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第一章 集合与简易逻辑
一、集合:
1. 集合的定义:
集合的表示方法:
数集:(复数集)
集合的特性:
2. 元素与集合的关系:
集合与集合的关系:
空集是任何集合的__________,是任何非空集合的_______________。
任何一个集合都是他自身的____________。
集合{} 的子集个数有____个,真子集有____个,非空真子集有____个。
当时,一般要分与两种情况。
3. 交集是指A与B中公共元素构成的集合,A∩B={x| }
并集是指所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合,A∪B={x| }
一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。
有关系式:①若A∩B=A,则____________;②若A∪B=A,则_____________;
③__________ 、____________。
二、不等式解法:
1. 绝对值不等式解法:
a>0
a=0
a<0
|x|<a的解集
|x|>a的解集
①
②
③
2. 二次不等式:与二次函数
以为例
的图象
方程的根
的解
的解
3. 分式不等式:
形如类型的可移项化简来解。
4. 简单高次不等式:利用数轴标根法求解集。
5. 指数不等式:
6. 对数不等式:可转化为不等式组
①当时, ;当时,。
解指数不等式,对数不等式时,必须考察函数的单调性问题,特别注意不能忽视了对数的真数必须大于0,不等式的解集必须用集合或区间表示出来。
三、逻辑联结词:或(并集)、且(交集)、非(补集)
1. 命题可分为真命题、假命题,也可以分为简单命题、复合命题。
复合命题形式有“p或q”,“p且q”,“非p”三种形式。
2. 复合命题的真值表。
P
q
p或q
p且q
非p
真
真
真
假
假
真
假
假
3. 四种命题的关系:
互为逆否
互 否
互 否
原命题,若p则q
逆命题,若q则p
逆否命题,若q则p
否命题,若p则q
① 原命题为真,则其逆命题与否命题不一定为真,而其逆否命题一定为真。
② 互为逆否命题的真假相同,逆命题与否命题的真假相同。
4. 充要条件:
①若但BA,则A是B的___________条件。
②若AB但,则A是B的___________条件。
③若,则A是B的___________条件。
④若AB且BA,则A是B的___________条件。
四、恒成立问题:
1. 恒成立,可令,函数图象恒在轴上方。
等价于:
2. 恒成立,等价于:
例:已知不等式恒成立(或解集为R),求的取值范围。
第二章 函数
一、函数及有关性质。
1. 函数定义:
中,自变量的取值范围为函数的定义域。当时,叫函数值。所有函数值的集合叫做函数的值域。
2. 映射的定义:
两个允许: 两个不允许:
3. 同一函数:①_______相同。②_________相同。③值域相同。(可由①②得③)
4. 函数定义域求法:使函数有意义的条件。
①整式函数(一次函数、二次函数)定义域为R。
②分式函数的分母不为0。
③偶次根式函数,被开放数大于或等于0。(的)
④对数函数的底数大于0且不等于1,真数大于0。
有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。
5.函数的单调性:①定义:
②逆运用:
当在区间[m,n]上为增函数时,若则有:
当在区间[m,n]上为减函数时,若则有:
③常用函数的单调性:
Ⅰ.一次函数,当时为增函数;当时为减函数。
Ⅱ.二次函数,当时在为减函数;在为增函数。当时在为增函数;在为减函数。与开口方向和对称轴有关。
Ⅲ.反比例函数在上均为减函数;在上均为增函数。
Ⅳ. ,当时为减函数;当时为增函数。
Ⅴ. ,时,在上为减函数;当时,在
上为增函数。
6.反函数:求函数的反函数的方法:
(1) 先根据原函数的定义域求出其值域
(2) 由解出
(3) 将中的互换,即得反函数标明定义域
有关性质:(1) 原函数与反函数的定义域和值域正好互换,原
函数过点,则反函数过点。
(2) 互为反函数的图象关于成轴对称图形。
(3) 原函数与反函数的单调性相同。
7.函数得奇偶性:存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称,在定义域内,将后(1)若,则为偶函数。(2)若,则为奇函数。
