相交线与平行线(知识总结试题和答案).doc

初中精品数学精选精讲
学 科：数 学 任课教师： 授课时间： 年 月 日
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教学课题
相交线与平行线
教学目标
（知识点、考点、能力、方法）
知识点：两条直线相交，两条直线被第三条直线所截，平行线的判断及性质，命题定理证明，平移。
考 点：平行线的判断，平行线的性质
能 力：灵活运用角的关系，应用平行线的判断，平行线的性质解题
方 法：掌握角的计算，灵活运用角的关系
难点
重点
平行线的判断，平行线的性质
课
堂
教
学
过
程
课前
检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议______________________________________________
一、知识点大集锦
相交线与平行线

1、相交线
如果两条直线只有一个公共点时，我们称这两条直线相交。相对的，我们称这两条直线为相交线。
2、邻补角，对顶角
对顶角与邻补角是根据它们的位置命名的，因此它们各有不同的特点。
对顶角的特点：有公共顶点，角的两边互为反向延长线。图1中的∠1与∠2、∠3与∠4都是对顶角。对顶角是两个角的位置关系，不是数量关系。

图1
邻补角的特点：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线。图1中的∠1与∠3、∠3与∠2、∠2与∠4、∠4与∠1都互为邻补角。邻补角即是两个角的位置关系，也是数量关系。
对顶角与邻补角都是成对出现的，单独一个角不能称为对顶角或邻补角，这一点大家要注意。例如我们不能说图1中的∠1是对顶角（或邻补角），可以说∠1与∠2是对顶角，∠1是∠3或∠的邻补角。
注意：对顶角的性质：对顶角相等。
　邻补角的性质：一个角与它的邻补角的和为180°。
3、垂线
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
注意：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
显然，垂线段是指以直线外一点与垂足为两端点的线段。
1.在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。（简称垂线段最短。）
2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直垂线和铅垂线 （垂线的性质）
３. 垂线段是一个图形（线段），点到直线的距离是一个数量有单位。
四、同位角，内错角，同旁内角
（1）都是两条直线被第三条直线所截而成；
（2）无公共顶点。
因此，不管被截的两条直线是否平行，都存在同位角、内错角和同旁内角。“一边共线”是这三类角的基本特征。识别这三类角的关键是：首先要搞清组成某一对角的三条直线中哪些是“两条直线”（被截线），哪条是“第三条直线”（截线）。可根据下面的方法来判别。
同位角：分别在两条直线的同一侧，并且都在第三条直线的同一旁。如图1所示中1与3，2与4，5与7，6与8，7与9，1与9，2与10，3与10等均为同位角。
内错角：在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两旁。如图1所示中2与7，3与6，6与9，5与10，10与8等均为内错角。
同旁内角：在两条直线之间，并且都在第三条直线的同一旁。如图1所示中2与3，6与7，6与10，7与10，5与9等均为同旁内角。

巧记：（１）同位角：在截线同旁，被截两线同侧。
　　　（２）内错角：在截线两旁，被截两线之间。
　　　（３）同旁内角：在截线同旁，被截两线之间。
五、平行线及其判定
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
　　要点诠释：
（1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
　(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
　(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述。
２．平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
３.平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
４.平行线的判定：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：
（1）同位角相等两直线平行
在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：
（2）内错角相等两直线平行
在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：
（3）同旁内角互补两直线平行。
六 　平行线的性质
１.两条直线被第三条直线所截，同位角相等
（两直线平行，同位角相等）
２.两条直线被第三条直线所截，内错角相等。
（两直线平行，内错角相等）
３．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
平行线间的距离处处相等
注意：夹在平行线间的平行线段相等
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行（平行线的传递性）
七、 命题，定理，证明
命题的概念
1. 定义：判断一件事情的语句，叫做命题。
2. 注意：（1）必须是对某件事情做出判断的句子，才能叫命题，反之未做判断的句子，不能叫命题，这是辨别一个语句是否是命题的根本原则。
（2）命题的形式可以使语言叙述的形式，也可以用数学符号表示。
（3）命题的内容并非全为数学语言，还有生活中其它方面更广泛的内涵。
命题的结构
许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题都可以写成“如果……那么……”的形式。
命题的真假
1.命题的真假是以对事情所作判断的正确与否来划分的。
2.如果是正确命题，可已经推理证明其正确性，若判断为假命题，则须举反例说明其错误。
　　　定理
1.定义：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理。
2.注意：定理属于命题，而且属于真命题，但命题不一定是定理。定理的正确性必须是经过推理证明的，它又是以后推理论证的理论依据。
　　　证明
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明。
八　平移
１. 概念：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
2．要点：原来的物体，平移的方向，平移的距离。
３．基本性质：经过平移，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等;
．　　　　　平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
４．平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
注意：(1)图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;
　　 (2)图形平移后，对应点连成的线段平行且相等(或在同一直线上)
　　 (3)多次平移相当于一次平移。
　　 (4)多次对称后的图形等于平移后的图形。
　　 (5)平移是由方向，距离决定的。
　　 (6)经过平移，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。
二、 经典例题讲解
【例1】
如图，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF

