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椭圆经典题型练习
一．选择题（共13小题）
1．设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，则该椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．已知方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（﹣∞，1） D．（3，+∞）
3．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积等于（　　）
A． B． C．6 D．3
4．椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值是（　　）
A． B． C． D．
5．已知点M（﹣4，0），椭圆的左焦点为F，过F作直线l（l的斜率存在）交椭圆于A，B两点，若直线MF恰好平分∠AMB，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．设椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0）点A（﹣2，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|=8，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左焦点为F1，离心率为，P是椭圆C上的动点，若点Q（1，1）在椭圆C内部，且|PF1|+|PQ|的最小值为3，则椭圆C的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点F作x轴的垂线，交C于点P，若=2，cos∠OPF=，则椭圆C的方程为（　　）
A．=1 B．=1 C．=1 D．=1
9．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（　　）
A．2 B． C．4 D．
10．设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则△AFB周长的取值范围是（　　）
A．（2，4） B． C．（6，8） D．（8，12）
11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（　　）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1
12．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△AF1F2的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
13．已知点A（0，0），B（2，0）．若椭圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则椭圆W的离心率是（　　）
A． B． C． D．

二．填空题（共7小题）
14．已知点P圆C：（x﹣4）2+y2=4上，点Q在椭圆上移动，则|PQ|的最大值为　 　．
15．已知点A在椭圆+y2=1上，且O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为　 　
16．直线y=kx+k与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，则实数m的取值范围是　 　．
17．过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），则此椭圆的离心率为　 　
18．椭圆右焦点为F，存在直线y=t与椭圆C交于A，B两点，使得△ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e=　 　．
19．已知F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，则△PF1F2面积的最大值为　 　．
20．已知点P（x，y）在椭圆上运动，则最小值是　 　

三．解答题（共10小题）
1．已知F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．
（Ⅰ）求△ABF2的周长；
（Ⅱ）若AF2⊥BF2，求△ABF2的面积．
2．已知p：实数m使得椭圆的离心率．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．
3．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．
4．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且|PF1|+|PF2|=4
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，点Q（m，0）在x轴上，连结QA、QB分别与直线x=﹣2交于点M、N，若MF1⊥NF1，求m的值．
5．已知椭圆的离心率为且经过点．
（1）求椭圆方程；
（2）直线y=kx+m交椭圆于不同两点A，B，若，△OAB（O是坐标原点）的面积等于，求直线AB的方程．
6．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．
7．设F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率．
（2）若直线MN在y轴上的截距为3，且|MN|=7|F1N|，求a，b．
8．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且C过点（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k（k＜0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，求k值．
9．已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．
10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过F且垂直于x轴的弦长为3，直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，且与椭圆C交于A，B两点，Q为椭圆的右顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）用S1，S2分别表示△ABF和△ABQ的面积，求S1•S2的最大值．

椭圆练习参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
以F1F2为直径的圆x2+y2=c2，以F1F2为直径的圆与直线bx+y=b2相切，可得：，即a2﹣c2=ac，因为e=∈（0，1），所以e=．
故选：C．
2．【解答】解：方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m），
即，方程（m﹣1）x2+（3﹣m）y2=（m﹣1）（3﹣m）表示焦点在y轴上的椭圆，可得m﹣1＞3﹣m＞0，解得2＜m＜3．故选：B．
　3．【解答】解：如图所示，椭圆，可得a=5，b=3，c==4．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，可得（m+n）2﹣3mn=6即102﹣3mn=64，解得mn=12．∴△F1PF2的面积S=mnsin60°==3．故选：B．
4．【解答】解：由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==3．
如图所示，设△ABF2的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF2．
设内切圆的半径为r，则2πr=π，解得r=．则==•|F1F2|，∴4a=|y2﹣y1|×2c，∴|y2﹣y1|==．故选：D．

