沪科版九年级数学上册21.4.1利用二次函数模型解决最值问题同步练习题.doc

沪科版九年级数学上册21.4.1利用二次函数模型解决最值问题同步练习题
21.4.1利用二次函数模型解决最值问题　　　
一、选择题
1．某汽车出租公司一天的租车总收入y(元)与每辆出租车的日租金x(元)满足函数表达式y＝－(x－120)2＋19440(0≤x≤200)，则该公司一天的租车总收入最多为(　　)
A．120元 B．200元
C．1200元 D．19440元
2．]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图1所示的三处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，则能建成的两间饲养室总面积最大为 (　　)

图1
A．75m2 B. m2 C．48m2 D. m2
3．某超市的小王对该超市苹果的销售情况进行了统计，某种进价为2元/千克的苹果每天的销售量y(千克)和当天的售价x(元/千克)之间满足y＝－20x＋200(3≤x≤5)，若要使该种苹果当天的利润W达到最高，则其售价应为(　　)
A．5元/千克 B．6元/千克
C．3.5元/千克 D．3元/千克
4．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y(单位：万元)与销售量x(单位：辆)之间分别满足：y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为(　　)
A．30万元 B．40万元
C．45万元 D．46万元
二、填空题
5．某商品的利润y(元)与单价x(元/件)之间的函数表达式为y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，该商品的最大利润是________.
6．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y(元/平方米)是楼层数x(楼)的二次函数．其中一楼价格为4930元/平方米，二楼和六楼均为5080元/平方米，则________楼房子最贵，且价格为________元/平方米．
7．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2.
8．一件工艺品的进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价________元．
三、解答题
9．直线l过点A(a，0)和点B(0，b)，其中a＞0，b＞0，若a＋b＝12，点O为原点，△AOB的面积为S，则当b为何值时，S取得最大值？并求出这个最大值．

10．某种商品每天的销售利润y(元)与每个商品的售价x(元)之间满足关系y＝ax2＋bx－75，其图象如图2所示．
(1)当每个商品的售价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)每个商品的售价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．

图2

11.某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为y＝
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数表达式；
(2)当该产品的售价为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？

12．如图3，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB为xm，面积为Sm2.
(1)求S与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)．
(2)如果要围成面积为45m2的花圃，那么AB的长是多少米？
(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

图3

13 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图4所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

图4

答案
1．D　
2．[解析]A　设垂直于现有墙的一边长为xm，则平行于现有墙的一边长为27＋3－3x＝(30－3x)m，则饲养室的总面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x＝－3(x－5)2＋75，故能建成的饲养室的最大面积为75m2.
3．[解析]A　W＝(x－2)(－20x＋200)＝－20(x－6)2＋320，因为3≤x≤5，当x≤6时，W随x的增大而增大，故当x＝5时，W取最大值．故选A.
4．[解析]D　设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆．根据题意，得总利润W＝
y1＋y2＝－x2＋10x＋2(15－x)＝－x2＋8x＋30＝－(x－4)2＋46，故能获得的最大利润为46万元．
5．[答案]5元
[解析]当x＝1时，函数有最大值5，且1在0.5≤x≤2的范围内，所以当0.5≤x≤2时，该商品的最大利润为5元．
6．[答案]四　5200
[解析]设y＝ax2＋bx＋c，代入(1，4930)，(2，5080)，(6，5080)，
解得y＝－30(x－4)2＋5200.
当x＝4时，y＝5200.
7．[答案]12.5
[解析]设这两个正方形的边长分别为xcm和ycm，它们的面积之和为Scm2.根据题意，得4x＋4y＝20，S＝x2＋y2，所以y＝5－x，S＝x2＋(5－x)2＝2x2－10x＋25＝2(x2－5x)＋25＝
2(x－)2＋.所以当x＝2.5时，这两个正方形的面积之和最小，最小是12.5cm2.
8．5
9．解：∵a＋b＝12，∴a＝12－b.
又∵S＝ab，∴S＝(12－b)b＝－b2＋6b＝－(b－6)2＋18.
又∵－＜0，
∴当b＝6时，S取得最大值，最大值为18.
10．解：(1)函数y＝ax2＋bx－75的图象过点(5，0)，(7，16)，则
解得
则y＝－x2＋20x－75＝－(x－10)2＋25，故函数图象的顶点坐标是(10，25)．
∵a＝－1＜0，
∴当x＝10时，y最大值＝25.
故当每个商品的售价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
(2)∵函数y＝－x2＋20x－75的图象的对称轴为直线x＝10，
∴点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．
又∵函数y＝－x2＋20x－75的图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16.
即每个商品的售价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
11．解：(1)当40≤x＜60时，W＝(x－30)(－2x＋140)＝－2x2＋200x－4200，
当60≤x≤70时，W＝(x－30)(－x＋80)＝－x2＋110x－2400.
(2)当40≤x＜60时，W＝－2x2＋200x－4200＝－2(x－50)2＋800，
∴当x＝50时，W取得最大值，最大值为800；
当60≤x≤70时，W＝－x2＋110x－2400＝－(x－55)2＋625，
∴当x＞55时，W随x的增大而减小，
∴当x＝60时，W取得最大值，最大值为－(60－55)2＋625＝600.
∵800＞600，
∴当x＝50时，W取得最大值800.
答：该产品的售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元．
12．解：(1)S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x(≤x<8)．
(2)当S＝45时，有－3x2＋24x＝45.
解得x1＝3，x2＝5.
∵≤x<8，
∴x＝5，
即AB的长为5m.
(3)能围成面积比45m2更大的花圃．
∵S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，其函数图象开口向下，对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x的增大而减小，
∴在≤x<8的范围内，当x＝时，S取得最大值，S最大值＝.
即最大面积为m2，
此时AB＝m，BC＝10m.
13 解：(1)方法一：设AE＝am．由题意，得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，所以BE＝a，AB＝a.由题
意，得2x＋3a＋a＝80，所以a＝20－x，所以y＝AB·BC＝a·x＝x，
即y＝－x2＋30x，其中0<x<40.
方法二：根据题意，得CF·x＝，CF＝，DF·x＝，DF＝，所以2x＋2×＋3×＝80，整理得y＝－x2＋30x，其中0＜x＜40.
(2)y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300，因为－＜0，所以抛物线开口向下．
又因为0＜x＜40，所以当x＝20时，y取得最大值，最大值为300.
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