（1） 求∠EOB的度数
（2） 若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.
（3） 在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

【例2】已知∠ABC和∠CBD互为邻补角，∠CBD等于直角的 ，过点B画AB的垂线BE。
（1）画出示意图；
（2）求直线BE和∠ABC的平分线所成的角的大小。

【例３】如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．

(1)∠1=∠2，________________________．
(2)∠A=∠3，________________________．
(3)∠ABC+∠C=180°，________________________
【例4】如图，已知∠1，∠2，∠3是直线a，b分别被直线c，d所截形成的角，且∠1=75°，∠2=76°，若c∥d，则∠3的度数为()

A.75° B.76° C.75°或76° D.104°或105°
【例5】中有直线L截两直线L1，L2后所形成的八个角．由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2()

A.∠2+∠4=180° B.∠3+∠8=180° C.∠5+∠6=180° D.∠7+∠8=180°
【例6】下列说法错误的是（   ）
　　A.同位角不一定相等      B.内错角都相等
　　C.同旁内角可能相等      D.同旁内角互补，两直线平行
【例7】(1)指出下列语句中的命题.
①我爱祖国. ②直线没有端点.
③作∠AOB的平分线OE. ④两条直线平行，一定没有交点.
⑤能被5整除的数，末位一定是0. ⑥奇数不能被2整除.
⑦学习几何不难.
(2)找出下列各句中的真命题.
①若a=b，则a2=b2. ②连结A，B两点，得到线段AB.
③不是正数，就不会大于零. ④90°的角一定是直角.
⑤凡是相等的角都是直角.
(3)将下列命题写成“如果……，那么……”的形式.
①两条直线平行，同旁内角互补. ②若a2=b2，则a=b.
③同号两数相加，符号不变. ④偶数都能被2整除.
⑤两个单项式的和是多项式.
【例8】如图，△ABC中，任意一点P（a，b）经平移后对应点P1（a-2，b+3），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．（1）试述△ABC是经过怎样的平移后变为△A1B1C1的？（2）求A1B1C1的坐标（3）求△ABC的面积。

三、 课堂练习
（一） 相交线
１．已知：OA⊥OC,∠AOB∶∠AOC＝2∶3,则∠BOC的度数为( )．
(A)30°　　(B)60° (C)150°　　(D)30°或150
２.以下五个条件中,能得到互相垂直关系的有( )．
①对顶角的平分线
②邻补角的平分线
③平行线截得的一组同位角的平分线
④平行线截得的一组内错角的平分线
⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
３.一个人从A点出发向北偏东300方向走到B点，再从B点出发向南偏东150方向走到C点，那么∠ABC等于（ ）
A.750 B.1050 C.450 D.900
10.下列说法中正确的是（ ）
A.一个角的补角一定是钝角 B.互补的两个角不可能相等
C.若∠A+∠B+∠C=900，则∠A+∠B是∠C的余角 D.∠A的补角与∠A的余角的差一定等于直角
（二）平行线
１.如图，下列判断正确的是：（ ）
A、若∠1=∠2，则AD∥BC B、若∠1=∠2，则AB∥CD
C、若∠A=∠3，则AD∥BC D、若∠3+∠ADC=180° ，则AB∥CD
1
A
B
D
C
2
3

２、下列说法正确的有〔 〕
①不相交的两条直线是平行线; ②在同一平面内,不相交的两条线段平行
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个 B.2个 C.3 D.4个
３、在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是〔 〕
A.平行或相交 B.垂直或相交 C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交

４、 如图 ９ ，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF

5、如图 10 ，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE =  60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由
6、如图 11 ，直线AB、CD被EF所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ ．

（三）平移
在以下现象中：
① 温度计中液面上升或下降，②用打气筒打气时活塞的移动，
③钟摆的摆动，④传送带带着瓶装饮料的移动。其中有平移的（ ）
A、①②④ B、①③ C、②③ D、②④
四、课后练习
１.如图（2）所示，∥，AB⊥，∠ABC=130°，那么∠α的度数为（　　）
 A．60°     B．50°    C．40°    D．30°
２．如图（3）所示，已知∠AOB=50°，PC∥OB，PD平分∠OPC，则∠APC=      °，∠PDO=       °

３.如图（6），DE⊥AB，EF∥AC，∠A=35°，求∠DEF的度数。

４． 上图中,∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4分别是什么位置关系的角?
５．判断题.
1.如果两个角是邻补角,那么一个角是锐角,另一个角是钝角.( )
2.平面内,一条直线不可能与两条相交直线都平行.( )
五、 章节测试
相交线与平行线 章节测试题
学生姓名： 考试分数：
特别说明：1、本试卷完成时间为 90 分钟；2、本试卷满分为 100 分；3、考试中考
生必须遵守考试规则，独立完成；4、考生草稿纸要求规范使用，考试结束上交。
一、选择题 (共６题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共１８分)：
1、如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC =70°，则∠BOD的度数等于（　）

