毕业论文（设计）高中数学四种解题教学模式的教学实践研究.pdf

V2548300摘要解题教学在高中数学课堂有着举足轻重的地位，随着新课改的推 进，对教师在数学课堂中使用的教学方法与模式都提出了较高要求。因此，教师在解题教学中应该选择恰当的教学模式，并且做到有的放 矢，这对于提高课堂效率与学生的解题能力有着重要的意义。本论文 通过调查研究高中数学四种解题教学模式的使用现状，收集相关教学 案例进行分析，提出了四种解题教学模式在解题教学中应该注意的问 题及改进策略。同时，对典型案例进行教学实践，总结反思教学效果 及存在的问题，并提出个人建议。本论文主要分为六部分：第1章是引言，介绍了本论文所研究问 题产生的背景，研究意义、研究现状及其研究方法。第2章为数学解 题教学模式的理论基础，包括数学教学模式与解题教学模式两方面的 理论研究。第3章为数学四种解题教学模式的教学研究及案例分析，也是本论文的核心部分，主要是根据现有的四种解题教学模式（包括：认知建构模式，自动化技能形成模式，模型建构模式，问题开放模式）进行教学案例分析，然后对四种模式在解题教学中应注意的问题进行 探讨，并提出改进措施。第4章为解题教学模式的实践教学研究，通 过两个教学案例来说明教师在解题教学中如何根据教学内容与学生的已有知识技能合理运用解题教学模式，分析其有效性，同时进行总 结与反思。第5章为对高中数学解题教学的建议，包括模式的选取的 建议和解题教学过程应该注意的细节问题，如教师如何教学生读懂题 意、寻找求解方法、规范书写解题过程、反思解题错误等。最后一部 分为结语，即本论文的研究结论。关键词：解题教学，教学模式，解题教学模式，教学案例ABSTRACTProblem solving teaching plays a significant role in high school mathematics classes.Along with the advancement of new curriculum reform,it put forward higher requirements for the teachers*teaching methods and models in the mathematics classes.Therefore,teachers should choose the appropriate teaching models in the problem solving teaching to achieve the target,which is of great significance for improving the class efficiency and the problem solving ability of students.In this paper,through investigating and researching the using status of the four modes in high schoofs mathematics problem solving teaching,meanwhile collecting related teaching case to analyze,which puts forward the problems that should be paid attention to and the strategies when using the four modes in the problem solving teaching.At the same time,it applies the typical cases to mathematics9 problem teaching,summarizes the teaching effect and the existing problems,and then provides some personal advices.This is the basic structure of this paper:Chapter 1 is introduction,mainly expounds the background,the significance,the status and the inmethods.Chapter 2 is the theoretical basis of the mathematics