成人高考高升专数学常用知识点及公式.doc

成人高考高升专数学常用知识点及公式
第1章 集合和简易逻辑
知识点1：交集、并集、补集
1、交集：集合A与集合B的交集记作A∩B，取A、B两集合的公共元素
2、并集：集合A与集合B的并集记作A∪B，取A、B两集合的全部元素
3、补集：已知全集U，集合A的补集记作,取U中所有不属于A的元素
解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现
知识点2：简易逻辑
概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲乙”。
题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发：
①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲
A、 若甲乙 但 乙甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件）
B、若甲乙 但 乙甲，则甲是乙的充分不必要条件
C、若甲乙 但 乙甲，则甲是乙的必要不充分条件
D、若甲乙 但 乙甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围小范围，小范围大范围”判断甲、乙相互推出情况
第2章 不等式和不等式组
知识点1：不等式的性质
1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变
2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变
3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”）
解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面
知识点2：一元一次不等式
1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。
2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生改变）。
3. 如：6x+8>9x-4，求x？ 把x的项移到左边，把常数项移到右边，变成6x-9x>-4-8，合并同类项之后得-3x>-12,两边同除-3得x<4（记得改变符号）。
知识点3：一元一次不等式组
4. 定义：由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组
5. 解法：求出每个一元一次不等式的值，最后求这几个一元一次不等式的交集（公共部分）。
① 解为{x|x>5 } 同大取大
②解为{x|x<3 } 同小取小
③ 解为Ø 大于大的小于小的，取空集
④ 解为{x|3 <x<5 }大于小的小于大的，取中间
知识点4：含有绝对值的不等式
1. 定义：含有绝对值符号的不等式，如：|x|<a，|x|>a型不等式及其解法。
2. 简单绝对值不等式的解法：
|x|>a的解集是{x|x>a或x<-a}，大于取两边，大于大的小于小的。
|x|<a的解集是{x|-a<x<a}，小于取中间；
3. 复杂绝对值不等式的解法：
|ax+b|>c相当于解不等式ax+b>c或ax+b<-c，解法同一元一次不等式一样。
|ax+b|<c，相当于解不等式-c<ax+b<c,不等式三边同时减去b，再同时除以a
（注意，当a<0的时候，不等号要改变方向）；
解析：主要搞清楚取中间还是取两边，取中间是连起来的，取两边有“或”
知识点5：一元二次不等式
1. 定义：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式，叫做一元二次不等式。如：与（a>0)）
2. 解法：求（a>0为例）
3. 步骤：（1）先令，求出x（三种方法：求根公式、十字相乘法、配方法）
推荐求根公式法：
（2）求出x之后，大于取两边，大于大的小于小的；小于取中间，即可求出答案。
注意：当a<0时必须要不等式两边同乘-1，使得a>0，然后用上面的步骤来解。

第3章 指数与对数
知识点1：有理指数幂
1、 表示n个a相乘
1、
3、
4、
5、

6、先将底数变成倒数去负号
例：
知识点2：幂的运算法则
1. （同底数指数幂相乘，指数相加）
2. （同底数指数幂相除，指数相减）
3. 4. 5.
解析：重点掌握同底数指数幂相乘和相除，用于等比数列化简
知识点3：对数
1. 定义：如果（a>0且），那么b叫做以a为底的N的对数，记作（N>0）,这里a叫做底数，N叫做真数。特别地，以10为底的对数叫做常用对数，通常记为；以e为底的对数叫做自然对数，e≈2.7182818，通常记作。
2. 两个恒等式：
3. 几个性质：
Ø ，N>0，零和负数没有对数
Ø ，当底数和真数相同时等于1
Ø ，当真数等于1的对数等于0
知识点4：对数的运算法则
1.
2.
3. （真数的次数n可以移到前面来）
4. （底数的次数n变成 可以移到前面来）
5.

第4章 函数
知识点1：函数的定义域和值域
定义：x的取值范围叫做函数的定义域；y的值的集合叫做函数的值域
求定义域：
1. 一般形式的定义域：x∈R
2. 分式形式的定义域：x≠0（分母不为零）
3. 根式的形式定义域：x≥0（偶次根号里不为负）
4. 对数形式的定义域：x＞0（对数的真数大于零）
解析：考试时一般会求结合两种形式的定义域，分开最后求交集（公共部分）即可
知识点2：函数的单调性（见导数部分）
知识点3：函数的奇偶性
1. 函数奇偶性判别：
① 奇函数
② 偶函数
③ 非奇非偶函数
2. 常见的奇偶函数
① 奇函数：,，
② 偶函数: ,,
③ 非奇非偶函数: ,
3. 奇偶性运算
① 奇+C=非奇非偶
② 偶+C=偶
③ 奇+奇=奇
④ 偶+偶=偶
⑤ 奇+偶=非奇非偶
⑥ 奇*奇=偶
⑦ 偶*偶=偶
⑧ 奇*偶=奇
知识点4：一次函数
解析式：其中k，b为常数，且。（图像为一条直线）
当b=0是，为正比例函数，图像经过原点。
当k>0时，图像主要经过一三象限；当k<0时，图像主要经过二四象限
重点：一次函数主要掌握一次函数解析式的求法。

