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初中二次函数练习题
第 19 课 二次函数的图象与性质
一、大纲要求：
（１）通过对二次函数的表达式的分析,体会二次函数的意义。
（２）会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
　（３）会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导）。
二、中考考点：
二次函数定义及其图象的性质，以选择填空教多，或者与其他结合考查解答题．
三、知识点分析：
１．二次函数的定义：形如___________________________________叫做二次函数。配方成顶点式为：_______________________它的图象是以直线_______________对称轴，以____________为顶点的一条抛物线．
２．二次函数图象的画法即______________________________，常用五点法。
3．二次函数的图象与性质：y=+bx+c的图象与性质

a值
函 数 的 图 象 与 性 质
a>0
１、开口___ ，并且___________________；
２、对称轴是______；顶点坐标（___,______）；
３、当x＝_____时，函数取得最小值________；
４、函数增减性：_________________________
_________________________________________

a<0
１、开口___ ，并且___________________；
２、对称轴是______；顶点坐标（___,______）；
３、当x＝_____时，函数取得最大值________；
４、函数增减性：

４．y=+bx+c的a、b、c的符号如何通过函数图象来确定：
(1)先确定a， 开口向上时，a＞0；开口向下时，a＜0；
(2)再确定c，二次函数与y轴交点为(0,c) ，可通过观察函数图象与y轴的交点来确定；
(3)最后确定b，根据对称轴x=－的位置来确定－的符号．然后在确定b．
当－＞０时, ＜０，a、b异号；当－＜０时, ＞０，a、b同号；当－＝０时, b＝０．
四．典型例题：
1、下列函数中，哪些是二次函数？
（1） （2）
（3） （4）
2、二次函数的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；
3、当k为何值时，函数为二次函数？画出其函数的图象．
3、函数，当为 时，函数的最大值是 ；
4、二次函数，当 时， ;且随的增大而减小；
5、如图，抛物线的顶点P的坐标是(1，－3)， Y
则此抛物线对应的二次函数有（ ）
(A)最大值1 (B)最小值－3
O
(C)最大值－3 (D)最小值1 X
P
6、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图3所示，给出以下结论：① a+b+c＜0；② a-b+c＜0；③ b+2a＜0；④ abc＞0 . 其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③
C．①④ D．①②③
7．一次函数的图象过点（，1）和点（，），其中＞ 1，则二次函数的顶点在第 象限；
8、对于二次函数为y=x－x－2，当自变量x＜0时，函数图像在
（ ）
(A) 第一、二象限 (B) 第二、三象限 (C) 第三、四象限 (D) 第一、四象限
9、已知点A（1,）、B（）、C（）在函数上，则、、的大小关系是
A 　＞＞ B ＞＞ C ＞＞ D ＞＞
10、直线不经过第三象限，那么的图象大致为 （ ）
y y y y
O O
O x x x O x

A B C D

五、练习
1、函数为的二次函数，其函数的开口向下，则的取值为（ ）
A B C D

2、二次函数，则它的图象必经过点 （ ）
A （，） B （，） C （，） D （，）
3、二次函数的图象开口向上，顶点在第四象限内，且与轴的交点在轴下方，则点（）在 （ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
4、已知二次函数、、、它们图象的共同特点为（ ）
A 都关于原点对称，开口方向向下 B 都关于轴对称，随的增大而增大
C 都关于轴对称，随的增大而减小 D 都关于轴对称，顶点都是原点
5、二次函数图象如图所示，下面结论正确的是 y（ ）
A ＜ 0, ＜ 0, 2 ＞ 4 B ＞ 0, ＜ 0, 2 ＞ 4
C ＞0 , ＞0 , 2 ＞4 D ＞ 0 , ＜ 0 , 2 ＜ 4 O
x
6、在同一坐标系中，作出函数和的图象，只可能是 （ ）

7、已知二次函数已知函数的图象如图所示，则下列
系式中成立的是 （ ）
A B
C D
8、抛物线y=x－２x－３的对称轴和顶点坐标分别是（　　）
Ａ x=1,(1,﹣4)　Ｂ x=1,(1, 4) Ｃ x=﹣1,(﹣1, 4) Ｄ x=﹣1,(﹣1,﹣4)

9、若二次函数的最大值为，则常数；

10、若二次函数的图象如图所示，则直线
不经过 象限；

11、（1）二次函数的对称轴是 ．
（2）二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小．
（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则= ．
12、抛物线的顶点是，则、c的值是多少？

13、若、、为△ABC的三边，且二次函数的顶点在轴上，则△ABC为 三角形；
14、画出抛物线y=-x＋x－ -的图象,指出其对称轴和顶点坐标；并说明这个函数具有那些性质.