problem solving teaching models,including two aspects of theoretical research in the mathematics teaching modes and the mathematics problem solving teaching modes.Chapter 3 is the research and case analysis of the four modes in mathematics problem solving teaching.Its also the core part of this paper,mainly carries on the case analysis according to the existing four types of problem solving teaching modes(including:cognitive construction mode,automation skill formation mode,model building mode,problems opening mode).Then carries out some discussions on the problems that should be noticed relating the four modes in the problem solving teaching,and puts forward some improvement measures.Chapter 4 is about the practical research of the mathematics problem solving teaching modes.It uses two teaching cases to illustrate that how teacher should reasonably use the problem solving teaching modes according to teaching content and students*existing knowledge skills.Then it analyzes its effectiveness,and makes a summary and reflection at the same time.Chapter 5 is the suggestions for the mathematics problem solving teaching in high school,including suggestion for selecting modes and the details should be paid attention to in the process of problem solving teaching.For example,teachers teach students how to read the topic,howIVto look for their resolving ideas,how to write the process reasonably,and how to reflect on the problem solving errors,etc.Chapter 6 is the conclusion,which is the researching result of this paper.Keywords:Problem solving teaching,Teaching mode,Mathematics problem solving teaching mode,Teaching caseVI目录中文摘要.I英文摘要.Ill第一章引言.11.1 问题的提出.11.2 本研究的意义及创新点.1L3文献综述.21.4研究设计.5第二章 数学四种解题教学模式的理论基础.6第三章数学四种解题教学模式的教学研究及案例分析.103.1 认知建构模式的解题教学研究.103.2 自动化技能形成模式的解题教学研究.163.3模型建构模式的解题教学研究.223.4问题开放模式的解题教学研究.28第四章解题教学模式的实践研究.334.1 关于认知建构解题教学模式的实践.334.2 关于自动化技能形成解题教学模式的实践.41第五章 对高中数学解题教学的建议.50结语.53参考文献.54后记.57高中数学四种解题教学模式的教学实践研究第一章引言1.1 问题的提出解题教学作为高中数学课堂教学中的一个重要组成部分，它一方面可以有效 地提高学生解决问题的能力，另一方面还可以促进学生对已学过的基本知识、相 关概念和运算规则的理解，对学生学好数学有着积极的意义。