三类典型的偏微分方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,*,第二章 三类典型的偏微分方程,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第二章三类经典偏微分方程,第1页,一根紧拉着,均匀,柔软,弦，长为,l,，两端固定在,X,轴上,O,、,L,两点，当它在平衡位置附近做垂直于,OL,方向,微小,横向振动时，求这根弦上各点运动规律。,O,L,x,y,2.1,波动方程,一维波动方程,最经典一维波动问题是均匀弦横向振动问题。,第2页,讨论怎样将这一物理问题转化为数学上定解问题。要确定弦运动方程，需要明确：,确定弦运动方程,（,2,）被研究物理量遵照哪些物理定理？,牛顿第二定律,.,（,3,）按物理定理写出数学物理方程（即建立,泛定方程,）,要研究物理量是什么？,弦沿垂直方向位移,条件,：,均匀,柔软,细弦，在平衡位置附近产生,振幅极小,横振动。,不受外力,影响。,研究对象,：,线上某点在,t,时刻沿垂直方向位移。,第3页,简化假设：,因为弦是柔软，弦上任意一点,张力沿弦切线方向,。,在弦上任取一小段 它弧长为：,因为假定弦在平衡位置附近做,微小振动,，很小，从而,能够认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可知，弦上每一点所受张力在运动过程中,保持不变,，与时间无关。即 点处张力记为 。,因为振幅极小，,张力与水平方向夹角很小,。,第4页,横向：,其中：,作用在这段弦上力有张力和惯性力，下面依据,牛顿运动定律,，写出它们表示式和平衡条件。,也就是说，张力,是一个常数。,横向：,第5页,由,中值定理,：,纵向：,第6页,一维波动方程,令：,-,非齐次方程,自由项,-,齐次方程,忽略重力作用：,a,就是弦振动传输速度,第7页,假设外力在 处外力密度为：方向垂直于 轴。,等号两边用中值定理：并令,为单位质量在 点处所受外力。,当存在外力作用时：,等号两边除以,第8页,弦振动方程中只含有两个自变量：。因为它描写是弦振动，因而它又称为,一维波动方程,。类似能够导出二维波动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们形式分别为：,二维波动方程：,三维波动方程：,第9页,建立数学物理方程是一个辩证分析过程。,因为客观事物复杂性，要求对所研究对象,能够抓住事物发展主要原因，摈弃次要原因，,使问题得到适度简化。,总结：,第10页,均匀杆纵振动,考虑一,均匀细杆,，沿杆长方向作,微小,振动。假设在垂直杆长方向任一截面上各点振动情况,(,即偏移平衡位置位移,),完全相同。试写出杆振动方程。,在任一时刻,t,，此截面相对于平衡位置位移为,u(x,t),。,在杆中隔离出一小段,(,x,x,+d,x,),，分析受力：,第11页,经过截面,x,，受到弹性力,P(x,t)S,作用,经过截面,x+dx,受到弹性力,P(x+dx,t)S,作用,P(x,t),为单位面积所受弹性力,(,应力,),，沿,x,方向为正,依据,Newton,第二定律，就得到：,依据胡克定律,第12页,静止空气中一维微小压力波传输,设,为空气密度，,u,为压力诱导速度，由一维欧拉方程：,动力学方程,连续性方程,物态方程,考虑到微小压力波，,u,是一阶小量，是二阶小量,第13页,代入,得,对,t,求导，得,利用,得,一维声波方程。,第14页,静止空气中三维声波方程,微幅水波动方程,式中：,水面,波高,为,为声波速度,水波,速度,为,第15页,2.2,扩散方程,问题,：一根长为,l,均匀导热,细杆，截面为一个单位面积。,侧面绝热,，,内部无热源,。其热传导系数为,k,，比热为,c,，线密度为,。求杆内温度改变规律。,A,B,一维热传导方程推导,热传导现象,：,当导热介质中各点温度分布不均匀时，有,热量从高温处流向低温处。,第16页,所要研究,物理量,：,分析,：设杆长方向为,x,轴，考虑杆上从,到,一段,(,代表,),，,设杆中温度分布为,满足,物理规律：,均匀物体,：,物体,密度,为常数,各向同性,：,物体,比热和热传导系数,均为常数,假设,条件：,第17页,利用,Fourier,热力学定律,和,能量守恒定律,来建立热传导方程。,由,Fourier,热力学定律,，单位时间内经过,A,端面热量为：,单位时间内经过,B,端面热量为：,第18页,在,dt,时段内经过微元两端流入热量,在任意时段,内，,同时在此时段内,微元内各点温度由,流入微元热量,升高为,第19页,为此所需热量为,由,能量守恒定律,可得：,由,和,任意性可得,第20页,即：,其中,内部有热源情况：,其中,分析,：设热源强度,(,单位时间在单位长度中产生热量,),为,F,(,x,t,),，代表段吸热为,Fdxdt,。,第21页,依据热学中,傅立叶定律,在,d,t,时间内从,d,S,流入,V,热量为：,从时刻,t,1,到,t,2,经过,S,流入,V,热量为,高斯公式,（矢量散度体积分等于该矢量沿着该体积面积分）,热场,三维热传导方程推导,第22页,流入热量造成,V,内温度发生改变,流入热量：,温度发生改变需要热量为：,三维热传导方程,热场,有热源三维热传导方程,第23页,一维浓度扩散方程,动量输运方程,C,为物质浓度，,为扩散系数。,u,为速度，,f,x,为流体体积力，,为流体粘性系数。,显然，热传导、物质扩散、动量输运这些过程属于同一类物理现象，可用,同一类型方程,来描述。,第24页,2.3,稳态方程,(,调和方程,),稳态问题也是自然界中普遍存在一类物理现象，表征物理过程到达平衡状态情况，所以物理量不随时间改变，但随空间发生改变。所以，稳态问题描述物理量空间分布状态或场空间分布。,热传导问题，控制方程为：,设场内热源为稳态，即为,f(x,y,z),流场温度不随时间改变，即,T=T(x,y,z),则有,第25页,这就是稳态方程，称为泊松方程。,假如场内无热源，,g(x,y,z,t)=0,，则有：,这个方程又称为拉普拉斯方程。,其中：,第26页,又如在理想势流场中，存在速度势,(,x,y,z,),，速度与,(,x,y,z,),关系为：,带入连续方程中,由上所述，泊松方程或拉普拉斯方程是表征稳态问题控制方程。,得,第27页,三类经典偏微分方程,振动与波（振动波，电磁波）传输满足,波动方程,热传导问题和扩散问题满足,热传导方程,静电场和引力势满足,拉普拉斯方程或泊松方程（稳态方程）,第28页,