　5．【解答】解：设F（﹣c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，
可得（b2+4k2）x2+8ck2x+4k2c2﹣4b2=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，
由直线MF恰好平分∠AMB，可得kAM+kBM=0，即有+=0，
可得k（x1+c）（x2+4）+k（x2+c）（x1+4）=0，
化为2x1x2+（c+4）（x1+x2）+8c=0，
可得2•+（c+4）•（﹣）+8c=0，
化简可得c=1，则椭圆的离心率e==，故选：C．
6．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），
另一个焦点为F'（﹣2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF|+|PF'|，
即|PF'|=2a﹣|PF|，可得|PA|﹣|PF'|=8﹣2a，由||PA|﹣|PF'||≤|AF'|=1，
可得﹣1≤8﹣2a≤1，解得≤a≤，又c=2，可得e=∈[，]，故选：A．
7．【解答】解：如图所示，设右焦点为F2．
|PF1|+|PQ|=2a﹣（|PF2|﹣|PQ|）≥2a﹣|QF2|=3，∴2a﹣=3，=a2=b2+c2，联立解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的标准方程为=1．
故选：A．

8．
【解答】解：∵|OF|=c，PF⊥x轴，cos∠OPF=，∴sin∠OPF=，
∴cos∠OPF=，|OP|===c，∵=2，
∴|OP|•c•cos∠OPF=|OP|•c•=c•c•=2，
解得c2=2，即c=∴|OP|=，∴|PF|=×=1，∴P（，1），∴+=1∵a2﹣b2=c2=2，∴a2=4，b2=2，∴+=1故选：B．

　9．【解答】解：如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故选：C．

10．【解答】解：∵椭圆的左焦点为F（﹣，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，连结BF2，则AF=BF2，AB=2OB，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB∈（1，2）则△AFB周长的取值范围是（6，8）．故选：C．

11．【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），
解得e=．故选：D．

　12．【解答】解：由椭圆的定义可得2（a+c）=6，所以a+c=3①，
当A在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为bc=②，
由①②及a2=c2+b2联立求得a=2，b=，c=1，椭圆方程为+=1，故选：A．
13．【解答】解：过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C坐标为（1，），C点的坐标代入椭圆方程得，
解得m=6，所以椭圆的离心率为：=．故选：C．　
二．填空题（共7小题）
14．【解答】解：∵点Q在椭圆上移动，∴可设Q（cosθ，2sinθ），
由圆C：（x﹣4）2+y2=4，可得圆心C（4，0），半径r=2．
∴|CQ|===≤5，当且仅当cosθ=﹣1时取等号．
∴|PQ|的最大值=5+r=7．故答案为：7．
　15．【解答】解：∵O、A、P三点共线（O是坐标原点），=24，
∴|OA|•|OP|=24，设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y）在第一象限，B为点A在x轴的投影，则OP在x轴上的投影长度为|OP|cosθ==24×
=24×=24×≤24×=8．当且仅当x=时等号成立．
则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为8．故答案为：8．
16．【解答】解：直线y=kx+k恒过（﹣1，0），直线与焦点在y轴上的椭圆+=1总有两个公共点，可得：解得m∈（1，4）．故答案为：（1，4）．
17．【解答】解：设直线l上的占P（t，t+9），取F1（﹣3，0）关于l的对称点Q（﹣9，6），根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2|==6 ，当且仅当Q，P，F2共线，即，即 =﹣时，
上述不等式取等号，∴t=﹣5．∴P（﹣5，4），据c=3，a=3，离心率为：e==．故答案为：．
18．【解答】解：要使△ABF为等腰直角三角形，则B（c，2c）．
，又a2=b2+c2，∴b2=2ac，⇒c2+2ac﹣a2=0，⇒e2+2e﹣1=0，
且0＜e＜1，∴e=﹣1．
故答案为：﹣1．
　19．【解答】解：F1，F2是长轴长为4的椭圆的左右焦点，a=2，b2+c2=4，P是椭圆上一点，△PF1F2面积的最大值时，P在椭圆的短轴的端点，此时三角形的面积最大，S=bc≤=2，当且仅当b=c时，三角形的面积最大．故答案为：2．
　20．【解答】解：根据题意，点P（x，y）在椭圆上运动，则有，
变形可得：+=，变形可得x2+2（y2+1）=5，则=[x2+2（y2+1）]（）=×[1+4++]=×[5++]
≥（5+2×2）=；即最小值是，故答案为：
　三．解答题（共10小题）
1．【解答】解：（I）∵F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，
过F1的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，连接AF2和BF2．
∴△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．…（3分）
（II）设直线l的方程为x=my﹣1，由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣，…（5分）
∵AF2⊥BF2，∴•=0，∴•=（x1﹣1）（x2﹣1）=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4=﹣2m×+4==0
∴m2=7．…（10分）∴△ABF2的面积S=×|F1F2|×=．
2．【解答】解：（1）当0＜m＜2时，∵，又，
∴，∴，当m＞2时，∵，又，
∴解得4＜m＜8．综上所述实数m的取值范围：或4＜m＜8．
（2）∵q：t≤m≤t+9，p是q的充分不必要条件，∴⊆[t，t+9]，∴，解得．
　3．【解答】解：（1）由题意知，e==，a==2，又a2=b2+c2，
所以a=2，c=，b=1，所以椭圆C的方程为+y2=1；
（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=±；
此时，原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．代入椭圆方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，
则y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2•+km（﹣）+m2=，由OA⊥OB得kOAkOB=﹣1，即x1x2+y1y2=0，
所以=0，即m2=（1+k2），所以原点O到直线AB的距离为d==，综上，原点O到直线AB的距离为定值．
　4．【解答】解：（1）由题意可得：=，|PF1|+|PF2|=4=2a，a2=b2+c2．
联立解得：a=2，c==b．∴椭圆C的标准方程为：+=1．
（2）如图所示，设直线l的方程为：ty=x+，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（t2+2）y2﹣2ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=．
直线QA的方程为：y=（x﹣m），可得：M．
直线QB的方程为：y=（x﹣m），可得N．
∵MF1⊥NF1，∴•=0．又F1（﹣，0）．∴+•=0，化为：2[x1x2﹣m（x1+x2）+m2]+=0，
∵x1+x2=t（y1+y2）﹣2，x1x2=（ty2﹣）=t2y1y2﹣t（y1+y2）+2．
∴（2t2+8+4m+m2）y1y2﹣（2+2mt）（y1+y2）+4+4m+2m2=0，
∴（2t2+8+4m+m2）•﹣（2+2mt）+4+4m+2m2=0，
化为：（m2﹣4）（t2﹣1）=0．∵∀t∈R上式都成立，∴m2﹣4=0，解得m=±2．