因此，怎样使得解 题教学在我们的高中数学课堂教学中充分发挥它的功能，应该是每一位高中数学 老师应该探究的问题。人们常说“教育是一门艺术“，作为一门科学的数学解题教学当然有自己的 规律可循，就应该有一套完整的解题教学模式来实现它的全部功能。因此，数学 解题教学模式是数学专家和学者们理论与实践的产物。近几年来，在新课程改革 的背景下，对高中生解题能力的要求越来越高，同时对教师在高中数学解题教学 上也提出了相应的挑战，那么该如何在高中数学解题教学中选择恰当的解题教学 模式来提高我们的课堂效率和学生的解题能力，同时在选择不同的解题教学模式 的过程中应注意哪些问题，这些都有待于研究。笔者在阅读了喻平老师编著的数 学教育心理学书中介绍的数学四种解题教学模式后，通过查阅相关资料，发现 目前关于数学解题教学模式的研究大多是描述性、理论性的研究或者是部分一线 教师单纯的经验总结和简单呈现，很少将理论与实践综合起来进行深层研究。1.2 本研究的意义及创新点我国数学教学传统历来都比较重视基础知识与技能的训练和相关能力的培 养，但是解题教学不能只是为了使学生理解数学基础知识和掌握基本技能，更应 该注重的是能够使学生得到思维的训练和解题能力的提升。同时，高中数学老师 在进行解题教学时，不能将解题教学简单地视为各种题型的归类和求解方法的简 1硕士学位论文单罗列，这样只会使得学生的思维程式化。数学解题教学没有固定的教学通法，所以要根据具体情况（包括学生已有的认知水平和基本技能）选择恰当的数学解 题教学模式，以体现教学规律和达到教学目的。本文在解题教学模式相关理论的指导下，对新课程标准进行解读，研究和分 析了近几年来高考数学试题，同时根据个人的高中数学教学经验，加强对数学解 题教学模式的研究。然后就目前已有的数学解题教学模式的选取和实施进行研究,并提出自己在教学上的建议，给高中数学老师在解题教学中提供一个参考，这对 于提高高中数学老师的解题教学水平有一定的理论和现实意义。本研究的创新点如下：（1）在高中数学解题教学中对模式的选取方面，以及相关的理论基础和实 践经验进行研究，并提出一些实用的建议；（2）在高中数学解题教学中运用相关解题教学模式，对教学中出现的问题 及其要注意的问题，提出有效的策略与解决办法，并进行教学实践研究。1.3文献综述笔者通过查阅相关文献资料，发现有很多的专家和学者就解题教学及其模式 做了大量的实证研究，另外还有很多的中学老师对自己的解题教学也做了一定的 经验总结。主要有：喻平教授通过对数学解题心理学的研究得出CPFS结构来对学习数学的认知 结构进行准确刻画，在一定程度上反映了人们在学习数学的过程中会出现的心理 现象与规律，他认为解题教学应该有3个层面的理论基础：（1）由可误主义数学观演变的动态数学观构成；（2）动态数学观发展而来的建 构主义构成；（3）由联结建构主义与教学设计的中介理论一广义知识观所构成。并以此为理论基础，根据不同的教学目标确定了四种解题教学模式，分别为：（1）认知建构模式；（2）自动化技能形成模式；（3）模型建构模式；（4）问题喻平.数学教学心理学M.北京：北京师范大学出版社，2010:304-308.2高中数学四种解题教学模式的教学实践研究开放模式。曹一鸣对“模式”作了准确定义，通过反思我国数学教学中的传统模式与 综合分析相关理论和新的数学教学模式实施的可能性，来探求新的数学教学模式。他认为，数学教学模式不应该是一成不变的，要与时俱进并不断扩充，同时各个 数学教学模式也可通过互补的形式进行优化组合，主要是为了对已有的数学教学 模式作新的重建，并不断完善。他还提出“中学数学实验教学模式”和“小学数 学引疑探究教学模式”两种教学模式，并作了相关实验研究。张静老师根据个人教学经验，提出“双诱式”数学解题教学模式，其具体操 作过程分五步进行。同时对南阳市某高三的两个班作了相关实验，用SPSS进行 统计分析得出的结果证明了该模式在数学解题教学中的有效性。图“双诱式”数学解题教学模式的操作过程图李奇文在其硕士毕业论文中对数学新课程理念下的已有中学数学教学模式 包括讲授式模式、发现模式和自学模式作了相关分析，通过“取其精华，去其糟 粕”的方式，提出了“四环递进教学模式”，并对其进行了实践研究。