高中数学必修五导学案.doc

复习正弦定理
正弦定理：
其性质如下：
①
②
③
④若，则；反之，也成立.
补充知识:

若，则；
若，则或；
应用
① 已知两角和任一边，求其它角和边；
② 已知两边和其中一边的对角，求其它边和角；
例题
1、已知在中，，则B等于 .
2、已知在中，,解此三角形.

已知两边及其中一角A,解此三角形.
A为锐角
A为钝角

b a
A

b a

A B’ B

b a
A
B

b a

A

b a
A B

a
b
A
有一解
有两解
有一解
无解
有一解
无解
练习
复习余弦定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边长与它们夹角的余弦值的2倍.
例如: ………①
……………②
(1) 当,则A为锐角;
当,则A为直角;
当,则A为钝角;
(2) 已知三角形两边及其夹角,解三角形.
已知三边,解三角形.
例题:
1、 已知锐角三角形的三边长1，3，，则的取值范围.
解、由题意知：
， 即
解得：
故得取值范围是
2、 在中，AB=7,AC=4, 是的中线，求BD.
解：在中，

在中，

3、 在中，设，，，，则的形状为

解：

(同理) 为等边三角形.
应用实例
实际问题中的有关术语:
(1)、铅垂面是指与海平面垂直的平面。
(2)、基线：在测量中，根据实际测量需要适当确定的线段段叫做基线。
(3)、仰角、俯角：与视线在同一铅垂面的水平线的夹角，视线在水平线上方时叫做仰角；视线在水平线下方时叫做俯角。

铅 视线
垂 仰角 水平线
线 俯角
视线
(4)、坡角：坡面与水平面的夹角。
(5)、方位角：一般指正北方向线沿顺时针方向转到目标方向线所成的角。
(6)、方向角：指北或南的方向线与目标线所成的小于的角，它是方位角的另一种表示形式，如北偏东，南偏西。
例题讲解：
例1（略）
例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间的距离的方法。

解：测量者可以在河岸边定两点C、D， A B
测得CD=，并测得，
, ,
在和中，应用正弦定理，得
D C

计算出AC，BC后，在中，应用余弦定理，得：

例3：已知,为边长为的等边三角形，, ,求AB。
解： 在中：

在中：

例4、在150m高的山顶上，测得与山脚在同一水平线上的铁塔的塔顶与塔底的俯角分别为，，则塔的高。
解：在中，
AD= A
在中，
C

B D
习题课
1. 如图,在中, ,求AD.
解: 在中,

24 C 21 31
A D B

在中
或
当时, 为锐角与事实相矛盾,故舍去.

2．地上画了一个角,某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10m后，拐弯往另一边的方向行走14m正好到达的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为 16 .
解:此题型为：已知两边和一边对角A,解此三角形.故应为：

3．如图，在中，＝90°，，，为内一点，＝90°（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若＝150°，求.

解：（1） 由题意可知，在中，，由，由余弦定理可知：
（2）若则有题意可知：，，在中，利用正弦定理得：
即得

作业题：
1．在中，已知，则该三角形的形状为 .
2．在中, 成等差数列, ,,那么= .

数列的概念与简单表示法
概念：
1、 按照一定顺序排着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中每一项和他的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（首项），第几位的数称为这个数列的第几项.数列的一般形式: ,简记为,项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.
2、 递增数列:从第2项起每一项都大于它的前一项的数列;
递减数列: 从第2项起每一项都小于它的前一项的数列;
常数列:各项都相等的数列.
摆动数列:从第二起有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
练习：
（1）0，1，2，3
（2）82，92，105，119，129，130，132
（3）3，3，3，
（4）100，50，20，10，5，1，，0.1
（5）-1，1，-1，1
（6）的精确到1，0.1，0.01，0.001的不足近似与过剩近似构成数列：

3、 数列与函数的关系（包括图像）
数列是以项数为自变量，以项为函数
4、 通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做通项公式。
例：已知数列的通项公式为.（1）写出第4项和第6项.
(2)问和68是该数列中的项么?若是,是第几项;若不是,说明理由.
例:写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数.
(1) ;
(2) 2,0,2,0.
5、数列的最值与单调性
(1)求数列的最大项,首先考虑是否为数列中的最大项,若否,则有,求出.
(1)求数列的最小项,首先考虑是否为数列中的最小项,若否,则有,求出.
例题: 已知数列的通项公式是,求数列中的最小项.(配方法或上法)
5、 数列的表示:图像法,列表法,公式法．数列的图像是一系列孤立的点.
例题：已知数列的通项公式，求为何值时，取最大值．
　　　解：，　　　不是最大项
　　　　　若是最大项，应满足，

