初中数学三角形知识点总结.doc

初中数学知识点总结：三角形
第一部分： 点 、线 、角
一 、 线
　　1、直线 2、射线 3、线段
二、角
　　1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。
　　 另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
　　2.角的平分线
　　3、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份， 每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。
　　4. 角的分类：(1)锐角 (2)直角 (3)钝角 (4)平角 (5)周角
　　5. 相关的角：
　　 (1)对顶角 (2)互为补角 (3)互为余角
　　6、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
　　注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。
　　7、角的性质
(1) 对顶角相等 (2)同角或等角的余角相等 (3)同角或等角的补角相等。
三、相交线
1、斜线 2、两条直线互相垂直 3、垂线，垂足
4、垂线的性质
　(l)过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
　(2)垂线段最短。
四、距离
　　1、两点的距离
　　2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
　　3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。
五、平行线
1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。
2、平行线的判定：
　(1) 同位角相等，两直线平行。
　(2) 内错角相等，两直线平行。
　(3) 同旁内角互补，两直线平行。
3、平行线的性质
　(1)两直线平行，同位角相等。
　(2)两直线平行，内错角相等。
　(3)两直线平行，同旁内角互补。
　　说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。
4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角 相等 .
5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角 互补 .

第二部分：三角形
一、关于三角形的一些概念
1、三角形的角平分线。
　三角形的角平分线是一条线段(角平分线平分顶点)
　三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心)
2、三角形的中线
　三角形的中线也是一条线段(顶点到对边中点间的距离)
　三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心)
3、三角形的高
　三角形的高线也是一条线段(顶点到对边的距离)
　　t 注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。
　　如图 2-l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内

　　如图2-2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内

而图2-3，说明高线不一定在 △ABC内，

图2-3-(1) 图2-3-(2) 图2-3-(3)

　　图2-3-(1)，中三条高线都在△ ABC内，
　　图2-3-(2)，中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边;
　　图2-3-(3)，中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。
二、三角形三条边的关系
三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。
等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。
三角形按接边相等关系来分类：

用集合表示，见图2-4

　推论：三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。
　不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。
　例如：三条线段长分别为5，6，1人因为5+6<12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。
三、三角形的内角和
定理：三角形三个内角的和等于180°
由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。
t推论1：直角三角形的两个锐角互余。
三角形按角分类：

三角形分类用集合表示，见图

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。
t推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
t推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
例如图2—6中

　∠1 >∠3; ∠1=∠3+∠4; ∠5>∠3+∠8; ∠5=∠3+∠7+∠8;
　∠2>∠8; ∠2=∠7+∠8; ∠4>∠9; ∠4=∠9+∠10等等。
四、全等三角形
定义：能够完全重合的两个图形叫全等形。
两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等。

v 五、全等三角形的判定
1、边角边公理：“SAS” t注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。
2、角边角公理：ASA 3、角角边：AAS 4、边边边：SSS
5、直角三角形全等的判定：“斜边，直角边”或“HL”
三角形的重要性质：三角形的稳定性。
六、角的平分线
œ 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
œ 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
　　可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点(交于一点)
七、等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。(简写成“等角对等动”)。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
八、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：，那么这个三角形是直角三角形
直角三角形
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
œ 特别提示：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
‚在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。