高中数学恒成立与存在性问题(难).doc

高中恒成立问题总结
解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。
核心思想:
1.恒成立问题的转化:
恒成立;

2.能成立问题的转化:
能成立;

3.恰成立问题的转化:
若在D上恰成立在D上的最小值;
若在D上恰成立 在D上的最大值.
4. 设函数,，对任意的，存在，使得，则;
设函数,，对任意的，存在，使得，则;
设函数,，存在，存在，使得，则;
设函数,，存在，存在，使得，则;

5.若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;
若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方.

6.常见二次函数
①.若二次函数（或）在R上恒成立，则有（或）;
②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解.

一﹑主参换位法
例1．对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围．

二﹑二次不等式恒成立问题
例2．已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．

例3．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ )
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
例4．已知函数，在恒有，求实数的取值范围。

三、分离参数法
形如“”或“”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则();在上恒成立，则()”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型．
例5.当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .

例6．已知二次函数，若时，恒有，求的取值范围．

例7．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

例8．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1，＋∞) D.

四、数形结合（对于型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）
例9.若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) （D）

三﹑绝对值不等式恒成立问题
例10．对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

例11.若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) （D）

四﹑含对数﹑指数不等式恒成立问题
例12．当时，不等式恒成立，求的取值范围．

五.形如“”型不等式
例8．已知函数，，若当时，恒成立，求实数的取值范围．