杨云飞在其硕士毕业论文中提出，在数学解题教学中如何运用波利亚解题 模型来辅助学生求解数学问题和寻找与分析学生出错的原因，并且引导学生去克 服在求解数学问题的过程中遇到的障碍。整个过程主要为师生共同探讨合作，同曹一鸣.数学教学模式的重构与超越M.南京师范大学，2003:21-35.张静，张宏奎，蔡兴光，郑世湍.“双诱式”数学解题教学模式探析J.南阳师范学院学 报(自然科学版)，2002(4):8-12.李奇文.新课程理念下中学数学教学模式的研究与实践D.湖南师范大学，2004:45-48.3硕士学位论文时他还利用具体的实际案例来说明波利亚解题模型在解题中的使用方法。曹海利老师根据一次数学平面几何教学，提出在同一背景中开展数学解题教 学成效有：(1)使学生加深对概念的理解；(2)收获比提高解题能力更多的东西；(3)使学生所学的知识更有价值。他认为用数学概念、数学思想方法和数学知 识作为背景来开展数学解题教学，能够提高学生的解题能力与自学能力汽刘福根在其硕士论文中，探究了现如今高中生的解题能力现状与其影响因素,通过调查分析相关策略与现有的解题教学设计，提出了有效且实用的改进措施和 教学方法，包括：怎样提高高中生的基础知识、基本技能、数学思想、思维能力 和情感态度。戴素琴在其硕士毕业论文中分析了高中数学习题课的现状，批判“题海战术”,最后提出在习题课教学中要做到：(1)在巩固概念的习题课教学中，精选典型例题，循序渐进；(2)在问题解决的习题课教学中，注重培养学生的联想能力，提倡变式教学；(3)在综合运用型习题课教学中，比较注重一题多解；(4)在数学解题教学中，融入实用的解题策略，避免出现解题漏洞。叶良铃老师从自己多年的高三数学解题教学经验中总结得出怎样使得解题 教学更具有效性，并提出自己的看法：(1)解题教学前做的有效设计包括：题 目条件、解法和变式的有效性设计；(2)解题教学中训练学生“换位”思维。存 在的误区：(1)重资料轻课本：(2)重表象，轻本质；(3)重预设，轻生成。以上的这些研究大多是从教育学、心理学以及个人的解题教学实际经验的 角度进行研究，通过查阅大量文献资料，其中更多的是中学一线老师根据个人教杨云飞.波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用D.华东师范大学，2011:6-9.曹海利.用同一背景开展解题教学的探究UL语数外学习，2013(3):4-7.刘福根.提高高中生数学解题能力的教学方法研究D.天津师范大学，2012:38-41.戴素琴.高中数学习题课教学的课堂研究D.上海师范大学，2012:53-54.叶良铃.高三数学解题教学的有效性及误区JL课程教育研究，2012(8)：43-45.4高中数学四种解题教学模式的教学实践研究学经验对某个教学案例作简单的呈现并陈述自己的心得体会,其中不乏较高水平 的文章，但这些研究还存在一些不足：(1)这些文章很多是中学老师在个人解题教学中的一则教学案例，然后根 据个人的心得体会发表感想，提出一些建议和看法。(2)文章很少以理论为基础，对解题教学的研究就成了纯教学经验的总结，主观性较强，缺少学生或其他听课者的客观评价,使得提出的见解略显空洞无力。因此，我们需要对解题教学模式进行科学而系统的研究，根据理论与实践相 结合，不再局限于某一节课或某一知识点的教学，应该是要考虑到解题教学的各 个环节。1.4研究设计本研究的基本思路为：第一阶段，搜索国内外相关文献资料，研究数学解题教学相关的理论知识;第二阶段，对老师和学生在解题教学方面进行现状调查和分析，收集高中数 学解题教学的各种案例，分析案例，提出有效的策略和方法并进行总结；第三阶段，对前面的工作进行分析总结，对部分数学解题教学模式进行实践 研究，探讨优化方案，提出个人建议。主要研究方法：文献分析法，访谈法，案例分析法，实践研究法。5硕士学位论文第二章数学四种解题教学模式的理论基础数学教学模式是什么？综合国内外各个专家学者的言论和观点，可大体理 解为：数学教学模式指的是在相关数学教育思想的指导下，在大量的数学教学实 践基础上，用以实现相应的教学目的，而产生的稳定、精炼的数学教学理论框架 和具有实用性和有效性的实践活动方式。其中比较注重的是数学教学理论与教学 实践的综合运用，不是纯粹的教学经验的总结，也不是空泛的数学教学理论与实 践教学经验的简单汇合。