角形的内角都相等，且等于60°；反过来，三个内角都等于60°的三角形一定是等边三角形。
等边三角形是轴对称图形，等边三角形每条边上的中线、高线和每对角的平分线三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。(等边三角形的对称轴有3条)

等边三角形：
(1) 三边相等的三角形是等边三角形
(2) 三角相等的三角形是等边三角形
(3) 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

2、△ABC为等边三角形，D为AB上任意一点，连接CD。
（1）在BD左侧，以BD为一边作等边三角形BDE；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
A
（2）连接AE，求证CD＝AE。

D

B
C

第三章 直棱柱
3．1 认识直棱柱
由若干个平面围成的几何体叫做多面体。
多面体上相邻两个面之间的交线叫做多面体的棱；几个面的公共顶点叫做多面体的顶点。
棱柱是特殊的多面体，分为直棱柱和斜棱柱。
侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；侧棱与底面不垂直的棱柱是斜棱柱。
直棱柱根据底面图形的边数，分为直三棱柱、直四棱柱……
直棱柱有以下特征：有上、下两个底面，底面是平面图形中的多边形，而且彼此全等；
侧面都是长方形（含正方形）。
长方体和立方体都是直四棱柱。

直棱柱的相邻两条侧棱互相平行且相等。

3．2直棱柱的表面展开图
立方体的表面展开图：

直棱柱的表面展开图具有的特征：1、是连在一起的一个平面图形；
2、是沿着直棱柱某些棱展开铺平得到的；
3、组成展开图的各个多边形是直棱柱的各个侧面和底面。

习题
A
B
C
有一个由铁丝折成的立方体框，立方体的边长为了2cm，在框的A处有一只蚂蚁，在B处有一粒糖，蚂蚁想吃到糖，所走的最短路程是多少cm? 其他条件不变，把B处的糖换成C处，又该如何？
如果是由纸折成的立方体，则蚂蚁要吃到C处的糖，最短路程是多少cm？

3．3 三视图
从正面看到的图形叫主视图，从左面看到的图形叫左视图，从上面看到的图形叫俯视图。
主视图、左视图、俯视图合称三视图。

下面是由7块小正方体木块堆成的物体，从三个方向看到图形如下
左
俯
主

“长对正、高平齐、宽相等”是画三视图必须遵循的法则。

3．4 由三视图描述几何体
由三视图描述几何体（或实物原型），一般先根据各视图想象从各个方面看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体（或实物原型）的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置，以及各个方向的尺寸。
2、由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图，如图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数最多是 个。

主视图 左视图 俯视图

3、如图，这是某工件的三视图，求这个工件的表面积。
3cm
10cm

主视图 左视图 俯视图

第四章 样本与数据分析初步
4．1 抽样
人们在研究某个自然现象或社会现象时，往往会遇到不方便、不可能或不必要对所有的对象作调查的情况，于是从中抽取一部分对象作调查，这就是抽样。

调查的两种方法：
1、普查即全面调查，如人口普查的方法。
2、抽样调查即部分调查，当遇到不方便、不可能或不必要对所有的对象作调查分析时，采用抽样的方法。

在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察的对象叫做个体，从总体中取出的一部分个体的集体叫做这个总体的一个样本，样本中的个体的数目叫做样本的容量。

例：1、调查某县农民家庭情况时，从中取出1000名农民进行统计。
2、 为检测一批日光灯的寿命，从中抽样检测50个是日光灯的寿命。
分析：
如果要考察的对象内容比较笼统时，样本通常指的是人和物。因此，该县的全体农民是总体，每一个农民就是个体。从中取出1000名农民集体是总体的一个样本。样本容量是1000(没有单位)。
如果要考察的对象内容是某一方面的特性时，这些特性常常以数据的形式呈现出来。这批日光灯的寿命的全体是总体，个体是每支日光灯的寿命，样本是指抽取的各支日光灯的寿命的集体。

4．2 平均数
一般地，如果有n个数,,…，我们把＝(…＋)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，用符号 表示，读做“拔”。计算平均数公式：
＝(…＋)
在实践中，常用样本的平均数来估计总体的平均数。
加权平均数：
权：
4．3 中位数和众数
一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据（当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

4．4 方差和标准差
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。

方差是表示一组数据离散程度的统计量，从另一个角度讲方差反映了统计量的稳定程度。
方差越大，越不稳定；反之，方差越小，就越稳定。

方差的算术平方根，叫做标准差。
4．5 统计量的选择与应用
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量。
方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量。

1、一位卖运动鞋的经销商到一所学校对200名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ）
A、中位数 B、平均数 C、众数 D、方差

第五章 一元一次不等式

1.若-m>5，则m_________-5。
　　2．若a<b，则a-b_______0。
　　3．如果a>-1，那么a-b_______-1-b。
　　4．如果a2x<a2y，那么x______y。
　　5．如果ac>bc(c<0)，那么a_______b。
　　6．如果 >0，那么xy________0。
第六章 图形与坐标

探索确定位置的方法

有序数对法
方向距离法

平面直角坐标系

坐标平面内图形的变换

平移变换
对称变换

第七章 一次函数
常量、变量：在一个过程中，固定不变的量成为常量（constant）。可以取不同数值的量成为变量（variable）。
函数、自变量：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数（function），x叫做自变量（independent variable）。
解析法、列表法：像s=6v这种表示函数关系的等式，叫做函数解析式，简称函数式。用函数解析式表示函数的方法也叫解析法。有时把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法是列表法。y叫做x值对应的函数值。（举例说明）
若函数用解析法表示，只需把自变量的值代入函数式，就能得到相应的函数值。弱函数用图象法表示，对给定的自变量的值，如x=50，只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点（50,0），这条直线与图象的交点p（50,399）的纵坐标就是当x=50时的函数值。弱函数用列表法表示，函数值可以通过查表得到。
一次函数：一般地，函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）叫做一次函数（linear function）。当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k为常数，k≠0），叫做正比例函数（function of direct proportion），常数k叫做比例系数（constant of variation）。
一般地，已知一次函数的自变量与函数的两对对应值，可以按以下步骤求这个一次函数的解析式：
1、 设所求的一次函数解析式为y=kx+b，其中k，b是待确定的常数；
2、 把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组；
3、 解这个关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值；
4、 把求得的k，b的值代入y=kx+b，就得到所求的一次函数解析式。
一次函数图象：把一个函数的自变量x与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象（graph）。
一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。

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