=

当或时，两项是数列中的最大项。
数列的递推公式
递推公式：
（1） 如果一个数列的首项，从第二项起，每一相等于它的前一项的2倍再加1，即，那么像这样给出一个数列的方法叫做递推法，其中称为递推公式。
（2） 一个数列的递推公式不是唯一的。
（3） 类似不是递推公式。
练习
1、有递推公式求数列的前几项并猜想通项公式：
（1），；
（2），
2、已知数列中，，以后各项由给出,(1)写出数列的前5项；（2）求出数列的通项公式
3、数列中，，，求的通项公式。
4、已知数列满足，，求数列的通项公式。
5、已知数列的前项和,求数列的通向公式。

练习：
1． 已知数列的通项公式为.(1)写出数列的第4项和第6项.(2)问和68是该数列中的项吗?若是,说明说明是第几项;若不是,说明理由.
2． 数列的通项公式为,求数列中的最小项.
3． 根据数列的前几项,写出数列的通项公式.
(1) (2) (3)
4．数列中,且,则 ．
5．已知,,则 ．
6．已知数列对于任意,有,若,则 ．
7．下列各式不能作为数列的通项公式的是 ．
① ② ③ ④
8．已知数列的通项公式，求数列的前30项的最大值和最小值．
9．数列共有 项.
等差数列
学习目标
1． 理解等差数列数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个等差数列是否为等差数列；
2． 掌握等差数列的通项公式的求法；
3． 体会等差数列与一次函数的关系．
知识总结
1、 等差数列：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，该常数叫做等差数列的公差，常用表示．
例：若数列，则
（1），也是等差数列的递推式。
（2）由

代入时，成立.
等差数列的通项公式：
2、 等差中项：在由三个数组成的等差数列中，叫做的等差中项，且有．
例：求等差数列的第20项．
解：

3、 等差数列的性质：
（1） 由定义可知：；
（2） 对任意的正整数，都有；
特别的,
（3） 对于任意，若，则有；
（4） 若，则；
（5） 对于非零常数b，若数列成等差数列，公差为d，则数列也是等差数列，公差为bd；
（6） 若数列都是等差数列，，，则都是等差数列；
（7） 等差数列的等间隔项（或其相等项数的和）仍为等差数列，如：
是等差数列，则数列，，，仍是等差数列。
练习：
1．已知数列是等差数列满足，．（1）数列是否为等差数列，并说明理由；(2)求．
2．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围为 ．
3．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是 ．
4．已知等差数列中，，，其通向通项公式 ．
5．已知是等差数列图像上的两点．（1）求这个数列的通项公式．（2）画出这个数列的图像．（3）判断这个数列的单调性．
6．已知等差数列中，，求．
7．已知数列满足，，令．（1）求证：数列 是等差数列．（2）求数列的通项公式．
8．若果数列中，，，则 ．
9．如果等差数列中，，那么 ．
10．设数列都是等差数列，且， ，那么所组成数列的第37项值为 ．
11．一个等差数列由三个数构成，这三个数的和为9，这三个数的平方和为35，求这三个数构成的等差数列．
12．已知数列的首项为，公差为，数列中，，则是否为等差数列？并说明理由．
13．若，两个数列与得公差分别为，则 ．
14．等差数列中，，求数列的通项公式．
解：
代入得：
化简得：
当时，，
当时，，
等差数列的前项和
一般的，称为数列的前项和，用表示，即
，对于等差数列有：
……………………①
………②
由①+②得

等差数列的前项和公式:
（1）
带入，有
（2）
（3）
思考:等差数列前项和公式是关于的一元二次函数吗?
答：当时，是常数列，；
当时， 是关于二次函数，且常数项为０.
例:已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和事1220，求数列的前　项和公式.
解:由题意知:

等差数列的前项和性质:
a) 若,则数列的前若干项为负值(或0)，则这若干项项相加和即为的最小值；
b) 若,则数列的前若干项为正值(或0)，则这若干项项相加和即为的最大值．
例题：数列是等差数列，，(1)从第几项开始有；(2)求此数列的前项和的最大值.
解(1)由公式得
若,则有: ,解之:
当时，
(2)有(1)知数列中前84项,,故此数列的前84项和值最大为

等差数列的前项和（二）
课本探究：
１． 若一个数列的前项和为，其中为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？
（1） 若，则是以为首项，公差为的等差数列；
（2） 若，则不是等差数列，

２． 若为等差数列的前项和，则有：
当为奇数时，

当为偶数时，

３． 在等差数列中，由知，是以为公差，为首项的等差数列．
４． 已知等差数列，前项和分别为，，则有．
５． 已知，，，求的前项和．
解：
的奇数项是以１为首项，为公差的等差数列;偶数项是以为首项，为公差的等数列．