　5．【解答】解：（1）椭圆的离心率为且经过点，
可得e==，+=1，a2﹣b2=c2，解得a=，b=1，则椭圆方程为+y2=1；
（2）直线y=kx+m与椭圆x2+2y2=2联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，
可得|AB|=•==•=，①由△OAB（O是坐标原点）的面积等于，
设O到AB的距离为d，可得|AB|d=，即d=，即有=，
即3m2=2+2k2②联立①②解得m=1，k=±；m=﹣1，k=±，
则直线AB的方程为y=±x+1或y=±x﹣1．
6．【解答】解：（1）如图所示，椭圆C：=1的离心率为，
∴=，△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=16，∴a=4，
∴c=2，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程+=1；
（2）设过点P（2，1）作直线l，l与椭圆C的交点为D（x1，y1），E（x2，y2），
则，两式相减，得（﹣）+4（﹣）=0，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴直线l的斜率为k==﹣=﹣=﹣，
∴此弦所在的直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣4=0．

　7．【解答】解：（1）根据及题设知，
5b2=24ac将b2=a2﹣c2代入5b2=24ac解得或（舍去），
故C的离心率为； ………………………………………………（4分）
（2）由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D（0，3）是线段MF1的中点，故，
即b2=6a①………………………………………………（7分）
由|MN|=7|F1N|得|DF1|=3|F1N|，设N（x1，y1）
则，即
代入C的方程，得②……………………………………………（10分）
将①及代入②得解得
故　
8．【解答】解：（1）由题意可得，解得，因此，椭圆C的方程为；（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），由，消去y整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，∵直线l与椭圆交于两点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（m2﹣1）=4（4k2﹣m2+1）＞0，设点P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
则，，
∴y1+y2=（kx1+m）（kx2+m）=，
∵直线OP、l、OQ的斜率成等比数列，
∴，整理得，
∴，又m≠0，所以，，结合图象可得，故直线l的斜率为定值．
9．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，
b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，
∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），
则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，
故线段AB的中点坐标为（﹣，）．
10．【解答】解：（1）由已知c=1，，又a2=b2+c2，解得．
∴椭圆C的方程为：；（2）当l斜率不存在时，AB=，得S1•S2=6．
当l斜率存在时，设为直线为y=kx+m，由l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，得m2+2km=1…（*）联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则．
|AB|=．Q到直线的距离，
S1•S2==．
将（*）式代入得S1•S2=，令t=m2+1∈（1，+∞）．
∴S1•S2==．综上，S1•S2的最大值为6．

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