高中数学逻辑专题训练.doc

§1–2　简易逻辑
一、命题
1.2.1　如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的(　)．
(A) 否命题必是真命题 (B) 否命题必是假命题
(C) 原命题必是假命题 (D) 逆否命题必是真命题
解析　一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．

1.2.2　命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　)．
(A) 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0　
(B) 存在x∈R，x3－x2＋1≤0
(C) 存在x∈R，x3－x2＋1>0　
(D) 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
解析　“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x3－x2＋1>0”，答案为C．

1.2.3　与命题“若a∉M，则b∉M”等价的命题是(　)．
(A) 若b∈M，则a∉M (B) 若b∉M，则a∈M
(C) 若b∈M，则a∈M (D) 若a∉M，则b∈M
解析　逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，所以，答案为C．

1.2.4　设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可以推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　)．
(A) 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
(B) 若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
(C) 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立
(D) 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
解析　由25>16得f(4)＝25使得f(4)≥42成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2成立，答案为D．

1.2.5　命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　)．
(A) 若x2≥1，则x≥1或x≤－1 (B) 若－1<x<1，则x2<1
(C) 若x>1或x<－1，则x2>1 (D) 若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析　命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”，答案为D．

1.2.6　在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是　　　　．
解析　原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”．当A∩B＝A时，任取x∈A＝A∩B，必有x∈B，则A⊆B，必有A∪B＝B成立，所以，逆否命题和原命题都是真命题．
原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否命题和逆命题也都是真命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．

1.2.7　若a，b都是非零实数，证明：|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．
解析　若|a|＋|b|＝|a＋b|，则(|a|＋|b|)2＝|a＋b|2，a2＋b2＋2|a||b|＝a2＋b2＋2ab，于是，|ab|＝ab，可得ab>0；
若ab>0，则 或于是，|a|＋|b|＝|a＋b|．
所以，当a，b都是非零实数时，|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．

1.2.8　已知A和B都是非空集合，证明：“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．
解析　若A∪B＝A∩B，则任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，则x∈B，所以，A⊆B，同理可得B⊆A，于是，A＝B；若A＝B，则显然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．

1.2.9　已知a，b，c是实数，则与“a，b，c互不相等”等价的是(　)．
(A) a≠b且b≠c (B) (a－b)(b－c)(c－a)≠0
(C) (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0 (D) a2，b2，c2互不相等
解析　由于不相等关系不具有传递性，当a≠b且b≠c，a与c可能相等；
由(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有一个不成立，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0等价于“a，b，c不全相等”，而不能等价于“a，b，c互不相等”；
a＝－1，b＝0，c＝1，此时a，b，c互不相等，但a2＝c2，所以，“a，b，c互不相等”与“a2，b2，c2互不相等”不是等价的；
a≠b等价于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等价于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0同时成立，所以，“a，b，c互不相等”与“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等价，答案为B．

1.2.10　命题“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为　　 ．
解析　原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则ab≠0”．

1.2.11　给出下列四个命题：① 若x2＝y2，则x＝y；② 若x≠y，则x2≠y2；③ 若x2≠y2，则x≠y；④ 若x≠y且x≠－y，则x2≠y2，其中真命题的序号是　　　　　．
解析　由x2＝y2可得x＝y或x＝－y，命题①不成立；若x＝－y≠0，此时x≠y，而x2＝y2，于是，命题②不成立；若x2≠y2时有x＝y，则可得x2＝y2，矛盾，于是，命题③成立；对于x≠y且x≠－y，如果x2＝y2，则有x＝y或x＝－y，即x＝y与x＝－y至少有一个成立，矛盾，于是，命题④成立．所以，上述四个命题中，真命题的序号是③和④．

1.2.12　已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根．命题q：方程4x2＋ 4(m－2)x＋1＝0没有实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
解析　当命题p为真时，应有解得m>2．当命题q为真时，应有Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3．于是，使“p或q”为真的m的取值范围是m>1，使“p且q”为假的m的取值范围是m≤2或m≥3，所以，使两者同时成立的m的取值范围是m≥3或1<m≤2．

a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
1.2.13　某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正有负)，他要使得表中任意一行的三个数之和为正，而任意一列的三个数之和为负．求证：他一定不能写出满足要求的数表．
解析　若此人能写出满足要求的数表，则由a11＋a12＋a13>0，a21＋a22＋a23>0，a31＋a32＋a33>0可得数表中的九个数之和为正；同时，又有a11＋a21＋a31<0，a12＋a22＋a32<0，a13＋a23＋a33<0，则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此人一定不能写出满足要求的数表．

1.2.14　设a，b∈R，A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z}，B＝{(x，y)|y＝3x2＋15，x∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}都是平面xOy内的点的集合．求证：不存在a，b，使得A∩B≠∅，且点(a，b)∈C同时成立．
解析　设满足要求的a，b存在，则P(a，b)∈C，即a2＋b2≤144．
由得ax＋b－(3x2＋15)＝0，在aOb平面内，原点到直线ax＋b－(3x2＋15)＝0的距离是＝3≥12，其中等号当且仅当3，即x2＝3时成立，但它与x∈Z矛盾，所以，使A∩B≠∅成立的(a，b)必有 >12，与a2＋b2≤144矛盾，所以，满足要求的a，b不存在．

