初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及标准答案).doc

初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想
本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题
例1：（2013年上海市虹口区中考模拟第25题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1 备用图
思路点拨
1．第（2）题BP＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．
解答：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是
△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．
所以．所以，．

图2 图3 图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．
此时．所以．
②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
此时．所以．
（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．
在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．
由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．
因此△PDF∽△CDQ．
当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．
此时．所以．
②如图6，当QC＝QD时，由，可得．
所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．
此时．所以．
③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5 图6
考点伸展：如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．
二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题
例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．① 求S与t的函数关系式；
② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

图1
思路点拨：
1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．
2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．
3．将S＝4代入对应的函数解读式，解关于t的方程．
4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
解答：
（1）直线与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．
Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．
因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．
（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．
在Rt△BNH中，BN＝t，，所以．
如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时
．定义域为0＜t≤2．
如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时
．定义域为2＜t≤5．

图2 图3
②把S＝4代入，得．
解得，（舍去负值）．
因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4的情形，此时．
③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM ，，
所以．解得．
如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，．
不存在∠ONM＝90°的可能．
所以，当或者时，△MON为直角三角形．

图4 图5
考点伸展：在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．

图6 图7
三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题
例3：（2010年山西省中考第26题）在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解读式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

图1 图2
思路点拨：1．第（1）题和第（2）题蕴含了OB与DF垂直的结论，为第（3）题讨论菱形提供了计算基础．
2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照DO为边和对角线分类，再进行二级分类，DO与DM、DO与DN为邻边．
解答：(1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3．
在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)．
(2) 因为OE＝2EB，所以，，E(2,4)．
设直线DE的解读式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，．所以直线DE的解读式为．
(3) 由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝．
①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(－5,)．
②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．
③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P．
由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此时点N的坐标为．

图3 图4
考点伸展
如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形．

图5 图6
四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题
例4：（2013年苏州中考28题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．
（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

思路点拨：（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．
解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；
（2）分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有，即，解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，则有，即，解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．
（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t=；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2解得：t=3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．
考点伸展：本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．
拓展练习：
1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t=时，四边形是平行四边形；
当t=时，四边形是等腰梯形.

（1题图） 备用图
2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为。

（2题图） （3题图）
3、如图，在中，，．点是的中点，过点的直线从与重合的位置开始，绕点作逆时针旋转，交边于点．过点作交直线于点，设直线的旋转角为．
（1）①当度时，四边形是等腰梯形，此时的长为；
②当度时，四边形是直角梯形，此时的长为；
（2）当时，判断四边形是否为菱形，并说明理由．
A
C
B
E
D
N
M
图3
A
B
C
D
E
M
N
图2
4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
C
B
A
E
D
图1
N
M

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.
求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；（2）△ PAB为直角三角形的t值；
（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值。

7、如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.求：（1）求点到的距离；
（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由
A
D
E
B
F
C
图4（备用）
A
D
E
B
F
C
图5（备用）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）

8、如图，已知中，厘M，厘M，点为的中点．
(1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？

（8题图） （9题图）
9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
10、如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=6，C为OB上一点，射线CD⊥OB交AB于点D，OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点P到达到点B时停止运动，点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN，斜边MN∥OB，且MN=QC．设运动时间为t（单位：秒）．
（1）求t=1时FC的长度．
（2）求MN=PF时t的值．
（3）当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式．
（4）直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．

参考答案：
1、解：：（1）要使四边形PQCD为平行四边形，则PD=CQ，∵AD=18cm，即18-t=2t，解得：t=6；
（2）设经过ts，四边形PQCD是等腰梯形．过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，∵四边形PQCD是等腰梯形，∴PQ=DC．又∵AD∥BC，∠B=90°，∴AB=EQ=DF．∴△EQP≌△FDC．
∴FC=EP=BC-AD=21-18=3．又∵AE=BQ=21-2t，EP=t-AE，∴EP=AP-AE=t-（21-2t）=3．得：t=8．
∴经过8s，四边形PQCD是等腰梯形．
2、5；3、解：（1）①30，1；②60，1.5；
（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形
在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2. ∴AO== .在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.
∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形
4、解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC∴△ADC≌△CEB
②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE
(2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC
∴△ACD≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE
(3) 当MN旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE， 又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD.
5、解：（1）正确．
证明：在上取一点，使，连接．．，．是外角平分线，，． ．，，． （ASA）． ．
（2）正确．
证明：在的延长线上取一点．使，连接． ． ．四边形是正方形， ．． ．（ASA）．．

6、解：解：（1）作AE⊥BM于E。则AE=3，∵AB=5，∴BE=√（AB²-AE²）=4 MP=t, BP=9-t①若AP=AB,∴9-t=2×4∴t=1
②若PA=PB，∴BP/(1/2AB)=AB/BP∴（9-t)²=1/2*5*5∴t=9-√5/2(9+√5/2舍去）
③若BA=BP，∴|9-t|=5∴t=4 、14
∴综上，t=1、4、9-√5/2、14
（2）①若∠APB=90°∴9-t=4∴t=5
②若∠PAB=90°∴BP/BA=BA/BE∴(9-t)/5=5/4∴t=11/4
∴综上，t=5、11/4。
7、解：（1）如图1，过点作于点∵为的中点， ∴
在中，∴∴
即点到的距离为
图1
A
D
E
B
F
C
G
（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．
∵∴
∵∴，同理
如图2，过点作于，∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴∴
∴则
在中，
∴的周长=
②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．
当时，如图3，作于，则
类似①，∴∵是等边三角形，∴
此时，

当时，如图4，这时此时，
当时，如图5，则又
∴因此点与重合，为直角三角形．
∴此时，
综上所述，当或4或时，为等腰三角形．
8、解：A
Q
C
D
B
P
解：（1）①∵秒， ∴厘M，
∵厘M，点为的中点， ∴厘M．
又∵厘M， ∴厘M， ∴．
又∵， ∴， ∴．
②∵， ∴， 又∵，，则，
∴点，点运动的时间秒， ∴厘M/秒。
（2）设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得，解得秒．
∴点共运动了厘M． ∵，∴点、点在边上相遇，
∴经过秒点与点第一次在边上相遇．
9、解：（1）证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC。∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。∴△ABC和△ACD为等边三角形。∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。

（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF。∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。作AH⊥BC于H点，则BH=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。∴△CEF的面积的最大值是。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。
【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。
（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S△CEF=S四边形AECF－S△AEF，则△CEF的面积就会最大。
10、
考点：
相似形综合题．
分析：
（1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再将t=1代入求出FC的长度；
（2）根据MN=PF，可得关于t的方程6﹣t=2t，解方程即可求解；
（3）分三种情况：求出当1≤t≤2时；当2＜t≤时；当＜t≤3时；求出重叠（阴影）部分图形面积S与t的函数关系式；
（4）分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．
解答：
解：（1）根据题意，△AOB、△AEP都是等腰直角三角形．
∵，OF=EP=t，
∴当t=1时，FC=1；
（2）∵AP=t，AE=t，PF=OE=6﹣t
MN=QC=2t
∴6﹣t=2t
解得t=2．
故当t=2时，MN=PF；
（3）当1≤t≤2时，S=2t2﹣4t+2；
当2＜t≤时，S=﹣t2+30t﹣32；
当＜t≤3时，S=﹣2t2+6t；
（4）△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或．
点评：
考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程思想，分类思想的运用，有一定的难度．

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