不管采取哪种教学模式，我们始终追求的是提高教学效 率，根据艾伦C奥斯汀(Anan C.Ornstein)所提到的多种有效教学策略，包括 关于教师在备课、上课，学生预习、练习及其课后复习等方面的相关策略，对教 师如何提高教学的有效性应该算是一个很好的启发。对于教学模式的相关理论不计其数，赫尔巴特的四段教学模式：明了一联 想一系统一方法，明确了学生在这四个阶段中的心理状态，恰当地将心理学融入 到教育学中；布鲁纳的“发现学习”教学模式：以学生为主体，老师充当指导者 去引导学生围绕一个问题，自己去探究和学习来发现规律或得到结论，激发学生 的学习兴趣的同时也促进了个性发展；加涅“信息加工理论”下的教学模式：学 生在学习新的知识技能的时候，要以已经掌握的知识技能为基础，教师在教学设 计中就应该以学生的八个学习层次为基础，设计高效的相关教学模式；奥苏泊尔“有意义接受学习”教学模式即区别“填鸭式”的讲授教学模式，就是通过老师 形象生动且具有逻辑性的讲授，让学生能在有限的时间内掌握系统全面的知识，从而达到有意义学习。Ornstein.A.C.Strategies for Effective Teaching M.Newyork：Harper CollinsPublishers.1990：5-51.陈琦，刘儒德.当代教育心理学IM.北京：北京师范大学出版社，2009：66-686高中数学四种解题教学模式的教学实践研究高中数学解题教学有如下模式：1.认知建构模式现代建构主义的数学学习观比较注重的是学生利用已有的基本知识技能去 主动构建新的认知图式，老师更应该关注的不能只是学生获得的知识技能，而是 让学生知道相关数学知识技能是如何得到的，又有什么样的使用价值。认知建构解题教学模式，就是让学生在自己的解题过程中构建较好的数学认 知结构，用以引导学生依靠自己或与人合作探究来构建认知结构，其主要形式为 师生或学生之间的交流与合作。图21认知建构解题教学模式的程序图2.自动化技能形成模式自动化技能形成的过程中，首先要知道问题结构，即问题的初始情况，要达 到的目标与问题求解过程中需要做的各种步骤，所采用的方法。然后应用所学的 7硕士学位论文知识与方法解决问题，通过不断地练习巩固所使用求解方法与规则，使问题更易 于求解。最后对所学的知识再深入加工，使得某些操作技能不需人特定的意识控 制便可达到自动化程度。其中还可根据安德森提出的,系统并且难度较高的知识 技能的学习可以分解成各个成分的学习，同时各个成分还可以合并成统一且整体 的学习，应该具有较高的现实意义。自动化技能形成的解题教学模式，就是在数学解题教学中，对于一些可以直 接利用已有的规则或思想方法，同时按照特定的步骤与思路来求解的问题，让学 生通过大量的解题训练，形成个人技能，最后达到自动化水平。其教学过程的关 键主要在于老师的示范与学生的练习。图2.2自动化技能形成模式的教学程序图3.模型建构模式建构主义学习观认为，通过新的知识技能与学习者已有的知识经验之间相互 充实与改进来不断完善学习者的认知结构，其核心就是比较注重人的主体性与创 造性，以人为中心,将人视为认知的主体,是知识技能与认知结构的主动构建者。模型建构的解题教学模式，就是在解题教学中根据教师所提供的问题情境，让学生自主或合作探究问题的求解途径与策略，主要是为了使学生能够利用数学 工具来分析和解决实际问题。8高中数学四种解题教学模式的教学实践研究图2-3模型建构解题教学模式的教学程序图4.问题开放模式1998年由国际数学教育委员会组织召开的第一届东亚国际数学教育大会提 出当前数学教育的特点为：全球化、开放化与技术化。大会提出数学中的开放题 是新的数学教育热点，同时运用开放性题的数学教学模式进行教学是数学教学的 新趋势。开放性题作为数学教学的一个热点，主要是用来培养学生的创造性思维 与能力，其中分为：结论开放、条件开放、推理过程开放和问题本身开放等。问题开放解题教学模式，就是通过开放性题目培养学生的发散思维，拓展学 生的视野，教学过程主要是以师生合作交流为主。图24问题开放解题教学模式的教学程序图 孔凡海.当前世界数学教育的三个特点J.中学数学教学参考，1998,129硕士学位论文第三章数学四种解题教学模式的教学研究及案例分析随着新课改的推进，人们都在呼吁“以人为本”的素质教育，大家在反对“题海战术”的同时，不得不承认我们的高考压力一直都在，解题的重要性也不 容忽视。素质教育与应试教育的区别应该不在于学生解题量的多少，而在于如何 通过训练提高学生的解题能力，使得学生能在短时间内应对我们覆盖了大量知识 点的考试。