高一数学常考立体几何证明的题目及答案.doc

实用标准文案
1、如图，已知空间四边形中，，是的中点。
求证：（1）平面CDE;A
E
D
B
C
（2）平面平面。

A1
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
2、如图，在正方体中，是的中点，
求证： 平面。

3、已知中,面,,
求证：面．

4、已知正方体，是底对角线的交点.
求证：(１) C1O∥面；(2)面．

5、正方体中，求证：
（1） ；
（2）.
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F

6、正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

7、四面体中，分别为的中点，且，，
求证：平面

8、如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.

9、如图，在正方体中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.

10、已知是矩形，平面，，，为的中点．
（1） 求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角．

11、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求证：．

12、如图1,在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．

13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．
求证：AH⊥平面BCD．

14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．
已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH.
求证：截面EFGH是平行四边形．

15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，如图．

(1)求证：MN∥面BB1C1C；
(2)求MN的长．
16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)直线EF∥面ACD.
（2）平面EFC⊥平面BCD
.

1、如图，已知空间四边形中，，是的中点。
A
E
D
B
C
求证：（1）平面CDE;
（2）平面平面。
证明：（1）
同理，
又∵ ∴平面
（2）由（1）有平面
又∵平面， ∴平面平面
A1
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
2、如图，在正方体中，是的中点，
求证： 平面。
证明：连接交于，连接，
∵为的中点，为的中点
∴为三角形的中位线 ∴
又在平面内，在平面外 ∴平面。
3、已知中,面,,
求证：面．
证明：°
又面 面

又面
4、已知正方体，是底对角线的交点.
求证：(１) C1O∥面；(2)面．
证明：（1）连结，设，连结
∵ 是正方体 是平行四边形
∴A1C1∥AC且
又分别是的中点，∴O1C1∥AO且
是平行四边形
面，面 ∴C1O∥面
（2）面
又，
同理可证， 又
面
5、正方体中，求证：（1）；（2）.

A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F

6、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，
又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
7、四面体中，分别为的中点，且，
，求证：平面
证明：取的中点，连 结，∵分别为的中点，∴
，又∴，∴在中，
∴，∴，又，即，
∴平面
8、如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.
证明：∵、分别是、的中点，∥
又平面，平面∥平面
∵四边形为平行四边形，∥
又平面，平面∥平面
，平面∥平面
9、如图，在正方体中，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
证明：（1）设，
∵、分别是、的中点，∥
又平面，平面，∥平面
（2）∵平面，平面，
又，，平面，平面，平面平面
10、已知是矩形，平面，，，为的中点．
（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角．
证明：在中，，
∵平面，平面，
又，平面
（2）为与平面所成的角
在，，在中，
在中，，
11、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，且平面垂直于底面．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求证：．
证明：（1）为等边三角形且为的中点，
又平面平面，平面
（2）是等边三角形且为的中点，
且，，平面，
平面，
12、如图1,在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．

证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，
∴DB⊥平面，而平面 ∴DB⊥．
设正方体棱长为，则，．
在Rt△中，．∵，∴．
∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD．

13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵，∴．
∵，∴．
又，∴平面CDF．
∵平面CDF，∴．
又，，　
∴平面ABE，．
∵，，，
∴ 平面BCD．
14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．
已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH.
求证：截面EFGH是平行四边形．
证明：

∵SC∥截面EFGH，SC⊄平面EFGH，SC⊂平面ASC，且平面ASC∩平面EFGH＝GH，
∴SC∥GH.
同理可证SC∥EF，∴GH∥EF. 同理可证HE∥GF.
∴四边形EFGH是平行四边形．
15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，如图．

(1)求证：MN∥面BB1C1C；
(2)求MN的长．
解：(1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，
∴＝＝，∴MP∥AA1∥BB1，∴面MPN∥面BB1C1C.
MN⊂面MPN，∴MN∥面BB1C1C.
(2)＝＝＝，NP＝a， 同理MP＝a.
又MP∥BB1，∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.
在Rt△MPN中MN＝＝a.
16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，
又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.

(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.
因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，
∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，sin∠DAP＝，

17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．
求证：(1)直线EF∥面ACD.
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明：(1)在△ABD中，
∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.
又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥面ACD.
(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.
在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.
∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，
又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.

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