15、如图，在等边△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P.Q分别从B.C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA.AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。
⑴ 求x为何值时，PQ⊥AC；
⑵ 设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
⑶ 当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；
⑷ 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)

第 20 课 二次函数的解析式的求法和平移
一、大纲要求：
（１） 通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
（２） 能够根据题目要求求出二次函数的解析式．
（３） 能够根据题目要求确定平移后的解析式．
二、中考考点：
求二次函数的解析式常常在解答题中出现，而平移常常在选择填空中出现．
三、知识点分析：
１、二次函数三种表达方式；
（１） 一般式:y=ax+bx+c　（a≠0）
（２） 顶点式:y=a(x-h)+k（a≠0）
（３） 交点式:y=a(x-x)(x-x)（a≠0）
２、二次函数的解析式求法：
用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选用不同的设法：
（１） 设一般式:y=ax+bx+c　（a≠0）

若已知条件是图象上一般的三个点，则设所求的二次函数为y=ax+bx+c（a≠0），将已知条件代入组成三元一次方程组，求出a、b、c的值．
（２） 设顶点式:y=a(x-h)+k（a≠0）
若已知二次函数的顶点坐标(h,k)，设所求二次函数为y=a(x+h)+k（a≠0），将第二个点的坐标代入，求出待定系数a，最后化为一般式．
（３） 设交点式:y=a(x-x)(x-x)（a≠0）
已知二次函数的图象与Ｘ轴的两个交点的坐标为(x,0),( x,0)，设所求的二次函数为y=a(x-x)(x-x)（a≠0），将第三点坐标代入，求出待定系数a，最后化为一般式．
３、二次函数的平移规律
y= y=+k
抛物线y=ax+bx+c（a≠0）可由抛物线y=平移得到，由于平移时，抛物线上所有点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点的移动情况，因此有关抛物线的平移问题需要利用二次函数的顶点式:y=a(x-h)+k（a≠0）来讨论，所以应先把二次函数化为顶点式然后再来平移；加减常数k(k＞0)，上下移动，即加上k则向上移动,减去k则向下移动；加减常数h(h＞0)，左右移动，即加上h则向左移动,减去h则向右移动；
四．典型例题：
1.二次函数在时，有最小值，且函数的图象经过点（,），则此函数的解析式为________________________.
2．已知抛物线的对称轴为，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为 ；
3．已知抛物线经过(2，0)、(3， 0)两，且经过（５，２），求抛物线的解析式．

4．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．

5．把函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式是 ；
6．若二次函数的图象经过原点，则的值必为 （ ）
A 或3 B C、 3 D、 无法确定
7．将二次函数的图象向左平移2个单位后，再向下平移2个单位，得到（ ）A = 2 + 5 B C D
8．已知（2，5）（4，5）是抛物线上的两点，则这个抛物线的对称轴为（ ）A B C D
9.已知二次函数y=-x+bx+c,当x=1时,y=0； 当x=4时,y=-21；求抛物线的解析式.

10.二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是(　　)
A、;　　　B、 C、;　　D、
11．抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于正半轴C点，且AC = 20，BC = 15，∠ACB = 90°，则此抛物线的解析式为 ；
12．若二次函数y=2x+ax+b的图象经过(2，３)点，并且起顶点在直线y=3x－2上，求a、b．

 13．已知二次函数的图象与轴分别交于A（-3，0），B两点，与轴交于（0，3）点，对称轴是，顶点是P．求：（1）函数的解析式；（2）△APB的面积．

五、练习
1．抛物线过(,)、(1，4)、(2，7)三点，求抛物线的解析式；
2．平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式____________________
3把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x－3x+5，则有( )
A b=3，c=7 B b=-9，c=-15 C b=3，c=3 D b=-9，c=21

4．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图，该抛物线的解析式是____________．
5.已知抛物线y=x－6x＋5的,则抛物线的对称轴为__________,将抛物线y=x－6x＋5向____________平移_________个单位则得到抛物线y=x－6x＋9.
6.已知二次函数y=2x－8x－3,求它关于X轴对称的抛物线的关系式.

