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知识整理：石 怿 成华丽
七年级数学（下）辅导资料（4）
4
【知识要点】
1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”
（a称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。
5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”
（a称为被开方数）。
6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
8. 立方根与平方根的区别：
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.
9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如.
10.平方表：（自行完成）
12=
62=
112=
162=
212=
22=
72=
122=
172=
222=
32=
82=
132=
182=
232=
42=
92=
142=
192=
242=
52=
102=
152=
202=
252=
题型规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、本身为非负数，有非负性，即≥0；有意义的条件是a≥0。
4、公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。
5、区分()2=a（a≥0），与 =
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
【典型例题】
1.下列语句中，正确的是（ D ）
A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B．负数没有立方根
C．一个实数的立方根不是正数就是负数
D．立方根是这个数本身的数共有三个
2. 下列说法正确的是（ C ）
A．-2是（-2）2的算术平方根
B．3是-9的算术平方根
C．16的平方根是±4
D．27的立方根是±3
3. 已知实数x，y满足 +(y+1)2=0，则x-y等于
解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，
解得x=2，y=-1，
所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
4.求下列各式的值
（1）；（2）；（3）；（4）
解答：（1）因为，所以±=±9.
（2）因为，所以－.
（3）因为=，所以=.
（4）因为，所以.
5. 已知实数x，y满足 +(y+1)2=0，则x-y等于
解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，
解得x=2，y=-1，
所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
6. 计算
（1）64的立方根是 4
（2）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正确的有 （ B ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
7.易混淆的三个数（自行分析它们）
（1）（2）（3）
综合演练
一、填空题
1、（-0.7）2的平方根是
2、若=25,=3,则a+b=
3、已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣2和a﹣4，则a的值是
4、＝ ____________
5、若m、n互为相反数，则＝_________
6、若 ，则a______0
7、若有意义，则x的取值范围是
8、16的平方根是±4”用数学式子表示为
9、大于-，小于的整数有______个。
10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=__ ___，x=___ __。
11、当时，有意义。
12、当时，有意义。
13、当时，有意义。
14、当时，式子有意义。
15、若有意义，则能取的最小整数为
二、选择题
1． 9的算术平方根是（ ）
A．-3 B．3 C．±3 D．81
2．下列计算正确的是（ ）
A．=±2 B．=9
C. D.
3．下列说法中正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．的算术平方根是±2
C. 的算术平方根是4 D. 的平方根是±2
4． 64的平方根是（ ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．±
5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）
A．4 B． C．- D．
6．下列结论正确的是（ ）
A B
C D
7．以下语句及写成式子正确的是（ ）
A、7是49的算术平方根，即
B、7是的平方根，即
C、是49的平方根，即
D、是49的平方根，即
8．下列语句中正确的是（ ）
A、的平方根是 B、的平方根是
C、 的算术平方根是 D、的算术平方根是
9．下列说法：(1)是9的平方根；(2)9的平方根是；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
10．下列语句中正确的是（ ）
A、任意算术平方根是正数
B、只有正数才有算术平方根
C、∵3的平方是9，∴9的平方根是3
D、是1的平方根
三、利用平方根解下列方程．
（1）（2x-1）2-169=0；
（2）4（3x+1）2-1=0；
四、解答题
1、求的平方根和算术平方根。
2、计算的值
3、若，求的值。
4、若a、b、c满足，求代数式的值。
5、已知，求7（x＋y）－20的立方根。
6、阅读下列材料，然后回答问题。
在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝；（一）
＝（二）
＝＝（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：
＝（四）
（1）请用不同的方法化简：
参照（三）式得＝__________________；
参照（四）式得＝___________________。
（2）化简：
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