高中数学选修22微积分基本定理.doc

[学习目标]　1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.

知识点一　导数与定积分的关系
f(x)dx等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)＝f(x))在积分区间[a，b]上的改变量F(b)－F(a).
以路程和速度之间的关系为例解释如下：
如果物体运动的速度函数为v＝v(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位移s可以用定积分表示为s＝v(t)dt.另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s＝s(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位移为s(b)－s(a)，所以有v(t)dt＝s(b)－s(a).由于s′(t)＝v(t)，即s(t)为v(t)的原函数，这就是说，定积分v(t)dt等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a，b]上的增量s(b)－s(a).
思考　函数f(x)与其一个原函数的关系：
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx；
(2)若f(x)＝xn(n≠－1)，则F(x)＝·xn＋1；
(3)若f(x)＝，则F(x)＝ln x(x>0)；
(4)若f(x)＝ex，则F(x)＝ex；
(5)若f(x)＝ax，则F(x)＝(a>0且a≠1)；
(6)若f(x)＝sin x，则F(x)＝－cos x；
(7)若f(x)＝cos x，则F(x)＝sin x.
知识点二　微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).
思考　(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？
(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？
答案　(1)不唯一.
(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；
②用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；
③利用微积分基本定理求出定积分的值.

题型一　求简单函数的定积分
例1　计算下列定积分.
(1)3dx；(2)(2x＋3)dx；
(3) (4x－x2)dx；(4)(x－1)5dx.
解　(1)因为(3x)′＝3，
所以3dx＝(3x)＝3×2－3×1＝3.
(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，
所以(2x＋3)dx＝(x2＋3x)
＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.
(3)因为′＝4x－x2，
所以 (4x－x2)dx＝
＝－＝.
(4)因为′＝(x－1)5，
所以 (x－1)5dx
＝(x－1)6
＝(2－1)6－(1－1)6＝.
反思与感悟　(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：
①求f(x)的一个原函数F(x)；
②计算F(b)－F(a).
(2)注意事项：
①有时需先化简，再求积分；
②若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)＋C(C为常数)也是f(x)的原函数.随着常数C的变化，f(x)有无穷多个原函数，这是因为F′(x)＝f(x)，则[F(x)＋C]′＝F′(x)＝f(x)的缘故.因为f(x)dx＝[F(x)＋C]|＝[F(b)＋C]－[F(a)＋C]＝F(b)－F(a)＝F(x)|，所以利用f(x)的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C了.
跟踪训练1　求下列函数的定积分：
(1)2dx；(2)(1＋)dx.
解　(1)2dx
＝dx
＝x2dx＋2dx＋dx
＝x3+2 x +
＝×(23－13)＋2×(2－1)－
＝.
(2)(1＋)dx
＝(＋x)dx
＝
＝－
＝.
题型二　求分段函数的定积分
例2　求函数f(x)＝在区间[0,3]上的定积分.
解　由定积分的性质知：
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x3dx＋x2dx＋2xdx
＝＋＋
＝＋－＋－
＝＋.
反思与感悟　(1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以.
跟踪训练2　求下列定积分：
(1)|x2－1|dx；(2) dx.
解　(1)∵y＝|x2－1|＝
∴|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋
＝＋－
＝2.
(2) dx
＝|sin x－cos x|dx
＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx
＝(sin x＋cos x)＋(－cos x－sin x)
＝－1＋(－1)－
＝2－2.

题型三　定积分的简单应用
例3　已知f(a)＝ (2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值.
解　∵′＝2ax2－a2x，
∴ (2ax2－a2x)dx＝
＝a－a2，
即f(a)＝a－a2＝－＋
＝－2＋，
∴当a＝时，f(a)有最大值.
反思与感悟　定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用.
跟踪训练3　已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a、b、c的值.
解　由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2.①
又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0，②
而f(x)dx＝ (ax2＋bx＋c)dx
＝
＝a＋b＋c，
∴a＋b＋c＝－2，③
由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.

