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高考复习 函数知识点总结

一．函数概念的理解以及函数的三要素

（1）函数的概念
①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法
①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；
满足的实数的集合叫做开区间，记做；
满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；
满足的实数的集合分别记做．
注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
① 分式的分母不为0；
② 偶次根式下被开方数大于0；
③ ，则有 ；
④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1
注意：①解析式为整式的函数定义域为R；
②若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；
③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．

（4）求函数的值域或最值
常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．

（5）函数解析式
① 换元法；（用于求复合函数的解析式）
② 配凑法；（用于求复合函数的解析式）

二．函数的基本性质
1. 函数的单调性

（1）定义及判定方法
函数的
性 质
定义
图象
判定方法
函数的
单调性
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．

（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象上升为增）
（4）利用复合函数
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．

（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图
象下降为减）
（4）利用复合函数

★ 熟记一句话：函数在某个区间内为增函数，则在该区间内，自变量大的，函数值大；函数在某个区间内为减函数，则在该区间内，自变量大的，函数值小。
（2）在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
（3）复合函数的单调性满足“同增异减”的特点:
对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；
若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．
2. 最值定义
(1)最大值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（ⅰ）对于任意的，都有；
（ⅱ）存在，使得．那么，我们称是函数 的最大值，记作．
(2)最小值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（ⅰ）对于任意的，都有；
（ⅱ）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作
（3）求函数最值得方法
（ⅰ）图像法
（ⅱ）单调性法

3．函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
性 质
定义
图象
判定方法
函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于原点对称）
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于y轴对称）

★注意：①若函数为奇函数，且在处有定义，则．
②奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．
③在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个 偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
④既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 ，其中D是关于原点对称的非空数集。

4. 函数的周期性
对于函数 ，其定义域为D，如果存在一个非零常数T，对 ，都有 ，那么就称函数为周期函数，称T为函数的周期。（多运用于分段函数和三角函数中）

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