高中数学综合测试题人教版新课标选修.doc

高中数学综合测试题新课标选修2-1
一、选择题
1、下列命题中，真命题的是（ ）
（A）命题“若，则”
（B）命题“若，则”的逆命题
（C）命题“若，则”的否命题
（D）命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
答案：（D）；
2、下列命题中，真命题的是（ ）
（A）且，是的充要条件
（B）是是的真子集的充分条件
（C）是一元二次不等式的解集为的充要条件
（D）三角形满足勾股定理的充要条件为此三角形是直角三角形
答案：（D）；
3、若“非或非”是假命题，则下列结论中
①命题“”是真命题；②命题是假命题；③命题“”是真命题；
④命题“”是假命题；其中正确命题的个数为（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
答案：（B）；正确的命题为①、③
4、已知是异面直线，且，则所成的角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（C）
5、命题甲：是第二象限的角；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的（ ）
（A）充分不必要条件； （B）必要不充分条件；
（C）充要条件； （D）既不充分也不必要条件；
答案：（A）
6、若，则是的（ ）
（A）充分不必要条件； （B）必要不充分条件；
（C）充要条件； （D）既不充分也不必要条件；
答案：（D）
7、若是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当，且，则椭圆的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（C）
8、已知双曲线和椭圆的离心率互为倒数，那么以为边的三角形是（ ）
（A）锐角三 形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）形状不定
答案：（C）；
9、双曲线的离心率为，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（A）由即得；
10、直线交抛物线于两点，为抛物线顶点，，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（A）；由
又，由即可；
11、过原点的直线与椭圆交于两点，若右焦点为，则的最大面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（A）
12、已知三角形的三顶点为，则边上的高的长为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（C）；设，则，，由，得

二、填空题
13、命题：不是自然数；命题：是无理数，在命题“”、“”、“”“”中假命题是___；真命题是___；
答案：假命题是“”与“”；真命题是“”与“”；
14、设是椭圆上一动点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为
答案：；
15、直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，，则线段的中点到准线的距离为
答案：；由得，而
故线段的中点到准线的距离为；
16、已知，点在平面内，则
答案：，因为
由，得；
三、解答题
17、设：实数满足，其中：实数满足或，且是的必要不充分条件，求实数的范围。
解：由及，得，即：
又由，得，由，得或
那么：或
由于，是的必要不充分条件，即，于是，得或
得或
故所求的范围为或；
18、已知，如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为在上，且，
是的中点，四面体的体积为
（Ⅰ）求异面直线与所成角余弦值；
（Ⅱ）若点是棱上一点，且，求的值.
解：（I）由已知
得
以点为原点建立空间直角坐标系，
则
故，

∴异面直线与所成的角的余弦值为
（II）设，则，
，，得
在平面内过点作，为垂足，则
因此，
19、已知椭圆C：＋＝1的左．右焦点为，离心率为，直线与x轴、y轴分别交于点，是直线与椭圆C的一个公共点，是点关于直线的对称点，设＝
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）确定的值，使得是等腰三角形.
解：（Ⅰ）因为分别是直线与x轴、y轴的交点，所以的坐标分别是.
所以点的坐标是（）. 由
即，得
（Ⅱ）由，得为钝角，要使为等腰三角形，必有，即
设点到的距离为，由
得 所以，于是
即当时，为等腰三角形
20、如图，平面平面且，是正方
形，是矩形，且是的中点，
（1）求与平面所成角正弦值；
（2）求二面角的余弦值；
解：如图，以为原点为轴，为轴，为
轴，建立直角坐标系，
则
（1）由题意可得，
， 设平面的法向量为，
由

（2）因是平面的法向量，又平面，
而平面的法向量为， 得
故二面角的余弦值为；
21、已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围；
（Ⅲ）若是双曲线上的任一点，为双曲线的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为，试求点的轨迹方程．
解：（Ⅰ）设双曲线的渐近线方程为，则
∵该直线与圆相切，
∴双曲线的两条渐近线方程为，设双曲线的方程为
又双曲线的一个焦点为
∴，，得双曲线的方程为．
（Ⅱ）由
令
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．
因此
又中点为，∴直线的方程为
令，得
由，得
那么，
（Ⅲ）若在双曲线的右支上，延长到，使，
由双曲线的定义，得，所以点在以为圆心，为半径的圆上，即点的轨迹方程为
由于点是线段的中点，设，
则，因为
故得点的轨迹方程为