A．30°　　B．35°
C．20°　D．40°
2、如图，将四个完全相同的矩形分别等分成四个相同的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（　）

A．只有①和②相等　　B．只有③和④相等
C．只有①和④相等　　D．①和②，③和④分别相等
3、如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1=130°，则∠2等于（　）
A．30°　　B．40° C．50°　　D．60°

4、如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，有三个命题：①∠1＋∠3=90°；②∠2＋∠3=90°；③∠2=∠4．下列说法中，正确的是（　）

A．只有①正确　　 B．只有②正确
C．①和③正确　　D．①②③都正确
5、如图,是赛车跑道的一段示意图,其中AB∥DE,测得∠B=140°,∠D=120°，则∠C的度数为（　）

A．120°　　B．100°
C．140°　　D．90°
6、在综合实践活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的图案如图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与原图拼接符合原来的图案模式（　）

二、填空题:(每小题3分,共30分)
11.如图,AB⊥CD,垂足为B，EF是过点B的一条直线,已知∠EBD=135°,则∠CBE=_____, ∠ABF=______.

12、把命题“锐角的补角是钝角”改写成“如果……，那么……”的形式是__________.
13、平移线段AB，使点A移动到点C的位置，若AB=3cm，AC=4cm，则点B移动的距离是______.
14、过钝角的顶点向它的一边作垂线，将此钝角分成两个度数之比为1:6的角，则此钝角的度数为______.
15、如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，如果a∥b，∠1=70°，则∠2=______.

16、如图,直线l1、l2分别和l3、l4相交,若∠1与∠3互余,∠2与∠3的余角互补,∠4 =110°，那么∠3=______。
17、如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD=______.

18、如图，已知∠ABC＋∠ACB=110°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点O与BC平行，则∠BOC=______.
19、如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，FH平分∠EFD，若∠1=110°，则∠2=______.

20、在同一平面内，1个圆把平面分成0×1＋2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2＋2=4个部分，3个圆把平面最多分成2×3＋2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4＋2=14个部分，那么10个圆把平面最多分成_____________

三、解答题
21、(7分)如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，在括号中填上理由．

因为∠BAP与∠APD互补(　　)
所以AB∥CD(　　)
从而∠BAP=∠APC(　　)
又∠1=∠2(　　)
所以∠BAP－∠1=∠APC－∠2 (　　)
即∠3=∠4
从而AE∥PF(　　)
所以∠E=∠F(　　)

22、作图题(７分)
(1)如图，小刚准备在C处牵牛到河边AB饮水：

　　①请用三角板作出小刚行走的最短路线(不考虑其他因素)；
　　②如图，若小刚在C处牵牛到河边AB饮水，并且必须到河边D处观察河水的水质情况，请指出小刚行走的最短路线．
(2)用三种不同方法把平行四边形的面积四等分(在如图所示的图形中画出你的设计方案，画图工具不限)．

23、(8分)如图,已知直线AB和CD相交于O点,射线OE⊥AB于O,射线OF⊥CD于O,且∠BOF =25°．
求：∠AOC与∠EOD的度数．

24、(6分)如图，依据图形，找出能使AD∥BC成立的条件(至少6个)．

[答案]
25、(8分)已知：如图，DE⊥AC，∠AGF=∠ABC，∠1＋∠2=180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．

26、(8分)如图所示，已知直线a∥b，直线c和直线a、b交于C、D两点，在C、D之间有一点M，如果点M在C、D之间运动，问∠1、∠2、∠3之间有怎样的关系？这种关系是否发生变化？

27、(８分)已知AD与AB、CD交于A、D两点,EC、BF与AB、CD交于E、C、B、F,且∠1=∠2,∠B=∠C(如图)．
(1)你能得出CE∥BF这一结论吗？
(2)你能得出∠B=∠3和∠A=∠D这两个结论吗？若能，写出你得出结论的过程．

附加题解决问题：如图a)，已知直线m∥n，A、B为直线n上的两点，C、P为直线m上的两点，其中A、B、C为三个定点，点P在m上移动，我们知道，无论P点移动到任何位置总有△ABP与△ABC的面积相等，其理由是：______________________________________。

如图b)，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图c)所示形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(图中折线CDE)还保留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．
(不计分界小路与直路的占地面积)．
　　(1)写出设计方案，并在图中画出相应的图形；
(2)说明方案设计理由．
课堂
检测
听课及知识掌握情况反馈_________________________________________
课堂练习（累计不超过15分钟）______道；成绩_____；教学需：加快□；保持□；放慢□；增加内容□
课后
巩固
作业______题；巩固复习_____________;预习布置___________________
签字
教学组长： 教研主任： 校长：
学习管理师： 学生签字
老师课后
老师最欣赏的地方：
老师想知道的事情：