高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题).doc

高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数
【第一部分】知识复习

【第二部分】典例讲解
考点一：幂函数
例1、比较大小

例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又，则m=
　A．0　　　　　B．1　　　　　C．2　　　　　D．3
解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1．

例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式； (2)讨论的奇偶性．
∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴．
　　(2)，．
　　当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；
　　当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．

例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系
(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).

变式训练：
1、下列函数是幂函数的是（　）
A．y=2x　　　　　 B．y=2x－1 C．y=(x＋1)2　　　D．y=
2、下列说法正确的是（　）
A．y=x4是幂函数，也是偶函数 B．y=－x3是幂函数，也是减函数
C．是增函数，也是偶函数 D．y=x0不是偶函数
3、下列函数中，定义域为R的是（　）
A．y=　　　　　B．y= C．y=　　　　　D．y=x－1
4、函数的图象是（　）
A．B．C．D．
5、下列函数中，不是偶函数的是（　）
A．y=－3x2　　　　　B．y=3x2 C．D．y=x2＋x－1
6、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（　）
A．f(－1)＜f(－3)　　B．f(0)＞f(1) C．f(－1)＜f(1)　　　D．f(－3)＞f(－5)
7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（　）
A．(a，－f(a))　　　　B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a))　　D．(a，f(－a ))
8、已知，则下列正确的是（　）
A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数
9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（　）
A．－2　　　　　　B．－1 C．0　　　　　　　D．1
10、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（　）
A．　　　　B．(0，1) C．　D．
11、若幂函数的图象过点，则_____________．
12、函数的定义域是_____________．
13、若，则实数a的取值范围是_____________．
14、是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_____________．
DACAD ABACD
9、，函数为偶函数，则有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2＋ax，所以有a=0．
10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f(x)在上单调递增，则当x<－1时，f(x)<0，当－1<x<0时，f(x)>0，又f(1)=－f(－1)=0，故当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0．则满足f(x)>0的．
11、 解析：点代入得，所以．
12、解：
13、 解析：　，解得．
14、解：则有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5．

考点二：指数函数
例1、若函数y=ax＋m－1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则（　）
A.a>1　　　　　　　B.a>1且m<0 C.0<a<1且m>0　　　D.0<a<1
例2、若函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．
例3、若关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围．
例4、已知函数．
(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数； (2)求函数f(x)的值域．
例5、如果函数（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．
例1、解析：y=ax的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=ax向下移动．而当0<a<1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限．只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，∴m<0．故选B．
答案：B
例2、分析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．
　　解答：令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有：

　　∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]．
小结：当遇到y=f(ax)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解．
例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式．
　　解答：因为方程有负实数根，即x＜0，
　　所以，
　　解此不等式，所求a的取值范围是
例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域．
解答：(1)，设x1＜x2，则
．
因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋1＞0, ＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上是增函数．
(2)设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．
例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域．
　　解：设t=ax>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．
　　若a>1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈，∴当t=a时，ymax=a2＋2a－1=14．
　　解得a=3或a=－5(舍去)．
　　若0<a<1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈．
　　∴当时，． 解得（舍去）．
∴所求的a值为3或．
变式训练：
1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（　）
A．　　　　　B． C．　　　　 D．
2、函数是（　）
A．奇函数　　　B．偶函数 C．既奇又偶函数　　　D．非奇非偶函数
3、函数的值域是（　）
A．　 B． C．　D．
4、已知,则函数的图像必定不经过（　）
A．第一象限　　　　B．第二象限 C．第三象限　　　　D．第四象限
5、函数的定义域为（　）
A．　B． C．　D．
6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是（　）
A．　　B． C．　D．
7、函数的单调递增区间是（　）
A．　　　　B． C．　　　　D．
8、已知，则下列正确的是（　）
A．奇函数，在R上为增函数 B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数 D．偶函数，在R上为减函数
9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　）
A．　　　　　B． C．　　　　　D．
10、下列说法中，正确的是（　）
①任取x∈R都有； ②当a>1时，任取x∈R都有；
③是增函数； ④的最小值为1；
⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴．
A．①②④　　　　　B．④⑤ C．②③④　　　　　D．①⑤