有关性质:(1) 偶函数得图象关于轴对称,在对称区间上的单调性相反。
(2) 奇函数得图象关于原点对称,在对称区间上的单调性相同。
8.求函数值域的基本方法
(1) 利用函数的单调性求值域:若在上为增函数则其值域为
若在上为减函数则其值域为。
(2)配方法:二次函数
当,有最小值,值域为;
当时,有最大值,。
(3)反表示法:即利用反函数的定义域既为原函数的值域。例如:求的值域。
(4)换原法: 还原注意新元素的范围。 例如:求的值域。
(5)判别式法:形如:类型,可转化为关于的一元二次方程有解, 求值域。
(6)图象法。
9.周期性:若函数对于最小正周期,使,则称为函数
的最小正周期。
10.对称性:若则称为的对称轴
二、指数函数与对数函数
(一) 指数
1根式与分数指数幂: =
运算法则:
2 指数函数的图象和性质:
单调性
定 点
值 域
定义域
性 质
图 象
减函数
增函数
3 指数方程:(1) (化成底数相等)
(2) 可换元后求解,令
4 指数复合函数的单调性:
(1)时,的单调性相反
(2)时,的单调性相同(一致)
(二) 对数函数
1 对数式与指数式互化:;
2 对数的运算法则:
对数恒等式:
换底公式:
3 对数函数 的图象和性质
性 质
单调性
定 点
值 域
定义域
图 象
减函数
增函数
(1) 当与都大于1或都小于1时,
(2) 当与一个大于1另一个小于1时,
4 对数方程:
5 对数函数复合形式的单调性:的定义域内
(1)时,的单调性相反,
(2)时,的单调性相同。
三 二次函数 ,判别式
1 与轴的交点个数:(1),有 个交点(2),有 个交点,(3),无交点。
当时,方程有两个实根:。则由韦达定理(根与系数的关系)知: ,
2 一元二次方程实根问题(以为例)
o
x
y
x
o
(1) 有两正根
(2) 有两个负根
(3) 有一正一负的根
3 ()区间根问题
仅一个根在内
m
图 象
n
n
m
n
m
m
m
充要条件
4 二次函数 ()在区间内的最值
问题: (1)当时,函数在上为增函数。,;
(2)当时。,;
(3)当时。,;
(4)当时, 函数在上为减函数。,。
例:已知在上的最小值为13,求a的值.
解:综上所述:满足条件的或。
四 图象变换,设
1.平移:
2.
3.对称:
4.
五 复合函数:
1 若函数,则称为关于的复合函数。
(1)为内函数,为外函数。
(2)的值域,既为的定义域。
2 已知的表达式,求的表达式,可采用换元或凑项的方法。
例:已知函数,求
(法一):令,则,
(法二):,整体替换,将
3已知的定义域,求的定义域
例 已知,求的定义域
解:,令
将。
4 复合函数的单调性规律
增
增
减
减
增
减
增
减
增
减
减
增
第三章 数列
一、数列的基本知识:
1.数列的定义:
2.数列的基本表示方法:
3.通项公式:,用含有n的代数式表示。
4.数列的前n项和,
,
已知数列的前n项和,求的方法:
①n=1时,;②时,
验证,是否适合,若适合,则;若不适合,则
也可以判断是否等于0,若则;若,
二、等差数列
1.定义:
即:,首项为,公差d。
2.通项公式:= = (关于n的一次函数)
前n项和公式: = = (关于n的二次函数,不含常数项)可化为。
3.等差数列的性质:①
②若m+n=p+q,则: 若m+n=2k,则:
③仍成等差数列
④若,则数列为_______________数列。前n项和有_______值。
满足: ,找分界项。(也可以用二次函数特点求)
若,则数列为_______________数列。前n项和有_______值。
满足: ,找分界项。(也可以用二次函数特点求)
例:已知等差数列的首项为31,公差为-4,求的最大值。
⑤若等差数列共有2n+1项,则,
,
。
三、等比数列。
1.定义:
即:,首项,公比为q(q≠0)。
2.通项公式:=
前n项和公式: = ;当q=1时,。
3.等差数列的性质:①
②若m+n=p+q,则: 若m+n=2k,则:
③仍成等比数列
四、数列求和方法:
1.特殊数列求和:①等差数列求和;②等比数列求和;③常数数列求和;
2.分组求和法:一般可转化为等差数列,等比数列求和。通项结构
例:求的和。
3.裂项求和法:
例:求的和。
4.错位相减法:(q倍求和法)通项结构
例:求的和。
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