高三数学立体几何复习测试题含答案.doc

高三数学立体几何复习
一、填空题
1. 分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为
①平行 ②相交 ③异面 ④垂直
【答案】②
【解析】两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交
2. 已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为
【答案】
【解析】设底面半径为r,,,设圆锥的高为，那么，那么圆锥的体积，故填：.
3. 已知平面平面，且，试过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于且，，，则的长为___________.
【答案】或
【解析】第一种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有
第二种情况画出图形如下图所示，由于“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.”所以，设，根据平行线分线段成比例，有.
4. 半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱的侧面积与球的表面积之比是____________．
【答案】1：2
【解析】，圆柱的侧面积，当且仅当时取等号，此时圆柱的侧面积与球的表面积之比为
5. 如图所示，分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有____________（填上所有正确答案的序号）．
【答案】②④
【解析】由题意得，可知（1）中，直线；图（2）中，三点共面，但面，因此直线与异面；图（3）中，连接，因此与，所以直线与共面；图（4）中，共面，但面，所以直线与异面．
6. 已知为直线，为空间的两个平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题为 ．
【答案】③④
【解析】关于①,也会有的结论,因此不正确；关于②,也会有异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.
7. 设是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列四个命题
①若则，②若则，③ 若，则④若，则其中正确的命题序号是 .
【答案】①④
【解析】①，不妨设相交（如异面平移到相交位置），确定一个平面，设平面与平面的交线为，则由，得，从而，于是有，所以，①正确；②若，可能在内，②错；③若，可能在内，③错；④若，则由线面平行的性质定理，在内有直线与平行，又，则，从而，④正确．故答案为①④．
8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，该三棱锥的体积为，则球的表面积为__________．
【答案】
【解析】设的中心为，由题意得,所以球的半径满足，球的表面积为
9. 如图所示, 在直三棱柱中,为的中点, 则 三棱锥的体积是 ．
【答案】
【解析】因为是中点，所以．
10. 如图所示，在直三棱柱中，,则异面直线与所成角的余弦值是 .
【答案】
【解析】由于，所以 （或其补角）就是所求异面直线所成的角，在中, ,,.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则图中阴影部分在平面上的投影的面积为 ．
【答案】
【解析】图中点在平面的投影是的中点，点在平面的投影是的中点，点的投影还是点,连接三点的三角形的面积是，故填：.
A
B
C
D
E
F

12. 如图,正方体中,,点为的中点,点在上,若平面,则________.
【答案】
【解析】根据题意，因为平面，所以.又因为点是中点，所以点是中点.因为在中，，故
13. 在棱长为1的正方体中，为的中点，在面中取一点，使最小，则最小值为__________．
【答案】
【解析】如图，将正方体关于面对称，则就是所求的最小值，．
14. 点是棱长为的正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，则动点的轨迹的长度为__________．
【答案】
【解析】因为，所以在过且垂直于的平面上，如下图（1），取，，则平面，所以在一个圆周上，如图下图（2），正方体的中心到该平面的距离即为，在直角三角形中，，而，故，，所在的圆周的半径为，故其轨迹的长度为

图（1） 图（2）
二、解答题
15. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.
（1）证明：；
（2）设，求点到面的距离.
解析：（1）证明：因为，，由余弦定理得.从而，∴，又由底面，面，可得.∴面，面，∴.
（2）法1：在平面内作，垂足为.∵底面，面，∴，由（1）知，又，∴，又，.∴平面，又∴.则平面.由题设知，，则，，根据，得，即点到面的距离为.
法2：设点到平面的距离为，由（1）得，∴， ，又，由底面，面，面，为，∴，，又，∴为且，∴.
16. 已知直角梯形中，，，，，，如图1所示，将沿折起到的位置，如图2所示.

（1）当平面平面时，求三棱锥的体积；
（2）在图2中，为的中点，若线段，且平面，求线段的长；
解析：（1）当平面平面时，因为，且平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为在直角梯形中，，，，，，所以，.所以.又因为，所以，所以.所以.所以三棱锥的体积等于.
（2）取的中点，连接，，如上图所示.又因为为的中点，所以，且.又因为，所以.所以，，，共面.因为平面，平面，且平面平面，所以.又因为，所以四边形是平行四边形.所以.
17. 如图几何体中，矩形所在平面与梯形所在平面垂直，且，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面.
解析：（1）法1：延长交与，连接，∵为中点，∴，平面，平面，∴面．
法2：如图，取的中点，连接、.
在中，为的中点，为的中点，∴，又因为，且，∴四边形为平行四边形，∴，又∵，.∴平面平面，又∵面，∴面.
法3：如图，取的中点，连接，.在中，为的中点，为的中点，∴，且，又∵，,∴，故四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面．
（2）∵平面平面，平面平面，又，∴平面，∴，又，，∴平面．
18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M为AC的中点，N为PD上一点.
（1）若MN∥平面ABP，求证：N为PD的中点；
（2）若平面ABP⊥平面APC，求证：PC⊥平面ABP.
【解析】（1）连接BD，由四边形为矩形得：M为和的中点，∵MN∥平面ABP，MNÌ平面BPD，平面BPD平面ABP＝BP，∴MN∥BP，∵M为AC的中点，∴N为PD的中点.
（2）在△ABP中，过点B作BE⊥AP于E，∵平面ABP⊥平面APC，平面ABP∩平面APC＝AP，BEÌ平面ABP，BE⊥AP
∴BE⊥平面APC， 又PCÌ平面APC，∴BE⊥PC.∵ABCD为矩形，∴ AB⊥BC，又AB⊥BP，BC∩BP＝B，BC，BP Ì平面BPC，∴AB⊥平面BPC， ∴AB⊥PC，又BE⊥PC， ABÌ平面ABP，BEÌ平面ABP，AB∩BE＝B， ∴PC⊥平面ABP
19. 如图, 在四棱锥中，是线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若,平面平面,求证：.
【解析】（1）如图，取中点,连结.因为是线段的中点, 所以,因为,所以,所以四边形为平行四边形, 所以,因为平面,平面,所以平面.
（2）连结,在四边形中，因为,所以,设,因为,所以,在中，,所以,从而,在中, 所以,所以,即.在平面中, 过点作,垂足为,因为平面平面,所以平面,又因为平面,所以,因为平面,平面,所以平面.因为平面,所以.
20. 如图,在直三棱柱中,，分别是的中点，且.
（1）求证：；
（2）求证：平面平面.
【解析】证:(Ⅰ)连接交于,连接.∵分别是的中点，∴∥且=,∴四边形是矩形.∴是的中点，又∵是的中点,∴∥，则由,,得∥
(Ⅱ) ∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.又∵,即⊥，∴⊥面,而面，∴⊥，又,由(Ⅰ) ∥，，∴平面 ， 平面，∴平面平面.
三、提高练习
21. 在三棱锥中， ， ， ， 为的中点，过作的垂线，交、分别于、，若，则三棱锥体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】在中，，为等边三角形，，所以，，所以，在中，，所以，如下图（2），设，，则，从而有，整理得到，故的边上的高的最大值为，从而体积的最大值为

图(1) 图（2）
22. 如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．
（1）求证：平面；
（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？
【解析】（1）连接交于，连接．因为为中线，所以为的重心，．从而．面，平面，所以平面．
（2）当时，平面平面．在直三棱柱中，由于平面，平面，所以平面平面．由于，是中点，所以．又平面∩平面， 所以平面．而平面，于是． 因为，所以，所以 相交，所以平面， 平面，所以平面平面．
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