11、若直线y=2a与函数y=|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围__.
12、函数的定义域是______________．
13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=ax－2＋1的图象恒过定点________．
14、函数y=的递增区间是___________.
15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y=()x－1－4()x＋2的最大值和最小值．
16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围．
17、设a是实数，．
(1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(－x)＝－f(x)恒成立．
18、已知f(x)＝（a>0且）．
（1）求f(x)的定义域、值域．（2）讨论f(x)的奇偶性．（3）讨论f(x)的单调性．
答案及提示：1-10 DADAD DDACB
1、可得0<a2－1<1，解得.
2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.
3、可得2x>0，则有，解得y>0或y<－1.
4、通过图像即可判断.
5、.
6、由，由，综合得x>1或x<－1.
7、即为函数的单调减区间，由，可得，
　　又，则函数在上为减函数，故所求区间为.
8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，
又，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增函数.
9、可得.
10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数．
11、0＜a＜　　提示：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜.
12、　　提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．
13、(2,2) 　　提示：当x=2时，y=a0＋1=2．
14、(－∞，1]
提示：∵y=()x在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的递减区间是(－∞，1］，∴原函数的递增区间是(－∞，1］．
15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9.
　　∴0≤x≤2，令()x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1.
　　当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.
16、解法一：设y=5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.
　　解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)．
　　17、(1)设，

　　即f(x1)＜f(x2)，所以对于a取任意实数，
　　f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即当a=1时，f(－x)=－f(x)．
　　18、解：（1）定义域为R．
　　．
　　．
　　∴值域为（－1，1）．
　　（2），
　　∴f(x)为奇函数．
　　（3）设，则
　　当a>1时，由，得，
　　，
　　∴当a>1时，f(x)在R上为增函数．
同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数．

考点三：对数函数
例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．
例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.
（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
例3、已知的最大值和最小值以及相应的x值.
例4、已知f(x)=loga(ax－1)（a＞0，a≠1）.
（1）求f(x)的定义域；
（2）讨论f(x)的单调性；
（3）求函数y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标.
例1 解：由－x2＋2x＋3＞0 ，得 x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，　定义域为 (－1，3)；
　　又令 g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当 x∈(－1，3) 时， 0＜g(x)≤4.
　　∴ f(x)≥=－2 ，即函数 f(x) 的值域为[－2，＋∞）；
　　∵ g(x)=－(x－1)2＋4 的对称轴为 x=1.
　　∴当－1＜x≤1 时， g(x) 为增函数，∴为减函数.
　　当 1≤x＜3 时， g(x)为减函数，∴ f(x)为增函数．
　　即 f(x) 在（－1，1] 上为减函数；在 [1，3 ）上为增函数．
例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B（0，＋∞），通过对a的讨论即可．
解答：（1）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴ g(x)＞0恒成立．
　　∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1.
　　（2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，则B（0，＋∞）.
　　若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）；
　　若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）.
　　若a＞0，则△=4－4a≥0，∴ a≤1.
　　综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1.
例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.
解答：　
　　当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.
　　∴当x=2时，y有最小值－.
　　当x=8时，y有最大值2.
例4、　　分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f－1(x)的解．
　　解答：（1）ax－1＞0得ax＞1.
　　∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞），
　　当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，0）.
　　（2）令g(x)=ax－1，则当a＞1时，g(x)=ax－1在（0，＋∞）上是增函数.
　　即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，
　　而y=logax在（0，＋∞）上是增函数，
　　∴ logag(x1) ＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．
　　∴ f(x)= loga(ax－1)在（0，＋∞）上是增函数；
　　当0＜a＜1时，g(x)=ax－1在(－∞,0)上是减函数.
　　即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0．
　　而y=logax在（0，＋∞）上是减函数，
　　∴ logag(x1) ＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．
　　∴ f(x)=loga(ax－1)在（－∞，0）上是增函数.
　　综上所述，f(x)在定义域上是增函数．
　　（3）∵ f(2x)= loga(a2x－1)，令y=f(x)= loga(ax－1)，
　　则ax－1=ay，∴ ax=ay＋1，∴ x= loga (ay＋1)(y∈R)．
　　∴ f－1(x)= loga (ax＋1)（x∈R）．
　　由f(2x)=f－1(x)，得loga(a2x－1)= loga(ax＋1)．
　　∴ a2x－1= ax＋1，即(ax)2－ax－2=0.
　　∴ ax=2或ax=－1（舍）．
　　∴ x=loga2.
　　即y=f(2x)与y= f－1(x)的图象交点的横坐标为x=loga2．
变式训练：
一、选择题
1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=logax的图象是（　）
A．　　　B．C．　　　D．
2、将y=2x的图象（　），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象．
A．先向左平行移动1个单位 B．先向右平行移动1个单位
C．先向上平行移动1个单位 D．先向下平行移动1个单位
3、函数的定义域是（　）
A．（1，＋∞）　　　B．（2，＋∞） C．（－∞，2）　　　D．（1，2]
4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=（　）
A．10x＋3＋1　　　　B．10x－3－1 C．10x＋3－1　　　　D．10x－3＋1
5、函数的递增区间是（　）
A．（－∞，1）　　B．（2，＋∞） C．（－∞，）　D．（，＋∞）
6、已知f(x)=|logax|，其中0<a<1，则下列各式中正确的是（　）
A．　　　　　　　　　B．
C．　　　　　　　　　D．
7、是（　）
A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数也非偶函数
8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，则下列不等式中正确的是（　）
A． B．
C． D．
9、函数f(x)的图象如图所示，则y=log0.2f(x)的图象示意图为（　）