7.二次函数有最小值为，且：：=1：2：()，求此函数的解析式
；

8.抛物线的对称轴是，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式；

9.二次函数，时；时；时，；求此函数的解析式；

10. （10分）一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬间流出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C连线成角，水流最高点C比喷头高米，求水流落点D到A点的距离。

y

C

B

A D x

11．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如 图（4），求抛物线的解析式

12． 在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长与宽的比是2：1。已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元。设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米。
（1） 求y与x之间的关系式。
（2） 如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。

13.在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴的负半轴相交于点C（如图5），点C的坐标为（0，－3），且BO＝CO
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.

第 21课 二次函数的应用
一、 大纲要求：
(1) 会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解：
(2) 二次函数与一元二次方程的综合应用：
(3) 二次函数与一次函数和反比例函数的综合应用：
(4) 利用二次函数求最大最小值：
(5) 二次函数与几何图形的应用．
二、中考考点：
二次函数的应用常常在解答题中出现：
三、知识点分析：
１、用二次函数的图象求一元二次方程的近似解：
２、二次函数与一元二次方程的综合应用：
３、二次函数与一次函数和反比例函数的综合应用：
４、利用二次函数求最大最小值：
５、二次函数几何图形的应用：
四．典型例题：
1． 画出适当的函数图象，求方程x－4x＋3=0的解．

2．函数的图象在轴上截得的两个交点距离为 ；
３．二次函数与轴的两交点在轴正半轴上，则的取值范围是 ；
４．直线与抛物线只有一个交点，则；
５．已知抛物线的图象与轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是 ；
６．已知二次函数若，则其图象与轴的位置关系是 （ ）
A 只有一个交点 B 有两个交点 C 没有交点 D 交点数不确定
７．已知函数的图象如图所示，则下列
判断不正确的是 （ ）
A B C D
８．已知二次函数．
（1）求证：不论为何实数值，这个函数的图象与轴总有交点．
（2）为何实数值时，这两个交点间的距离最小？这个最小距离是多少？

９．在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数的图象交X轴于点A(x,0)、B(x,0)，且(x+1) (x+1)=﹣8
(1) 求二次函数的关系式；
(2) 将上述二次函数图象沿Ｘ轴向右平移２个单位，设平移后的图象与Ｙ轴的交点为Ｃ，顶点为Ｐ，求的△POC面积

五、练习
１抛物线y=x－(m－2)x＋3(m－1)与x轴 （　　　）
Ａ一定有两个交点　　Ｂ只有一个交点　　Ｃ有两个或一个交点　 Ｄ没有交点
２．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图3所示，给出以下结论：① a+b+c<0；② a-b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0 . 其中所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．②③
C．①④ D．①②③
３.若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝___ (答案不惟一)______.(只要求写出一个)
４：已知二次函数，且a﹤0,a-b+c﹥0则一定有( )
A b－４ac﹥0 B b－４ac≥0 C b－４ac﹤0 D b－４ac≤0
５．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分钟）之间满足函数关系：y=-0.1x+2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大表示接受能力越强.
（１） x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（２） 第十分钟时，学生的接受能力是多少？
（３） 第几分钟时，学生的接受能力最强？

y
x
B
C
D
O
６．已知二次函数y=x-mx+2m-4.如果该抛物线与x轴的两个交点及抛物线的顶点组成一个等边三角形,求其关系式.

A

７．已知抛物线y=﹣x－３x－
（１） 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（２） 求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（３） 画出草图
（４） 观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.

８．已知关于x的方程(a+2)x－2ax+a=0有两个不相等的实数根x和x，并且抛物线y=x－(2a+1)x+2a－5与X轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
（1）求实数a的取值范围
（2）当时︱x︱ +︱x︱=2，求a的值

９．小明代表班级参加校运会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成30、45、60方向推了三次。铅球推出后沿抛物线形运动。如图，小明推铅球时的出手点距地面2m，以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系，分别得到的有关数据如下表：
推铅球的方向与水平线的夹角
30
45
60
铅球运行所得到的抛物线解析式
y1＝－0.06(x－3)2＋2.5
y2＝______(x－4)2＋3.6
y3＝－0.22(x－3)2＋4
估测铅球在最高点的坐标
P1(3，2.5)
P2 (4，3.6)
P3(3，4)
铅球落点到小明站立处的水平距离
9.5m
___________m
7.3m
⑴请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填入表格中的横线上；
⑵请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议。

１０．已知：抛物线y=x－mx+m－2
（１）求证次抛物线与轴有两个不同的交点；
（２）若是整数，抛物线y=x－mx+m－2与X轴交于整数点，求m的值；
（４） 在（２）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．