当为奇数时，

当为偶数时，

由知
当为奇数时，

当为偶数时，

练习：数列满足，若为其前项和，求
６． 课本4题（裂项相消法求和）
数列的前项和，研究一下能否找到求的一个公式．你能对这个问题做一些推广吗?
练习：
１．若两个等差数列，前项和分别为，，且，则　　　．
2．等差数列的前项和为30，前项的和为100,则它的前项的和为 ．
3．设为等差数列，，，，则使其前项和的最大自然数的值为　　　　．
4．设为实数，首项，公差为的等差数列前项和为，满足，则的取值范围是 ．
5．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为 ．
6．已知数列的前项和，其通项 ，若它的第项满足
，则 ．
7．设数列是公差不为零的等差数列，是其前项和，且，，求数列的的通项公式．
8．在数列中，，，则 ．
9．若，两个等差数列和的公差分别为，则
．
10．在等差数列中，，其前项的和为．（1）求的最小值，并求出取最小值时的值．（2）求．
11．已知为等差数列，，求数列的前项的和．
12．等差数列的前12项的和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32，求公差．
等比数列
1．等比数列的概念：若一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个常数叫做等比数列的公比，该数列叫做等比数列，公比通常用字母表示．
2．递推公式:
3．通项公式:
4．等比中项:若成等比数列,则,叫做的等比中项.
思考:常数列一定等差数列吗?若,则成等差数列吗?
例题:判断下列数列是否为等比数列
（1）；（2）；(3) ；
（4）
5．等比数列的性质
（1）；
（2）若，则；
（3）等比数列中等间隔（即序号成等差数列）的项仍成等比数列，等间隔的项之和（或积）仍成等比数列；
（4）若是项数相等的等比数列，那么也是等比数列；
（5）如果是等比数列，是不为零的常数，那么数列也是等比数列．
例：某种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长？
解：设该物质最初质量为1，经过年后，剩留量为，由题意可知：，
(年)
答：这种物质的半衰期大约为4年．
例：若三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个都减去2，则这三个数又成等差数列，求这三个数．
解：设该三个数为：，则由题意可知：
　　　解之：
若，则所求三个数为4，8，16；
若，则所求三个数为16，8，4；
例：在等比数列中，,求
解： 　

若，则；若，则.
习题练习：
1．设等比数列的前三项依次为，则它的第四项是 ．
2．已知等比数列中，若，求
3．已知数列满足．（1）求证：数列是等比数列；（2）求
数列的通项公式．
4．在等比数列中，，则 ．
5．在数列中，，且对任意自然数，，是的等差中项，则 ．
6．若数列满足，且，则的值为 ．
7．已知各项均为正数的等比数列中，，则
8．等比数列中，公比为，前3项之和为21，则该数列的通项公式
9．若数列是正项递增的等比数列，表示其前项的积，且，则当取最小值时，的值为 ．
10．等比数列的首项，，设，则达到最大值时的值．

等比数列的前项和
设是等比数列，则其前项和:
；
(1)若，则有：;
(2)若，则有：
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①
.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
①－②式可得：

　　　　　　公式一
公式二
公式三
有了上述公式，就可以解决本节开头问题：
由，可得．这个数很大，超过了
．估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过7000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言．
例：在等比数列中，已知，求．
解：由 .............①
……②
由①②得：
或
例：已知数列的前项和，则下列关于的说法中正确的是

Ａ．一定是等比数列　　　　　　　　　　Ｂ．一定是等差数列
Ｃ．不可能是等差数列　　　　　　　　　Ｄ．可能是等等比数列
练习
1． 设等比数列的公比，前项和为，已知，，求的通项公式．
2． 已知数列的首项（1）证明：数列是等比数列．（2）求数列的前项和为．
3． 已知等比数列的前10项和为10，前20项和为30，求前30项的和．
4． 一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为 ．
5． 在等比数列中，前项的和，则等于 ．
6． 已知数列为等比数列，是它的前项的和，若，且的等差中项为，则 ．
7． 等比数列的公比，已知，则其前4项和
8． 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式;(2) 求数列的前项的和．
求的值．
9．已知数列的前项和满足，
（1）求的值并求数列的通项公式．
(2)设数列,求数列的前项和．
数列求和
1． 乘公比错位相减法:若数列,其中是等差数列, 是等比数列,则求数列的前项和时用此方法．
例：求数列的前项和．
解：记
当时，
当时，