A．　B．C．　D．
10、关于x的方程（a＞0，a≠1），则（　）
A．仅当a＞1时有唯一解 B．仅当0＜a＜1时有唯一解
C．必有唯一解 D．必无解
二、填空题
11、函数的单调递增区间是___________.
12、函数在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是___________.
13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是___________.
14、已知（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范围.
15、设函数f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a≠1)，
(1)求a，b的值；
(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的条件下，求x的取值范围．
16、已知函数f(x)=loga(x－3a)（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g(x)图象上的点.
（1）写出y=g(x)的解析式；
（2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试求a的取值范围.
答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC
1、当a>1时，y=logax是单调递增函数，是单调递减函数，对照图象可知D正确.　∴应选D.
2、解法1：与函数y=log2(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.
解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得D.
3、由≥0，得 0<x－1≤1，∴ 1<x≤2.
5、应注意定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞），答案选A.
6、不妨取，可得选项B正确．
7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.
8、由ab>1，知，故且，故答案选B.
10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1，
作出y=ax与y=的图象知，两图象必有一个交点.
　　11、答案：（－∞，－6）
　　提示： x2＋4x－12＞0 ，则 x＞2 或 x＜－6.
　　当 x＜－6 时， g(x)=x2＋4x－12 是减函数，
　　∴在（－∞，－6）上是增函数 .
12、答案：11，7 ：∵ 2≤x≤4，∴.
　　则函数，
　　∴当时，y最大为11；　当时，y最小为7.
13、答案：（－∞，]　提示：原方程等价于
　　由③得.　∴当x＞0时，9a≤，即a≤.
　　又∵ x≠3，∴ a≠2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）.∴ a≤.
14、解：要使f(x)＜0，即.

　　当a＞b＞0时，有x＞；
　　当a=b＞0时，有x∈R；
　　当0＜a＜b时，有x＜.
15、解：(1)∵f(log2a)=b,f(x)=x2－x＋b,
　　∴(log2a)2－log2a＋b=b，解得a=1(舍去)，a=2，
　　又log2f(a)=2，
　　∴log2(a2－a＋b)=2，将a=2代入，
　　有log2(2＋b)=2, ∴b=2；
　　(2)由log2f(x)<f(1)得log2(x2－x＋2)<2,
　　∴x2－x－2<0，解得－1<x<2，
　　由f(log2x)>f(1)得(log2x)2－log2x＋2>0，
　　解得0<x<1或x>2，
∴x∈(0，1)．
16、解：（1）设Q（x′，y′），则，
　　∵点P（x，y）在y=f(x)的图象上，
　　∴．
　　（2）当x∈[a＋2，a＋3]时，有x－3a＞0且＞0成立.
　　而x－3a≥a＋2－3a=2－2a＞0，
　　∴ 0＜a＜1，且恒成立.
　　∴ 0＜a＜1.
　　由 |f(x)－g(x)|≤1，即

　　∴ r(x)=x2－4ax＋3a2在[a＋2，a＋3]上是增函数.
　　∴ h(x)=loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上是减函数.
　　∴当x=a＋2时，h(x)max=h(a＋2)=loga(4－4a)，
　　当x=a＋3时，h(x)min=h(a＋3)=loga(9－6a).