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第一章 集合与简易逻辑
一、集合：
1. 集合的定义：
集合的表示方法：
数集：(复数集)
集合的特性：
2. 元素与集合的关系：
集合与集合的关系：
空集是任何集合的__________，是任何非空集合的_______________。
任何一个集合都是他自身的____________。
集合{} 的子集个数有____个，真子集有____个，非空真子集有____个。
当时，一般要分与两种情况。
3. 交集是指A与B中公共元素构成的集合，A∩B={x| }
并集是指所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，A∪B={x| }
一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。
有关系式：①若A∩B=A，则____________；②若A∪B=A，则_____________；
③__________ 、____________。
二、不等式解法：
1. 绝对值不等式解法：

a>0
a=0
a<0
|x|<a的解集

|x|>a的解集

①
②
③
2. 二次不等式：与二次函数
以为例

的图象

方程的根

的解

的解

3. 分式不等式：

形如类型的可移项化简来解。
4. 简单高次不等式：利用数轴标根法求解集。
5. 指数不等式：
6. 对数不等式：可转化为不等式组
①当时， ；当时，。
解指数不等式，对数不等式时，必须考察函数的单调性问题，特别注意不能忽视了对数的真数必须大于0，不等式的解集必须用集合或区间表示出来。
三、逻辑联结词：或（并集）、且（交集）、非（补集）
1. 命题可分为真命题、假命题，也可以分为简单命题、复合命题。
复合命题形式有“p或q”，“p且q”，“非p”三种形式。
2. 复合命题的真值表。
P
q
p或q
p且q
非p
真
真

真
假

假
真

假
假

3. 四种命题的关系：
互为逆否
互 否
互 否
原命题，若p则q
逆命题，若q则p
逆否命题，若q则p

否命题，若p则q

① 原命题为真，则其逆命题与否命题不一定为真，而其逆否命题一定为真。
② 互为逆否命题的真假相同，逆命题与否命题的真假相同。
4. 充要条件：
①若但BA，则A是B的___________条件。
②若AB但，则A是B的___________条件。
③若，则A是B的___________条件。
④若AB且BA，则A是B的___________条件。
四、恒成立问题：
1. 恒成立，可令，函数图象恒在轴上方。
等价于：
2. 恒成立，等价于：
例：已知不等式恒成立（或解集为R），求的取值范围。

第二章 函数
一、函数及有关性质。
1. 函数定义：
中，自变量的取值范围为函数的定义域。当时，叫函数值。所有函数值的集合叫做函数的值域。
2. 映射的定义：

两个允许： 两个不允许：
3. 同一函数：①_______相同。②_________相同。③值域相同。（可由①②得③）
4. 函数定义域求法：使函数有意义的条件。
①整式函数（一次函数、二次函数）定义域为R。
②分式函数的分母不为0。
③偶次根式函数，被开放数大于或等于0。（的）
④对数函数的底数大于0且不等于1，真数大于0。
有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。
5.函数的单调性：①定义：
②逆运用：
当在区间[m，n]上为增函数时，若则有：
当在区间[m，n]上为减函数时，若则有：
③常用函数的单调性：
Ⅰ.一次函数，当时为增函数；当时为减函数。
Ⅱ.二次函数，当时在为减函数；在为增函数。当时在为增函数；在为减函数。与开口方向和对称轴有关。
Ⅲ.反比例函数在上均为减函数；在上均为增函数。
Ⅳ. ，当时为减函数；当时为增函数。
Ⅴ. ，时，在上为减函数；当时，在
上为增函数。
6.反函数：求函数的反函数的方法：
（1） 先根据原函数的定义域求出其值域
（2） 由解出
（3） 将中的互换，即得反函数标明定义域
有关性质：（1） 原函数与反函数的定义域和值域正好互换，原
函数过点，则反函数过点。
（2） 互为反函数的图象关于成轴对称图形。
（3） 原函数与反函数的单调性相同。
7.函数得奇偶性：存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称，在定义域内，将后（1）若，则为偶函数。（2）若，则为奇函数。
有关性质：（1） 偶函数得图象关于轴对称，在对称区间上的单调性相反。
（2） 奇函数得图象关于原点对称，在对称区间上的单调性相同。
8.求函数值域的基本方法
（1） 利用函数的单调性求值域：若在上为增函数则其值域为
若在上为减函数则其值域为。
（2）配方法：二次函数
当，有最小值，值域为；
当时，有最大值，。
（3）反表示法：即利用反函数的定义域既为原函数的值域。例如：求的值域。
（4）换原法： 还原注意新元素的范围。 例如：求的值域。
（5）判别式法：形如：类型，可转化为关于的一元二次方程有解， 求值域。
（6）图象法。
9.周期性：若函数对于最小正周期，使，则称为函数
的最小正周期。
10.对称性：若则称为的对称轴
二、指数函数与对数函数
（一） 指数
1根式与分数指数幂： =
运算法则：

