高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结.doc

高中数学圆的方程典型题型归纳总结
类型一：巧用圆系求圆的过程
在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：
 　　⑴以为圆心的同心圆系方程
 　　⑵过直线与圆的交点的圆系方程

 　　⑶过两圆和圆的交点的圆系方程
 　　此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。
 　　当时，得到两圆公共弦所在直线方程

 　　例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。
 　　分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
 　　解：过直线与圆的交点的圆系方程为：
 　　，即
 　　………………….①
 　　依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得
 　　又满足方程①，则 故
 　　例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
 　　解：圆和的公共弦方程为
 　　，即
 　　过直线与圆的交点的圆系方程为
 　　，即
 　　依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程
 例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。
分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①
即，
∴直线过定点P（9，－4）
注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
得
∵m∈R，∴
2x+y－7=0， x=3，
x+y－4=0， y=1，
即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），
∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，
∴l的方程为2x－y－5=0.
评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论
类型二：直线与圆的位置关系
例5、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.
解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.
变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.
解析：利用数形结合.
答案：－1＜k≤1或k=－

例6 圆上到直线的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．
解法一：圆的圆心为，半径．
设圆心到直线的距离为，则．
如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又．
∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，
∴，即，或，也即
，或．
设圆的圆心到直线、的距离为、，则
，．
∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心到直线的距离为，则．
∴圆到距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
类型三：圆中的最值问题
例7：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.
例8　(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．
(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程．
可设圆的参数方程为（是参数）．
则
（其中）．
所以，．
(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．
所以．
．
所以．．
(2) (法1)由得圆的参数方程：是参数．
则．令，
得，
．
所以，．
即的最大值为，最小值为．
此时．
所以的最大值为，最小值为．
(法2)设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，

两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由，得．
所以的最大值为，最小值为．
令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．
由，得．
所以的最大值为，最小值为．
例9、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．
设圆上任一点
∴，
∵恒成立
∴
即恒成立．
∴只须不小于的最大值．
设
∴即．
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆上的点设为()．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．

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