1.2.15　中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：
(1) 自反性：对于任意a∈A，都有a~a；
(2) 对称性：对于a，b∈A，若a~b，则有b~a；
(3) 传递性：对于a，b，c∈A，若a~b，b~c，则有a~c，则称“~”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，请你再列出三个等价关系：　　　　　　．
解析　由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足要求的等价关系．

1.2.16　已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．写出命题“若a＋b>0，则f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)”的逆命题，并判断其真假．若所写命题是真命题，给出证明；若所写命题是假命题，给出反例．
解析　所求逆命题为：已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．若f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，则a＋b>0．该命题是真命题．证明如下：
若a＋b≤0，即a≤－b，由函数f(x)在R上是增函数得f(a)≤f(－b)，同理f(b)≤f(－a)，由此可得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛盾．所以，a＋b>0．

二、充分条件和必要条件
1.2.17　两个圆“周长相等”是“面积相等”的(　)．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析　两个圆周长相等，则由2πr1＝2πr2得两圆半径r1＝r2，则两圆面积相等，反之亦然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件，答案为C．

1.2.18　P：四边形四条边长相等，Q：四边形是平行四边形，则P是Q的(　)．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析　当四边形的四条边长相同时，它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行四边形的四条边长不一定都相等，所以，P是Q的充分不必要条件，答案为A．

1.2.19　已知a，b，c，d都是实数，则“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的(　)．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析　对于实数a，b，c，d，如果a＝b且c＝d，则有a－b＝0，c－d＝0，则a＋c－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)＝0，于是，a＋c＝b＋d；反之，如果a＝1，b＝2，c＝4，d＝3，有a＋c＝b＋d，但此时a≠b，c≠d，所以，“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的充分不必要条件，答案为A．

1.2.20　已知a，b，c是实数，则“a＝b”是“ac＝bc”的(　)．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析　如果a＝b，则a－b＝0，于是，ac－bc＝(a－b)c＝0，可得ac＝bc；反之，如果c＝0，a＝1，b＝2，此时有ac＝bc，但a≠b，所以，“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，答案为A．

1.2.21　设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的(　)．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析　如果m，n均为偶数，则m＋n一定是偶数；反之，如果m＝1，n＝3，m＋n＝4为偶数，但此时m和n都不是偶数，所以，“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的充分而不必要条件，答案为A．

1.2.22　设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是∁UA∪B＝U的(　)．
(A) 充分不必要条件
题1.2.22
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
解析　由表示集合U，A，B关系的图形可知当AB时必有∁UA∪B＝U成立，反之，当A＝B时，也有∁UA∪B＝U成立，即A是B的真子集不是∁UA∪B＝U成立的必要条件，所以，答案为A．

1.2.23　对于集合M和P，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的(　)．
(A) 充分不必要条件
题1.2.23
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
解析　由表示集合M，P的图形可知当x∈M或x∈P时不一定有x∈M∩P，而当x∈M∩P时必有x∈M或x∈P，所以，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件，答案为B．

1.2.24　如果x，y是实数，那么“cos x＝cos y”是“x＝y”的(　)．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析　当cos x＝cos y时，不一定有x＝y，而当x＝y时，必有 cos x＝cos y，所以，“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，答案为B．

1.2.25　使不等式(1－|x|)(1＋x)>0成立的充要条件为(　)．
(A) x<－1或x>1 (B) －1<x<1
(C) x>－1且x≠1 (D) x<1且x≠－1
解析　此不等式等价于或解得－1<x<1或x<－1，即为x<1且x≠－1，所以，答案为D．

1.2.26　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是(　)．
(A) ab>0 (B) ab<0 (C) ac>0 (D) ac<0
解析　若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根x1和一个负数根x2，则x1x2＝<0，则ac<0；反之，若ac<0，一元二次方程的判别式Δ＝b2－4ac>0，此方程一定有两个实数根，且两根之积为<0，这两个实数根一定是一个正数和一个负数，所以，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是ac<0，答案为D．

1.2.27　“x>1”是“<1”的(　)．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析　若x>1，则－1＝<0，即<1；反之，如果x<0，则有<1，此时，x>1不成立，所以，“x>1”是“<1”的充分不必要条件，答案为A．

1.2.28　已知x是实数，则“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的(　)．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析　如果x＝3，则x≠1，此时x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0；反之，如果x2－4x＋3≠0，即(x－3)(x－1)≠0，则x≠3且x≠1，所以，“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分条件，答案为B．

1.2.29　“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的(　)．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析　如果一个正整数的个位数是5，即此正整数一定可表示成10k＋5(k是非负整数)，它一定是5的倍数；反之，可写成10n(n是正整数)的正整数一定是5的倍数，但它的个位数不是5，所以，“一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的充分不必要条件，答案为A．

