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高中数学高一上册复习资料.doc

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第一章 集合与简易逻辑 一、集合: 1. 集合的定义: 集合的表示方法: 数集:(复数集) 集合的特性: 2. 元素与集合的关系: 集合与集合的关系: 空集是任何集合的__________,是任何非空集合的_______________。 任何一个集合都是他自身的____________。 集合{} 的子集个数有____个,真子集有____个,非空真子集有____个。 当时,一般要分与两种情况。 3. 交集是指A与B中公共元素构成的集合,A∩B={x| } 并集是指所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合,A∪B={x| } 一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。 有关系式:①若A∩B=A,则____________;②若A∪B=A,则_____________; ③__________ 、____________。 二、不等式解法: 1. 绝对值不等式解法: a>0 a=0 a<0 |x|<a的解集 |x|>a的解集 ① ② ③ 2. 二次不等式:与二次函数 以为例 的图象 方程的根 的解 的解 3. 分式不等式: 形如类型的可移项化简来解。 4. 简单高次不等式:利用数轴标根法求解集。 5. 指数不等式: 6. 对数不等式:可转化为不等式组 ①当时, ;当时,。 解指数不等式,对数不等式时,必须考察函数的单调性问题,特别注意不能忽视了对数的真数必须大于0,不等式的解集必须用集合或区间表示出来。 三、逻辑联结词:或(并集)、且(交集)、非(补集) 1. 命题可分为真命题、假命题,也可以分为简单命题、复合命题。 复合命题形式有“p或q”,“p且q”,“非p”三种形式。 2. 复合命题的真值表。 P q p或q p且q 非p 真 真 真 假 假 真 假 假 3. 四种命题的关系: 互为逆否 互 否 互 否 原命题,若p则q 逆命题,若q则p 逆否命题,若q则p 否命题,若p则q ① 原命题为真,则其逆命题与否命题不一定为真,而其逆否命题一定为真。 ② 互为逆否命题的真假相同,逆命题与否命题的真假相同。 4. 充要条件: ①若但BA,则A是B的___________条件。 ②若AB但,则A是B的___________条件。 ③若,则A是B的___________条件。 ④若AB且BA,则A是B的___________条件。 四、恒成立问题: 1. 恒成立,可令,函数图象恒在轴上方。 等价于: 2. 恒成立,等价于: 例:已知不等式恒成立(或解集为R),求的取值范围。 第二章 函数 一、函数及有关性质。 1. 函数定义: 中,自变量的取值范围为函数的定义域。当时,叫函数值。所有函数值的集合叫做函数的值域。 2. 映射的定义: 两个允许: 两个不允许: 3. 同一函数:①_______相同。②_________相同。③值域相同。(可由①②得③) 4. 函数定义域求法:使函数有意义的条件。 ①整式函数(一次函数、二次函数)定义域为R。 ②分式函数的分母不为0。 ③偶次根式函数,被开放数大于或等于0。(的) ④对数函数的底数大于0且不等于1,真数大于0。 有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。 5.函数的单调性:①定义: ②逆运用: 当在区间[m,n]上为增函数时,若则有: 当在区间[m,n]上为减函数时,若则有: ③常用函数的单调性: Ⅰ.一次函数,当时为增函数;当时为减函数。 Ⅱ.二次函数,当时在为减函数;在为增函数。当时在为增函数;在为减函数。与开口方向和对称轴有关。 Ⅲ.反比例函数在上均为减函数;在上均为增函数。 Ⅳ. ,当时为减函数;当时为增函数。 Ⅴ. ,时,在上为减函数;当时,在 上为增函数。 6.反函数:求函数的反函数的方法: (1) 先根据原函数的定义域求出其值域 (2) 由解出 (3) 将中的互换,即得反函数标明定义域 有关性质:(1) 原函数与反函数的定义域和值域正好互换,原 函数过点,则反函数过点。 (2) 互为反函数的图象关于成轴对称图形。 (3) 原函数与反函数的单调性相同。 7.函数得奇偶性:存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称,在定义域内,将后(1)若,则为偶函数。