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高中数学复数专题资料
一．复数概念：
1．定义：形如的数叫做复数，记作，其中是虚数单位，；与分别叫做复数的________和_________。
2．分类：复数可分为实数、虚数和纯虚数，它们各自满足的条件分别是________、__________和__________；它们在复平面上对应的区域分别是________、________和______。
3．几何意义：复数复平面上的点平面向量；
4．复数的模：复数的模即向量的模，是有向线段的长度；
计算公式为____________；
5．共轭复数：复数的共轭复数是，
6．两个复数相等___________________.

【例练巩固】
例1(09 福建)复数的实部是（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
例1 A考查：复数的概念
【解】=-1-I,所以实部是-1.
例2(09 江西)若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.或
例2 A 考查：复数的运算
【解】由，故选A
例3 (09 北京)在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例3 B 考查：复数的几何意义
【解】∵，∴复数所对应的点为.

例4 复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，则点C对应的复数为（ ）
A. 2－4i B. 4－2i C. 1－2i D. 4－i
例4 B 考查：复数几何意义、运算
【解】∵对应的复数是1＋2i，对应的复数为3－i，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
例5（10 辽宁）设a,b为实数，若复数，则（ ）
A. B. C. D.
例5 A 考查：复数相等的概念及有关运算
【解】由可得，所以，解得，.

二．复数运算：
设复数，则
加减法：______________；
乘法：______________； 除法：____ _____ _____
【例练巩固】
例6 （广东）若复数满足方程，则（ ）
A. B. C. D.
例6 D 考查：复数的运算
【解】由，故选D.
例7 （09 安徽）i是虚数单位，若，则乘积的值是（ ）
A.－15 B.－3 C.3 D.15
例7 B 考查：复数的运算
【解】，∴.
例8（安徽）复数等于（ ）
A． B． C． D．
例8 A 考查：复数的四则运算
【解】.
练习1（四川）复数的虚部为（ ）
（A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2
练习1.D 考查：复数的概念、运算
【解】复数=,所以它的虚部为－2，选D.
练习2.（10 陕西）复数z=在复平面上对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
练习2.A 考查：复数的运算及几何意义
【解】，所以点（位于第一象限
三．复数的相关性质：
1．复数的加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律；复数也满足实数的正整数指数幂运算法则，即：
_______，________，________，________；
2．共轭复数及运算性质：设，则 ____，____，
______；_________，_______，______
3．复数模及性质：设，则
， ， _______，________；
，其中等号成立的条件是___________________________；
4．常用的性质：
① ，_____；
② ______，______，_______；
【例练巩固】
例9 (09 广东)下列n的取值中，使 (i是虚数单位)的是（ ）
A.n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5
例9 C 考查：复数的运算
【解】因为 ，所以 .
练习3(11 重庆)复数（ ）
A. B. C. D.
练习3.B 考查：复数的运算
【解】 .
练习4.（四川）复数的值是（　　）
（A）0 （B）1 （C） （D）
练习4 A 考查：复数的运算
【解】
例10 (11 辽宁)a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ）
A.2 B. C. D.1
例10 B 考查：复数的模、复数运算
【解】，，故.
例11(09 上海)若复数 z 满足(i是虚数单位)，其共轭复数=（ ）
A. i B.-i C.1 D.-1
例11.A 共轭复数、复数的运算
【解】设，则，即，由，解得,所以.

【综合训练】
例12（宁夏）是虚数单位，（ ）
A. B. C. D.
例12 B 考查：复数单位的运算
【解】

练习5如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是(　　)
A. B.I C.＋I D.＋2i
练习5 C 考查：复数概念
【解】设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝.由题意知a＋bi＋＝5＋i，即a＋＋bi＝5＋i∴，解得a＝，b＝.∴所求复数为＋i.

练习6已知z1，z2∈C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
练习6 C 考查：复数模的概念、运算
【解】设z1＝a＋bi(a，b∈R，a2＋b2＝1)，z2＝c＋di(c，d∈R)，∵z1＋z2＝2i ∴(a＋c)＋(b＋d)i＝2i.∴∴∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|＝＝2＝2＝2.
∵a2＋b2＝1，∴－1≤b≤1∴0≤2－2b≤4，∴|z1－z2|≤4.

例13 (09 上海文)已知复数（a.b）是方程的根.复数（）满足，求 u 的取值范围( )
A. B. C. D.
例13 A 考查：复数的运算、复数的模
【解】原方程的根为 .,

练习7（07 上海）已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、
练习7 A 考查：韦达定理、复数运算
【解】因为2+ a i，b+i（ i 是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程的两个根是 所以。

练习8若x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是(　　)
A.＋i B．x1＝4，x2＝－1 C．－4＋3i D.＋i
练习8 C考查：复数相等、运算
【解】令x＝a＋bi(a，b∈R),则＝1＋3i－a－bi
所以，解得故原方程的解为－4＋3i，故应选C.

例14 ▱ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是(　　)
A．2－3i　 　B．4＋8i　 　C．4－8i　 　D．1＋4i
例14 C考查：复数的加减运算、几何意
【解】对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形法则知＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.
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