高考数学总复习指数与指数函数知识梳理教案.doc

指数与指数函数
【考纲要求】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
4.掌握指数函数图象：
5.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
【知识网络】
指数与指数函数
图象与性质
指数运算性质
指数函数的图像与性质
指数的概念

【考点梳理】
考点一、整数指数幂的概念及运算性质
(1)整数指数幂的概念

(2)运算法则
①；
②；
③；
④.
考点二、根式的概念和运算法则
(1)n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
要点诠释：
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
(2)根式的意义与运算法则

考点三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：

考点四、有理数指数幂的运算性质

(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
考点五、指数函数
(1)定义：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
(2)图象及性质：
y=ax

0<a<1时图象
a>1时图象

图象

性质
①定义域R，值域 （0，+∞）
②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1
x>0时，0<ax<1
⑤x<0时，0<ax<1
x>0时，ax>1
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数

【典型例题】
类型一、指数运算、化简、求值
例1.已知，且，求的值。
【解析】

【总结升华】运算顺序(能否应用公式)；
举一反三：
【变式】计算下列各式：
(1)；
(2)；　　
(3).
【解析】(1)原式；
(2)原式=；
(3)原式.
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)
【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，2x≠-1).
∵ ，又∵ 2x>0， 1+2x>1，
∴ ， ∴ ，
∴ ， ∴值域为(0，1).
(2)定义域为R，，
∵ 2x>0， ∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，
∴ 值域为[).
(3)定义域为R，∵|x|≥0， ∴ -|x|≤0，
∴ ，∴ 值域为(0，1].
(4)∵ ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，
又∵ ，∴ ，
∴值域为[1，a)∪(a，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中不能遗漏.
举一反三：
【变式】求下列函数的定义域：
(1) (2) (3)
【解析】(1)
需满足3-x≥0，即
(3)
为使得函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0
(4)a>1时，；0<a<1时，.
类型三、指数函数的单调性
例3．判断下列各数的大小关系：
(1) (2)22.5，(2.5)0，
(3)1.080.3与0.983.1 (4)
【解析】 (1) (2)
(3)1.080.3>1>0.983.1
(4)a>1时，
0<a<1时，
【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；
(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；
(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是0和1).
举一反三：
【变式1】比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.
【解析】先比较的大小.
由于底数(0，1)， ∴ 在R上是减函数，
∵ ， ∴ ，
再考虑指数函数y=1.3x， 由于1.3>1，
所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30=1，
∴ .
【变式2】求函数的值域及单调区间.
【解析】设u=-x2+3x-2， y=3u，
其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增，
u=-x2+3x-2在上单减，
则在上单增，在上单减.
又u=-x2+3x-2， 的值域为.
例4.化简：
【解析】
类型四、判断函数的奇偶性
例5．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称，
且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，
令，则

∴ g(x)为奇函数， 又 ∵为奇函数，∴ f(x)为偶函数.
举一反三：
【变式】判断函数的奇偶性：.
【解析】定义域{x|xR且x≠0}，
又
，
∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.
类型五、指数函数的图象问题
例6．为了得到函数的图象，可以把函数的图象(　　)
A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
【解析】∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选C．
【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．