2 指数函数的图象和性质：

单调性
定 点
值 域
定义域
性 质
图 象

减函数
增函数

3 指数方程：（1） （化成底数相等）
（2） 可换元后求解，令
4 指数复合函数的单调性：
（1）时，的单调性相反
（2）时，的单调性相同（一致）
（二） 对数函数
1 对数式与指数式互化：；
2 对数的运算法则：

对数恒等式：
换底公式：

3 对数函数 的图象和性质

性 质
单调性
定 点
值 域
定义域
图 象

减函数
增函数

（1） 当与都大于1或都小于1时，
（2） 当与一个大于1另一个小于1时，
4 对数方程：
5 对数函数复合形式的单调性：的定义域内
（1）时，的单调性相反，
（2）时，的单调性相同。
三 二次函数 ，判别式
1 与轴的交点个数：（1），有 个交点（2），有 个交点，（3），无交点。
当时，方程有两个实根：。则由韦达定理（根与系数的关系）知： ，
2 一元二次方程实根问题（以为例）
o
x
y
x
o
（1） 有两正根

（2） 有两个负根

（3） 有一正一负的根
3 ()区间根问题

仅一个根在内

m
图 象
n

n
m

n
m

m

m

充要条件

4 二次函数 ()在区间内的最值
问题: (1)当时,函数在上为增函数。,;
(2)当时。,;
(3)当时。,;
(4)当时, 函数在上为减函数。，。
例:已知在上的最小值为13,求a的值.
解:综上所述:满足条件的或。
四 图象变换，设
1.平移：

2.
3.对称：

4.

五 复合函数：
1 若函数，则称为关于的复合函数。
（1）为内函数，为外函数。
（2）的值域，既为的定义域。
2 已知的表达式，求的表达式，可采用换元或凑项的方法。
例：已知函数，求
(法一)：令，则，

（法二）：，整体替换，将

3已知的定义域，求的定义域
例 已知，求的定义域
解：，令
将。
4 复合函数的单调性规律

增
增
减
减

增
减
增
减

增
减
减
增

第三章 数列
一、数列的基本知识：
1.数列的定义：
2.数列的基本表示方法：
3.通项公式：，用含有n的代数式表示。
4.数列的前n项和，
，
已知数列的前n项和，求的方法：
①n=1时，；②时，
验证，是否适合，若适合，则；若不适合，则
也可以判断是否等于0，若则；若，
二、等差数列
1.定义：
即：，首项为，公差d。
2.通项公式：= = （关于n的一次函数）
前n项和公式： = = （关于n的二次函数，不含常数项）可化为。
3.等差数列的性质：①
②若m+n=p+q，则： 若m+n=2k，则：

③仍成等差数列
④若，则数列为_______________数列。前n项和有_______值。
满足: ，找分界项。（也可以用二次函数特点求）
若，则数列为_______________数列。前n项和有_______值。
满足: ，找分界项。（也可以用二次函数特点求）
例：已知等差数列的首项为31，公差为-4，求的最大值。
⑤若等差数列共有2n+1项，则，
，
。
三、等比数列。
1.定义：
即：，首项，公比为q（q≠0）。
2.通项公式：=
前n项和公式： = ；当q=1时，。
3.等差数列的性质：①
②若m+n=p+q，则： 若m+n=2k，则：
③仍成等比数列
四、数列求和方法：
1.特殊数列求和：①等差数列求和；②等比数列求和；③常数数列求和；
2.分组求和法：一般可转化为等差数列，等比数列求和。通项结构
例：求的和。
3.裂项求和法：
例：求的和。
4.错位相减法：（q倍求和法）通项结构
例：求的和。

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