1.2.30　对于集合A，B，下列四个命题中正确的是(　)．
(A)“A不是B的子集”的充要条件是“对任意x∈A都有x∉B”
(B) “A不是B的子集”的充要条件是“A∩B＝∅”
(C) “A不是B的子集”的充要条件是“B不是A的子集”
(D) “A不是B的子集”的充要条件是“存在x∈A，使得x∉B”
解析　由于A不是B的子集，则至少存在一个x0∈A有x0∉B，并不要求对任意的x∈A有x∉B，但是，对任意x∈A都有x∉B，则A一定不是B的子集，所以，“对任意x∈A都有x∉B”是“A不是B的子集”的充分不必要条件．
若A不是B的子集，不一定有A∩B＝∅，例如A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，反之，当A∩B＝∅时，不一定能推出A不是B的子集，例如A＝∅，则A必是B的子集，所以，“A∩B＝∅”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件．
由A不是B的子集不一定能推出B不是A的子集，例如A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，反之亦然，所以，“B不是A的子集”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件．
根据子集的概念可知“存在x∈A，使得x∉B”是“A不是B的子集”的充要条件．　
所以，答案为D．

1.2.31　已知函数f(x)＝(a2－1)x2＋(a－1)x＋3，则f(x)>0对任意的x∈R恒成立的充要条件是　　　　　．
解析　当a＝1时，f(x)＝3>0恒成立．而当a＝－1时，f(x)＝－2x＋3不是对一切x∈R都有f(x)>0成立．
当a≠±1时，使f(x)>0对一切x∈R都成立的充要条件是解得a>1或a<－，所以，使f(x)>0对任意的x∈R恒成立充要条件是a≥1或a<－．

1.2.32　证明：“关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为－1”的充要条件是“a＋c＝b＋d”．
解析　若a＋c＝b＋d，则方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0即为ax3＋bx2＋cx＋a＋c－b＝0，于是，a(x3＋1)＋b(x2－1)＋c(x＋1)＝0，(x＋1)[a(x2－x＋1)＋b(x－1)＋c]＝0，所以，x＝ －1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根；反之，如果x＝－1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一个根，则有a×(－1)3＋b×(－1)2＋c×(－1)＋d＝0，于是，a＋c＝b＋d，所以，“关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为－1”的充要条件是“a＋c＝b＋d”．

1.2.33　(1) 证明：是的充分不必要条件；
(2) 指出成立的充要条件．
解析　(1) 当a>3且b>3时，必有a＋b>6，ab>9成立．
反之，在a＋b>6且ab>9的条件下，不一定有a>3且b>3成立，如a＝1，b＝10．
所以，是的充分不必要条件．
(2) 成立的充要条件是

1.2.34　证明：A⊇B是(A∩C)⊇(B∩C)的充分不必要条件．
解析　当A⊇B时，任取x∈B∩C有x∈B且x∈C，于是有x∈A且x∈C，则x∈A∩C，所以，A⊇B是(A∩C)⊇(B∩C)的充分条件，而C＝∅使(A∩C)⊇(B∩C)成立，但B不一定是A的子集，所以，A⊇B是(A∩C)⊇(B∩C)充分不必要条件．

1.2.35　“a≠b”是否为“关于x的方程a(ax－1)＝b(bx－1)有解”的充要条件?若是，请予以证明；若不是，请指出它是什么条件?并请说明理由．
解析　对于未知数是x的方程(a2－b2)x＝a－b，如果a＝1而b＝－1，此时有a≠b，而原方程是0×x＝2，此方程无解，于是，“a≠b”不是“关于x的方程a(ax－1)＝b(bx－1)有解”的充分条件；反之，如果a＝b，则关于x的方程(a2－b2)x＝a－b即为0×x＝0，此方程的解集为R，则“a≠b”不是“关于x的方程a(ax－1)＝b(bx－1)有解”的必要条件，即“a≠b”是“关于x的方程a(ax－1)＝b(bx－1)有解”的既不充分也不必要条件．

1.2.36　如果系数a1，b1，c1和a2，b2，c2都是非零常数的方程a1x2＋b1x＋c1＝0和a2x2＋b2x＋c2＝0的解集分别是A和B，求证：“”是“A＝B”的充要条件．
解析　充分性：若x0∈A，即x0是方程a1x2＋b1x＋c1＝0的根，则a1＋b1x0＋c1＝0，而非零实数a1，b1，c1和a2，b2，c2满足，设＝k≠0，则可得k(a2＋b2x0＋c2)＝0，于是a2＋b2x0＋c2＝0，即x0是方程a2x2＋b2x＋c2＝0的根，即x0∈B，则A⊆B，同理可证B⊆A，所以A＝B．
必要性：若x1，x2是方程a1x2＋b1x＋c1＝0的根，x'1，x'2是a2x2＋b2x＋c2＝0的根，则x1＋x2＝－，x1x2＝，x'1＋x'2＝－，x'1x'2＝，由A＝B得x1＋x2＝x'1＋x'2且x1x2＝x'1x'2，则－＝－且，所以有．