高三数学二项式定理(知识点和例题).doc

二项式定理
1． 知识精讲：
（1）二项式定理：（）
其通项是 （r=0,1,2,……,n），知4求1，如：
亦可写成：
（）
特别地：（）
其中，——二项式系数。而系数是字母前的常数。
例1．等于 （ ）
A． B。 C。 D.
解：设，于是：
=
故选D
例2．（1）求的展开式的第四项的系数；
（2）求的展开式中的系数及二项式系数
解：（1）的展开式的第四项是，
∴的展开式的第四项的系数是．
（2）∵的展开式的通项是，
∴，，
∴的系数，的二项式系数．

（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即。
③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于即；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即
例3．已知，求：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）当时，，展开式右边为

∴，
当时，，∴，
（2）令， ①
令， ②
①② 得：，∴ .
（3）由展开式知：均为负，均为正，
∴由（2）中①+② 得：，
∴ ，
∴

例4．（1）如果在 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
（2）求的展开式的常数项。
解：（1）展开式中前三项的系数分别为1， ，，
由题意得：2×=1+得=8。
设第r+1项为有理项，，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。
有理项为。
【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。
（2），其展开式的通项为，令得
所以，常数项为
【思维点拨】 密切注意通项公式的使用。

（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：取的展开式中的四项即可。
例5、 若为奇数，则被9除得的余数是 （ ）
A．0 B。2 C。7 D.8
解：
=
因为为奇数，所以原式=
所以，其余数 为9 – 2 = 7，选C
例6：当且>1，求证
证明:

从而
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。

2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。
4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，是第r+1项。
②通项是 （r=0,1,2,……,n）中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n不是很大，||比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。