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二次函数
知识梳理
知识点1 二次函数的图象和性质
1.二次函数的定义与解析式
(1)二次函数的定义 形如：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数.
(2)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝___ ax2＋bx＋c (a≠0)___ ___.
②顶点式：f(x)＝__ a(x－m)2＋n(a≠0)_____ __.
③零点式：f(x)＝___ a(x－x1)(x－x2) (a≠0)_______________ _.
点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.
①已知三个点的坐标时，宜用一般式.
②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.
③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.
2.二次函数的图象和性质
图象
函数性质
a>0

定义域
x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)
值域
a>0
a<0
y∈[，＋∞)
y∈(－∞，]
a<0

奇偶性

b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数
单调性
x∈(－∞，－]时递减，
x∈[－，＋∞)时递增
x∈(－∞，－]
时递增，
x∈[－，＋∞)
时递减
图象特点
①对称轴：x＝－；
②顶点：(－，)

3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.
知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系
当的图像与x轴无交点无实根
的解集为或者是R;
当的图像与x轴相切有两个相等的实根的解集为或者是R;
当的图像与x轴有两个不同的交点有两个不等的实根 的解集为或者是。
知识点3 一元二次方程实根分布的充要条件
一般地对于含有字母的一元二次方程的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：
令（）（同理讨论的结论）
(1) x1<α, x2<α ,则; (2) x1>α, x2>α,则
(3) α<x1<b, α<x2<b,则(4) x1<α, x2>b (α<b),则
(5）若f(x)=0在区间( α ,b)内只有一个实根，则有
点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：
①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．
在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.
知识点4 二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上的最值一般分为三种情况讨论：
（1）若对称轴在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）
（2）若对称轴在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值；
（3）若对称轴在区间内，则是函数的最小值（）或最大值（），再比较的大小决定函数的最大（小）值。
点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。
（2）二次函数在闭区间上的最值的讨论的基点是对称轴与区间的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数的符号对抛物线开口及结论的影响。

题型一　求二次函数的解析式
例1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.

变式训练1：
已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0，-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。
（1）求f(x)的解析式；
（2）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间。

题型二 二次函数中的单调性
例2　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6].
(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间.

变式训练2：（1）.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为__________
（2）已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f (－1＋x)＝f (－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称.
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围.

题型三　二次函数在闭区间上的最值
例3（1）设函数f(x)=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。

（2）已知函数的最大值为，求的值。

（3）已知≤a≤1，若f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)，
① 求g(a)的函数表达式； ② 判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值。

变式训练3：（1）已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个
最大值－5，求a的值.

（2）已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________.
(3) 设x、y是关于m的方程m2－2am+a+6=0的两个实根，则（x－1）2+（y－1）2的最小值是（ ）
A.－12 B.18 C.8 D.
题型四　二次函数中的恒成立的问题
例4若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.

变式训练4：(1)已知，
① 如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
②如果对，恒成立，求实数的取值范围．

(2)已知二次函数（R，0）．如果[0，1]时，总有||．试求的取值范围．

题型五　二次函数与方程
例5已知二次函数
（1）若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点;
（2） 在(1)的条件下,是否存在m∈R,使池f(m)= - a成立时,f(m+3)为正数,
若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由.
（3）若对,
有2个不等实根,证明必有一个根属于

例6 二次函数 的零点分别为
（1）证明 （2）证明
（3）若满足不等式||≤，试求的取值范围.

例7 已知二次函数
（1）若在区间[-1，1]内至少存在一个实数m，使得，求实数a的取值范围；
（2）若对区间[-1，1]内的一切实数m都有，求实数a的取值范围。

题型六　二次函数与不等式
例8已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
（1）求函数g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
（3）若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．

变式训练6：设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值；

一、选择题
1.设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是 ( 　)

2.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 (　　)
　A.m＝－2 B.m＝2 C.m＝－1 D.m＝1
3.已知函数f(x)＝ax2＋(b＋c)x＋1 (a≠0)是偶函数，其定义域为[a－c，b]，则点(a，b)的轨迹是 (　　)
A.线段 B.直线的一部分 C.点 D.圆锥曲线
4.设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是 (　　)
A.(－∞，0] B.[2，＋∞) C.(－∞，0]∪[2，＋∞) D.[0,2]
5.已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 (　　)
A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(－∞，0)
6.函数f(x)＝－x2＋(2a－1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是(　　)
A.a> B.<a< C.a> D.a<
二、填空题
7.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋2满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝______.
8.若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝______.
9.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________.
10.若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是_________
11.若函数f(x)＝ax＋b (a≠0)的一个零点是1，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是_________.
12.方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m的取值范围是______________.
13.若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________.
14.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为_________.
三、解答题
15.是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由.

16.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx (a，b为常数，且a≠0)，满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，且方程f(x)＝x有等根.
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m、n (m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由.

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用心 爱心 专心