1.dx等于(　　)
A.2(－1) B.＋1
C.－1 D.2－
答案　C
解析　结合微积分基本定理，得
dx＝ (cos x－sin x)dx＝(sin x＋cos x)＝－1.
2.下列定积分的值等于1的是(　　)
A.xdx B.(x＋1)dx
C.1dx D.dx
答案　C
解析　xdx＝x2＝，(x＋1)dx＝＝＋1＝，1dx＝x＝1，dx＝x＝.故选C.
3.dx＝ .
答案　
解析　dx＝x2dx－xdx
＝－＝－＝.
4.设函数f(x)＝则f(x)dx＝ .
答案　
解析　f(x)dx＝(x2＋1)dx＋(3－x)dx
＝＋＝.
5.已知函数f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则 f(x)dx＝ .
答案　16
解析　因为函数f(x)为偶函数， 且f(x)dx＝8，所以f(x)dx＝2f(x)dx＝16.

1.求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分.
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.

一、选择题
1.函数y＝cos xdx的导数是(　　)
A.cos x B.－sin x C.cos x－1 D.sin x
答案　A
解析　(sin x)′＝cos x，cos xdx＝sin x＝sin x，故选A.
2.若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是(　　)
A.F(x)＝x3
B.F(x)＝x3
C.F(x)＝x3＋1
D.F(x)＝x3＋c(c为常数)
答案　B
解析　若F(x)＝x3，则F′(x)＝3x2，这与F′(x)＝x2不一致，故选B.
3. |x＋2|dx等于(　　)
A. (x＋2)dx
B. (－x－2)dx
C.(x＋2)dx＋2(－x－2)dx
D.(－x－2)dx＋ (x＋2)dx
答案　D
解析　∵|x＋2|＝
∴|x＋2|dx＝(－x－2)dx＋ (x＋2)dx.
故选D.
4.已知f(x)＝则－1f(x)dx的值为(　　)
A. B. C. D.－
答案　B
解析　f(x)dx＝x2dx＋1dx＝＋x|10＝＋1＝，故选B.
5.sin2dx等于(　　)
A. B.－1
C.2 D.
答案　D
解析　sin2dx＝dx＝0＝，故选D.
6.若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)
A.S1＜S2＜S3 B.S2＜S1＜S3
C.S2＜S3＜S1 D. S3＜S2＜S1
答案　B
解析　S1＝x2dx＝x3S2＝＝ln 2＜1，S3＝exdx＝ex＝e2－e＝e(e－1)＞，所以S2＜S1＜S3，选B.
二、填空题
7. (＋x)dx＝ .
答案　
解析　 (＋x)dx＝dx＋xdx，根据定积分的几何意义可知dx等于半径为1的半圆的面积，
即dx＝，xdx＝x2|＝0，
∴ (＋x)dx＝.
8.若x2dx＝9，则常数T的值为 .
答案　3
解析　x2dx＝＝T3＝9，即T3＝27，解得T＝3.
9.设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0＝ .
答案　
解析　由f(x)dx＝f(x0)，得(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝ax＋c，∴＝ax，∵a≠0，∴x＝，又0≤x0≤1，∴x0＝.故填.
10.设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝ .
答案　1
解析　因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t2dt＝x＋t3＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.
三、解答题
11.设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式.
解　∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx
＝a＋b＝5，
xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax2)dx＋bxdx
＝a＋b＝.
由得即f(x)＝4x＋3.
12.若函数f(x)＝求f(x)dx的值.
解　由积分的性质，知：
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x3dx＋dx＋2xdx
＝
＝＋－＋－
＝－＋＋.
13.求定积分|x＋a|dx.
解　(1)当－a≤－4即a≥4时，
原式＝ (x＋a)dx＝＝7a－.
(2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时，
原式＝[－(x＋a)]dx＋ (x＋a)dx
＝
＝－4a＋8＋
＝a2－a＋.
(3)当－a≥3即a≤－3时，
原式＝ [－(x＋a)]dx＝＝－7a＋.
综上，得|x＋a|dx＝