老师要做的就是研究如何才能更高效地提高学生的解题能力，这就需 要老师深入解题教学的研究中来，共同探究如何运用各种解题教学模式来提高课 堂效率和学生的解题能力。3.1 认知建构模式的解题教学研究认知建构解题教学模式，就是学生在解题过程中建立起系统的认知结构，主 要在于老师与学生、学生与学生之间的交流合作与探讨。首先，由老师提出问题，启发引导学生思考解题的方法，一起探讨问题的求解方法，并对问题进行解答。然后，再让学生与学生之间一起探讨原题是否有其它的做法，同时也可对原题进 行适当改动，如可以变换条件或结论，或者放缩条件。在这个解题教学模式中，通过一题多解和变换题型的形式使得学生将已学过的知识更系统化，学生的认知 结构也会更加完善。3.1.1 认知建构模式的解题教学案例利用导数证明不等式的解题教学案例利用导数证明不等式，就是根据不等式与函数的关系，通过各种转换，对不 等式进行变形，进而适当地构造对应函数，然后由函数求导得出函数的单调性和 最值，最终使得不等式的求证变成函数问题。利用导数证明不等式一直是高考数 10高中数学四种解题教学模式的教学实践研究学中的一个热点问题，作为高考数学最后一道大题的最后一问，其难度较大，很 多学生对这一题都有畏惧感，不知如何下手。利用导数证明不等式的基本题型与方法有：(1)连续型不等式：适当变形，构造函数，用导数求出最值(或值域)得 证；(2)离散型不等式：化离散为连续，构造函数证明；(3)双变元不等式：化单变元分离变元，集中变元，固定一个变元 为参数。下面就比较典型的连续型不等式进行分析。例 1 求证：(1)当又一1 时，ln(l+x)0.当文 0 时，0.的在区间(-1,0)内为增函数，在区间(0,+8)内为减函数.当 x=o 时，fMmax=y(o)=o.f(x)在其定义域内小于等于0即/(%)=士-In(l+x)0.-ln(l+x).硕士学位论文证明ln(l+x)0.当%0 时，gz(x)0.：g(x)在区间(一 1,0)上单调递增,在区间(0,+8)上单调递减.当 X=0 时，g(x)maz=g(0)=o.g G)在其定义域内 g(x)=ln(l+x)-x 0.a ln(l+%)x综上 忘-1n(l+%)%.学生在做此题的过程中，掌握了利用构造函数的方法来证明不等式，对于是 否可以寻找其它的构造函数的方法来求证的问题，可引导学生合作探讨寻求其它 证法，学生想到的其他的证法如下：另证 1 令f(=充，g(x尸 ln(l+x),通过求导判断函数单调性可求得fMmax-0,g(X)min=0.可证得fMmax 0,此时不等式由t表亦为 Int t-1,同样对于这个新的不等式也可用构造函数法证明另证3(图像法)令尸捻？g(*)=ln(l+%)，h(x)=x将三个函数图像画出，通过观察图像，可发现在。(-1,+8)范围内h(X)的函数图像在g(x)的上方，同时g(x)的函数图像在/(幻上方，根据图像直观12高中数学四种解题教学模式的教学实践研究判断出f(x)g(x)0时，-ex.X证明直接构造函数法令-求导得 ff(x)=.(一).当 CKx 1,因而 e ex 即 e-ex 1 时，0 ex 即 e e10.X f(x)0./(%)在区间(l,+oo)上单调递增.当X=1 时=f=e-e=0./(x)fMmin=0 即 ex-0.不等式工.得证.X换元法1令片i,则t 0，则不等式变形为et 0,ef 0对不等式左右两边作对数运算In et In/整理得Int-l,此时不等式化为ln(u+1)u 其为例1不等式.换元法2不等式两边同时作对数运算ln i 整理得 g(l).求得屋)=遮.g(0=2,则 gg)/Q).函数/(欠)与g(x)有交点，且其交点的横坐标Xo W 出为方程X-2X=1的一个小于1的正根.学生2证法展示：令F(x)=%2%-1则F(x)在R上连续.