线性代数试题和答案(版).doc

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线性代数习题和答案
第一部分 选择题 (共28分)
一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ）
A. m+n B. -(m+n)
C. n-m D. m-n
2.设矩阵A=，则A-1等于（ ）
A. B.
C. D.
3.设矩阵A=，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（ ）
A. –6 B. 6
C. 2 D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ）
A. A =0 B. BC时A=0
C. A0时B=C D. |A|0时B=C
5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ）
A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵Aの秩为r，则A中（ ）
A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（ ）
A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.η1+η2是Ax=bの一个解
C.η1-η2是Ax=0の一个解 D.2η1-η2是Ax=bの一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ）
A.秩(A)<n B.秩(A)=n-1
C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解
10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（ ）
A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量
B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值
C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量
D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（ ）
A. k≤3 B. k<3
C. k=3 D. k>3
12.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（ ）
A.|A|2必为1 B.|A|必为1
C.A-1=AT D.Aの行（列）向量组是正交单位向量组
13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ）
A.A与B相似
B. A与B不等价
C. A与B有相同の特征值
D. A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵の为（ ）
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。错填或不填均无分。
15. .
16.设A=，B=.则A+2B= .
17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aijの代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .
18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .
19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=bの2个不同の解，则它の通解为 .
20.设A是m×n矩阵，Aの秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0の一个基础解系中含有解の个数为 .
21.设向量α、βの长度依次为2和3，则向量α+β与α-βの内积（α+β，α-β）= .
22.设3阶矩阵Aの行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .
23.设矩阵A=，已知α=是它の一个特征向量，则α所对应の特征值为 .
24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)の秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.

26.试计算行列式.

27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.
试判断α4是否为α1，α2，α3の线性组合；若是，则求出组合系数。

29.设矩阵A=.
求：（1）秩（A）；
（2）Aの列向量组の一个最大线性无关组

30.设矩阵A=の全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.

31.试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=，
并写出所用の满秩线性变换。

四、证明题
32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=bの一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0の一个基础解系.试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=bの解；
（2）η0，η1，η2线性无关。

答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C
6.D 7.C 8.A 9.A 10.B
11.A 12.B 13.D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
15. 6
16.
17. 4
18. –10
19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数
20. n-r
21. –5
22. –2
23. 1
24.
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.解（1）ABT=
=.
（2）|4A|=43|A|=64|A|，而
|A|=.
所以|4A|=64·（-2）=-128
26.解
=
=
27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
（A-2E）-1=
所以 B=(A-2E)-1A=
=
28.解一

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.
解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即
方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
29.解 对矩阵A施行初等行变换
A
=B.
（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与Bの列向量组有相同の线性关系，而B是阶梯形，Bの第1、2、4列是Bの列向量组の一个最大线性无关组，故Aの第1、2、4列是Aの列向量组の一个最大线性无关组。
（Aの第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解 Aの属于特征值λ=1の2个线性无关の特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.
经正交标准化，得η1=，η2=.
λ=-8の一个特征向量为
ξ3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为 T=.
对角矩阵 D=
（也可取T=.）
31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32
=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.
设， 即，
因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。
经此变换即得f(x1，x2，x3)の标准形
y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且
（E-A）-1= E+A+A2 .
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，
所以η1，η2是Ax=bの2个解。
（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，
即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0の解，矛盾。所以
l1ξ1+l2ξ2=0.
又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .
所以η0，η1，η2线性无关。
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