知识点5：二次函数
解析式：，其中a，b，c为常数，且，
1、当a>0时， 图像为开口向上的抛物线，顶点坐标为（），对称轴，有最小值，（-∞，]为单调递增区间，[，+∞)为单调递减区间；
2、当a<0时， 图像为开口向下的抛物线，顶点坐标为（），对称轴，有最大值，[，+∞)为单调递增区间，（-∞，]为单调递减区间；
3、 韦达定理:
知识点6：反比例函数
定义: 叫做反比例函数
1、 定义域：
2、 是奇函数
3、 当k>0时，函数在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是减函数
当k<0时，函数在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是增函数

第5章 数列
知识点1：通项公式与前n项和
1、 通项公式：如果一个数列｛｝的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。知道一个数列的通项公式，就可以求出这个数列的各项。
2、表示前n项之和，即，他们有以下关系：
备注：这个公式主要用来在不知道是什么数列的情况下求，如果满足则是等差数列，如果满足则是等比数列，
知识点2：等差数列与等比数列
名称
等差数列
等比数列
定义
从第二项开始，每一项与它前一项的差等于同一个常数，叫做等差数列，常数叫公差，用d表示。
从第二项开始，每一项与它前一项的比等于同一个常数，叫做等比数列，常数叫公比，用q表示。
通项公式

前n项和公式

中项
如果a，A.b成差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且有
如果a，G,b成比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且有
性质
在等差数列中若，
则有
在等比数列中若，
则有

第6章 导数
知识点1：导数
1、几何意义：函数在在点（）处的导数值即为在点（）处切
线的斜率。即 (α为切线的倾斜角)。
备注：这里主要考求经过点（）的切线方程，用点斜式得出切线方程
2、函数的导数公式：c为常数

知识点2：函数单调性的判别方法：单调递增区间和单调递减区间
1、求出导数
2、令解不等式就得到单调递增区间，令解不等式即得单调递减区间。
知识点3：最值：最大值和最小值
1、确定函数的定义区间，求出导数
2、令求函数的驻点（驻点即时x的根，也称极值点），判断驻点是否在所求区间内，不在所在区间内的驻点去掉；
3、求出各驻点及端点处的函数值，并比较大小，最大的为最大值，最小的为最小值

第7章 三角函数及其有关概念
知识点1：角的有关概念
1. 逆时针旋转得到角为正角，顺时针旋转得到的角为负角，不旋转得到角为零角。
2. 终边相同的角：{ |β=k·360+α，k属于Z}
判断两角是否为终边相同的角的方法：
（若k为整数则为终边相同的角，否则不是）
3. 象限角：在平面直角坐标系内，角的终边落在哪个象限就叫哪个象限的角

知识点2：角的度量

角度和弧度的转换： （将换成）
知识点3：任意角的三角函数
1、定义：在平面直角坐标系中，设P（x，y）是角α的终边上的任意一点，且原点到该点的距离为r（），

2、 任意角的三角函数在各象限的符号

知识点4：特殊角的三角函数值

角度制

弧度制
0

sin
0

1

0
cos
1

0
-
-
-

tan
0

1

不存在
-
-1
-
0
cot
不存在

1

0
-
-1
-
不存在

第8章 三角函数式的变换
知识点1：同角三角函数关系式
平方关系是：
倒数关系是：
商数关系是：，。
知识点2：诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

会用诱导公式用于求、、三角函数值
如：

知识点3：两角和、差，倍角公式
1、两角和、差：

用两角和、差公式用于求三角函数值

（解题过程略）
2、倍角公式： →

第9章 三角函数的图像和性质
知识点：三角函数的最小正周期公式及最值
常见三角函数类型
周期公式
最大值
最小值
或

①
② 或
③ 或
④

第10章 解三角形
知识点1：常用三角形知识点
△ABC中,A角所对的边长为a，B角所对的边长为b，C角所对的边长为c
1、三角形内角和为1800 即A+B+C=1800
2、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 即：a+b>c，a-b<c；
3、大边对大角，小边对小角 若a>b则A>B
4、直角三角形勾股定理=
常见的勾股定理值：3 4 5； 5 12 13； 1 1 ； 1 2.
知识点1：余弦定理
=
=
=
知识点2：正弦定理
（其中R表示三角形的外接圆半径）
知识点3：面积公式