求得 F(l)=l,F(0)=-1,因而 F(l)-F(0)0,aW0,M0,N0)loga(M-N)=logaM+logaNloga 得)=logaM-logaNlogaMn=nlogaM换底公式logab=鬻(c 0,且c H 1)推论(1)logab=7(2)ogambn=20高中数学四种解题教学模式的教学实践研究(3)logamh=ilogah(4)ogambm=logah恒等式 a1gaN=N,ogaaN=N示范1(1)log2(8 x 42)=log223+logz25=310g22+51ogz2=3+5=8(2)log3(27 x 92)=log333+log334=31og33+41og33=3+4=7(3)IgO.OOOl=IglOT=-41glO=-4(4)InVe=Inez=|lne=1(5)log212-log26=log2=Iog22=1(6)lg5+lg2=lgl0=l示范2 log6pog4(log381)=log6log4(log334)=log6(Iog44)=log6l=0(2)log225-log34-log59=-=862 lg2 lg3 lg5 Ig2 lg3 lg5示范3(1)(log2125+log425+log85)(log52+log254 4-log1258)也蟠至蚂里.V lg2 lg4 lg8八lg5 lg25 lgl25；131g5 21g5 lg5 vlg2 21g2 31g2一(京+福+砺)(蔽+福+砺)=芷.些=1331g2 lg5(2)31+10g32+1002lg9*lg2=3 31og32+00坨3Tg2.3=3-3log32+10(?明21硕士学位论文=3-3】嘀2+100吗=3 310g32+IO2崂=3-3】喻2+10lg=3x2+-=4 4练习(1)log2(l+V2+V3)+Iog2(1+V2+V3)(2)31+1g3 6,24+log2 3+103 log3+(工)logs4-1(3)(4)2(lnV2)2+logV21og5+J(lnV2)2 log2+1log 5(log 8+log 1000)+(log 2)2+logi+log 0.066(5)log25-4log8+log5log20+(log2)2(6)logs V21og79log51log7 V4+log2(V3+V5-V3-V5)3.3模型建构模式的解题教学研究3.3.1模型建构模式的解题教学案例模型建构就是指在解决实际问题的时候，通过建立数学模型让学生在自己的 认知结构中应用所学的数学知识，选择相应的策略去解决实际问题。首先，老师 要先引入实际问题情境，激发学生对问题的兴趣。然后引导学生分析问题，进而 能够用数学语言来解释这个实际问题，寻找解题策略。最后选择合适的数学方法 建立数学模型，并进行解答和反思。高考数学综合应用题的解题教学案例从近几年的湖南高考数学试题中我们可以看到，每年湖南卷都会出一道综合 应用题，题型一般是函数模型、数列模型与几何模型等。这道题对考生要求较高，要求考生能根据题目所提供的文字材料提取关键信息，将现实中相关的学科、社 会生产生活中的问题转化为数学问题，找出问题中存在的数量关系，建立相关的 22高中数学四种解题教学模式的教学实践研究数学模型求解。主要考查学生在短时间内能在陌生的问题情境中提取有用的信息,然后转化为函数、不等式、解三角形、立体几何等问题，关键在于学生具有数学 应用意识，灵活运用数学知识工具来分析求解实际问题。下面以2007年湖南高考数学第19题为例例8如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区。的公 路点P所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角6(0。V 8 90。)，且sin。=，点P到平面a的距离PH=0.4(km).沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利.从点O到山脚修路的造价为a万元/km,原有公路改建费用为三万元住研 当山坡上公路长度为1依n(11 2)时其造价为(/+1)。万元，已知04 1 AB,PB 1 AB,AB=l.5(km),OA=V3(fcm).(1)在ZB上求一点D,使沿折线PD40修建公路的总造价最小；(2)对于(1)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总 造价最小.(3)在Z5上是否存在两个不同的点E,使沿折线尸QEO修建公路的总 造价小于(2)中得到的最小总造价，证明你的结论.图36分析解此题的关键在于，熟悉问题的实际背景为修建公路，由于各个路段的 造价不同，就需要对题目的各个条件进行仔细分析,先确定所要构建的数学模型,23硕士学位论文然后将数学模型分解成两个步骤:图37 AB LHB.又 PB 1AB二4是山坡即平面43尸与a所成二面角的平面角即上PB”=0因而PB=2=1.设 BD 为x km,则 0%1.5.