(2)若,则为奇函数。 有关性质:(1) 偶函数得图象关于轴对称,在对称区间上的单调性相反。 (2) 奇函数得图象关于原点对称,在对称区间上的单调性相同。 8.求函数值域的基本方法 (1) 利用函数的单调性求值域:若在上为增函数则其值域为 若在上为减函数则其值域为。 (2)配方法:二次函数 当,有最小值,值域为; 当时,有最大值,。 (3)反表示法:即利用反函数的定义域既为原函数的值域。例如:求的值域。 (4)换原法: 还原注意新元素的范围。 例如:求的值域。 (5)判别式法:形如:类型,可转化为关于的一元二次方程有解, 求值域。 (6)图象法。 9.周期性:若函数对于最小正周期,使,则称为函数 的最小正周期。 10.对称性:若则称为的对称轴 二、指数函数与对数函数 (一) 指数 1根式与分数指数幂: = 运算法则: 2 指数函数的图象和性质: 单调性 定 点 值 域 定义域 性 质 图 象 减函数 增函数 3 指数方程:(1) (化成底数相等) (2) 可换元后求解,令 4 指数复合函数的单调性: (1)时,的单调性相反 (2)时,的单调性相同(一致) (二) 对数函数 1 对数式与指数式互化:; 2 对数的运算法则: 对数恒等式: 换底公式: 3 对数函数 的图象和性质 性 质 单调性 定 点 值 域 定义域 图 象 减函数 增函数 (1) 当与都大于1或都小于1时, (2) 当与一个大于1另一个小于1时, 4 对数方程: 5 对数函数复合形式的单调性:的定义域内 (1)时,的单调性相反, (2)时,的单调性相同。 三 二次函数 ,判别式 1 与轴的交点个数:(1),有 个交点(2),有 个交点,(3),无交点。 当时,方程有两个实根:。则由韦达定理(根与系数的关系)知: , 2 一元二次方程实根问题(以为例) o x y x o (1) 有两正根 (2) 有两个负根 (3) 有一正一负的根 3 ()区间根问题 仅一个根在内 m 图 象 n n m n m m m 充要条件 4 二次函数 ()在区间内的最值 问题: (1)当时,函数在上为增函数。,; (2)当时。,; (3)当时。,; (4)当时, 函数在上为减函数。,。 例:已知在上的最小值为13,求a的值. 解:综上所述:满足条件的或。 四 图象变换,设 1.平移: 2. 3.对称: 4. 五 复合函数: 1 若函数,则称为关于的复合函数。 (1)为内函数,为外函数。 (2)的值域,既为的定义域。 2 已知的表达式,求的表达式,可采用换元或凑项的方法。 例:已知函数,求 (法一):令,则, (法二):,整体替换,将 3已知的定义域,求的定义域 例 已知,求的定义域 解:,令 将。 4 复合函数的单调性规律 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 第三章 数列 一、数列的基本知识: 1.数列的定义: 2.数列的基本表示方法: 3.通项公式:,用含有n的代数式表示。 4.数列的前n项和, , 已知数列的前n项和,求的方法: ①n=1时,;②时, 验证,是否适合,若适合,则;若不适合,则 也可以判断是否等于0,若则;若, 二、等差数列 1.定义: 即:,首项为,公差d。 2.通项公式:= = (关于n的一次函数) 前n项和公式: = = (关于n的二次函数,不含常数项)可化为。 3.等差数列的性质:① ②若m+n=p+q,则: 若m+n=2k,则: ③仍成等差数列 ④若,则数列为_______________数列。前n项和有_______值。 满足: ,找分界项。(也可以用二次函数特点求) 若,则数列为_______________数列。前n项和有_______值。 满足: ,找分界项。(也可以用二次函数特点求) 例:已知等差数列的首项为31,公差为-4,求的最大值。 ⑤若等差数列共有2n+1项,则, , 。 三、等比数列。 1.定义: 即:,首项,公比为q(q≠0)。 2.通项公式:= 前n项和公式: = ;当q=1时,。 3.等差数列的性质:① ②若m+n=p+q,则: 若m+n=2k,则: ③仍成等比数列 四、数列求和方法: 1.特殊数列求和:①等差数列求和;②等比数列求和;③常数数列求和; 2.分组求和法:一般可转化为等差数列,等比数列求和。通项结构 例:求的和。 3.裂项求和法: 例:求的和。 4.错位相减法:(q倍求和法)通项结构 例:求的和。 - 13 - 高一上期知识要点
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