第11章 平面向量
知识点1：向量的坐标运算
设,，则：向量的模：|a|=
加法运算：a+b==
减法运算：a-b==.
数乘运算：ka==
内积运算：a·b==
垂直向量：a⊥b=
知识点2：向量的内积运算（数量积）
与的数量积(或内积)
向量与的夹角公式：
知识点3：两个公式
1. 两点的距离公式：已知两点，其距离：

2. 中点公式：已知两点，线段的中点的O的坐标为，则：

第12章 直 线
知识点1：直线的斜率
直线斜率的定义式为k=（为倾斜角），已知两点可以求的斜率k=（点A和点B为直线上任意两点）。

角度制

弧度制

tan

1

-
-1
-
知识点2：直线方程的几种形式
斜截式： (可直接读出斜率k)
一般式： （直线方程最后结果尽量让A>0）
点斜式：，（已知斜率k和某点坐标求直线方程方法）
知识点3：两条直线的位置关系
直线
两条直线平行：
两条直线垂直：
知识点4：点到直线的距离公式
点到直线的距离：
第13章 圆锥曲线
知识点1：圆
1、圆的标准方程是：，其中：半径是r，圆心坐标为（a，b），
2、圆的一般方程是：
熟练掌握圆的一般方程转化为标准方程并找出半径和圆心坐标方法
例：
配方法：
完全平方公式： 故半径 r=3 圆心坐标为（-2,3）

3、圆与直线的位置关系：通过圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断
4、圆与圆的位置关系：通过圆心距与两圆半径的大小关系判断

知识点2：椭圆
定义
平面内到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹：
焦点的位置
焦点在X轴上
焦点在Y轴上
标准方程
x

O
y

x
y

P
O

图形
P

性质
长轴长是，短轴长是，焦距=2c，（a最大）
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0,－b),B2(0，b)
A1(0,－a),A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
焦点坐标
F1(c,o) F2(-c,o)
F1(o,c) F2(o,-c)
离心率
（0<e<1）
准线方程

求椭圆的标准方程步骤：
1) 确认焦点的位置设出标准方程；（题中直接已知或通过焦点坐标得到）
2) 求出a,b的值; （a,b,c,e通过，知二求二）
3) 写出椭圆的标准方程。
知识点3：双曲线

定义
平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹：
焦点的位置
焦点在X轴上
焦点在Y轴上
标准方程

图
形

性质
实轴长是，虚轴长是，焦距=2c，（c最大）
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0,－b),B2(0，b)
A1(0,－a),A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
焦点坐标
F1(c,o) F2(-c,o)
F1(o,c) F2(o,-c)
离心率
（e>1）
准线方程

渐近线

1. 等轴双曲线：实轴与虚轴长相等（即a=b）的双曲线：或
2. 求双曲线的标准方程步骤：
4) 确认焦点的位置设出标准方程；（题中直接已知或通过焦点坐标得到）
5) 求出a,b的值; （a,b,c,e通过，知二求二）
6) 写出双曲线的标准方程。
3. 若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为
知识点4：抛物线
标准方程
焦点的位置
焦点坐标
准线方程
图像

x正半轴

x负半轴

y正半轴

y负半轴

重点：抛物线离心率。
第14章 排列组合、概率统计
知识点1：分类计数法和分步计数法
分类计数法：完成一件事有两类办法，第一类办法由m种方法，第二类办法有n种方法，无论用哪一类办法中的哪种方法，都能完成这件事，则完成这件事总共有m+n种方法。
分步计数法：完成一件事有两个步骤，第一个步骤有m种方法，第二个步骤有n种方法，连续完成这两个步骤这件事才完成，那么完成这件事总共有m×n种方法。
知识点2：排列和组合的公式
排列（有顺序），公式： ==；
例：
组合（没有顺序），公式：==；
= +=
例：
知识点3：相互独立事件同时发生的概率乘法公式
定义：对于事件A、B，如果A是否发生对B发生的概率没有影响，则它们称为相互独立事件。
把A、B同时发生的事件记为A·B
知识点4：独立重复试验
定义：如果在一次实验中事件A发生的概率为P，那么A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为：
知识点5：求方差
设样本数据为则样本的平均数为：
样本方差为：
解析：方差填空题必考，大家务必要记住公式
完全平方公式

平方差公式

20

1
~ ~