此时 PZ)=Vx2+PB2 Ex2+1 则 1 pd o求得15r令g(y)o 求得 oqL当ivyv：时g(y)为增函数.当Ovyvl时g(y)为减函数.当y=l 时 gmox=g(l)=*(万元),(3)假设存在这样的两个不同点使总造价最小，显然。不能在AE之间，故设0在BE之间.令B=X,AEr=%则0 Xi+yi 0,此时 3 W x 工 6 且x W N.当%6时，y=x50 一(%6)3-115.7 y 0,此时6 x 20 且x W N.八 一、50%-115(3x6 且xWN)综上f(x)=()厂.1-3%2+68%-115(6x 20 且 x E N)定义域为：%|3工工4 20,XEN.(2)当3 4工工6时，XWN y=50 x-115.7max=f(6)=185当60,因而/(%)在(。，+8)上单调递增.(x+2a)28高中数学四种解题教学模式的教学实践研究当时，/(x)=-x+2af(x)=3g 2 0(x+2a)2因而了(%)在(Q,+8)上单调递减.二当时，f(x)在0,4上单调递减.篇 ax(x)=f(0)=；=g(Q)当0VqV4时，/(%)在(0,a)上单调递减在(a,4)上单调递增.此时在区间0,4内f(%)的极大值为f(0)与/(4)中较大的值1 4 67故-石五a-l=2+因此当OVaWl时 篇3(%)=4)=悬二式。)当 1VqV4 时，(%)=7(0)=1=g(a).综上,g(G)=，4 a4+2a12(2)由题(1)可知,当4时，/(幻在(0,4)上单调递减，此时f(x)在区间(0,4)内不存在两点，满足在该两点处的切线互相垂直.当0VaV4时，f(x)在(0,a)上单调递减，f(%)在(a,4)上单调递增.假设存在两点(右，/(石)，(x2f/(x2)满足函数/(%)在该两点处的切线互相垂直，不妨设/不，则0 x1a,ax2 4,且尸(右)尸(女)=一1即 3,_曳2=一1.(玉+2。)2(x2+2a)29硕士学位论文整理得%+2a 二弟(*)其中 2a%+2a3a,急 1.由(*)式可得(2a,3a)n(盘，1)*0.此时含 0.高中数学四种解题教学模式的教学实践研究e(lnx+k)_ ir(lnx+3)xex则ra)=替=0,解得k=1.询=誓.ra)=W普 F(x)=1 x(lnx+1).：Fr(x)=-Inx-2令P(x)0,则#Ve-2；令FG)vO,则xe-2.Fa)的单调递增区间为(0,e-1,单调递减区间为e-z,+00.根据题意得g(x)在区间0,1内的最大值小于FQ)在区间(0,+8)内的最大值.g(x)=-(x a)2+a2.由题(1)得:F(%)max=F(e-2)=l+1若Ova VI,则在0,1内 g(x)max=g(a)=a2.g(x)max V F(x)max 即V 1+彳解得：+苗 a J1+专,因而。a 1,则在0,1内 g(x)max=g(l)=-1+2a.gQ)max V F(x)max 即-1+2a 1+.解得：”1+点，因而IS l+综上所述a的取值范围为(0,1+点).总结 此题作为高三开放性题中的存在性问题与例8略有不同，例8是探讨是 31硕士学位论文否存在参数G满足条件，此题是根据已经存在满足条件的相关参数均，必，求解 另一参数a的取值范围，两题的开放性条件与结论略有不同。对于存在性问题，学生都有些畏惧，在做题过程中由于把握不了问题的关键与核心，都不知如何下 手。此题的第(2)问，读懂题很重要，其中的关键句”对于任意&W 0,1，总 存在与6(0,+8),使得ga2)VF(%)”，笔者教学过程中发现由于 与，不不是确定的值，学生不知从哪方面考虑。有学生提出利用图像求解，有学生提出求gG)在区间01内的最小值小于 F(x)在区间(0,+8)内的最大值,也有学生提出应该求g(%)在区间0,1内的最 小值小于F(%)在区间(0,+oo；内的最小值等，老师在教学过程中就要根据学生 提出的错误看法给出反例进行推翻，然后进行引导得出正确的推理过程，最后师 生共同探讨与反思求解此类题时该如何寻找正确的求解思路。32高中数学四种解题教学模式的教学实践研究第四章解题教学模式的实践研究4.1 关于认知建构解题教学模式的实践教学课题抽象函数不等式的求解教学目标(1)知识技能能够根据已知条件，求抽象函数定义域，判断抽象函数单调性。由函数单调性来 求解不等式。(2)过程与方法通过例题的讲解与演练，教给学生如何对一个问题进行思考与求解。(3)情感、态度与价值观培养学生化归、类比