两式相减得：

练习：已知数列的前项的和，其中为常数，且
(1)求(2)求数列的前项和.
2． 倒序相加法
例：设，求和．
解：由得：

由……………………①
……………………②
①+②得:

练习：设，求的值．
3．分组求和法
例:
原式
当时,原式
当,原式
练习：求
4．裂项相消法
5．并项求和法
练习：
1．设数列的通项公式为，则 ．
2．求数列的前项的和．
3．设，求和．
4．求数列的前项和．
5．求和：
6．求数列的前项和．
7．求和：
8．已知等差数列中，，其前项和为，求．
求数列通项的方法
1．观察法：根据数列的前几项，求数列的通项公式．
2．由数列的前项和,求数列的通向公式

3． 累乘法：形如型的递推公式，求通项公式．
4． 累加法：形如型的递推公式，求通项公式．
5． 待定系数法：形如的数列可设为：

例题：已知数列满足，求数列的通项公式．
练习：已知数列满足，求数列的通项公式．
6． 倒数法：形如（其中）
例题：已知数列中，，求数列的通项公式．
7． 构造特殊数列法：形如（，为常数）由
是等差数列，公差为．
例题：已知数列满足，求数列的通项公式.
解：由化简： 是以1为首项，为公差的等差数列．

数列的通项公式是．
8． 形如都可以构造的形式，从而形成一新的等比数列，求数列的通项公式．
例题：已知数列中，，求
解：

令，则

是公比为，首项为的等比数列．

9．对数变换法(适用于指数关系的递推)
例：各项均为正数的数列中，，求通项公式．
解：由，令，则 且 是以为公比的等比数列

，，，，
累乘得：

10．开方法（或平方法）
11．节差法
不等关系与不等式
一般人的下半身长 与全身长的比值在之间，而芭蕾舞演员在表演时，脚尖立起时给人以美的感受，这是为什么？原来脚尖立起调整了身段比例，如果设人的脚尖立起提高了，那么下半身与全身的长度比由原来的变成了，这个比值非常接近黄金分割比值0.618.其中的数学关系是，怎样判定“<”的数学关系成立？
预习课本P72-73
1． 比较实数大小
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则；
2．用作差法比较两实数大小
由
若时, ;
若时,
练习：比较与的大小．
　解：

2． 性质：
（1）对称性：
（2）可加性：
（3）同向相加性：
；；
（4）传递性：
；
；

（5）可乘性：
； ； ；
（6）可乘方性：
（7）可开方性：
例题：已知，，求证．
解：因为，所以．
即．
由得 ．
练习：
1． 根据生活现象提炼不等式：
（1） 如果向一杯糖水里加点糖，“糖水加糖更甜了”；
（2） 把稀糖水与浓糖水混合后，得到的糖水比稀糖水浓，比浓糖水稀．
2．设，试比较与的大小．
3．若满足，则得取值范围是 ．
4．设，则三者的大小关系为 ．
5．已知，则的取值范围为 ，的取值范围 ．
一元二次不等式及其解法
概念：只含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的不等式称为一元二次不等式．
实例讲解
考察二次函数与对应不等式、一元二次方程的关系．
画出二次函数的图像

5

观察图像可知：
当 时，函数图象位于轴上方，，即；
当 时，函数图象位于轴下方，，即．
一元二次方程的一般形式：．
填写课本77页表格：

的图象

的根

没有实数根

的解集

的解集

总结一元二次不等式的解法的一般步骤：
（1）变形（）；
（2）因式分解或求判别式；
（3）求根或根据说明方程有无实数根；
（4）画出函数草图；
（5）根据图像写出不等式的解集．
填写课本78页程序框图（略）
例题
（1）求不等式的解集．
（2）求不等式的解集．
含参不等式的求解
解含参不等式通常需要讨论：
（1）二次项系数含参数时，要讨论二次项系数．
（2）判别式含参数时要讨论．
（3）若能求出两根，且两根中含有参数，要讨论两根的大小．
例：已知，关于的不等式的解集为 ．
例：设，解关于的不等式
解：当时，原不等式可化为：
当时，原不等式可化为：
，
当时，
当时，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
例：解关于的不等式
解：当时，原不等式化为
当时，，故此不等式为
，

当时，，原不等式可化为
当时，，，

或
当时，，
当时，
综上所述，
当，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
例：若一元二次不等式和的解集分别为
则有
，即不等式的解集端点值是相应方程的根．
例：（更换主元法）对任意，函数的值恒大于零，求的取值范围．
练习：
1． 若关于的不等式的解集是，求不等式
的解集
2． 若为的解集，则的解集为 ．
3． 设，若关于的一元二次方程有两个实数根，且，求实数的取值范围．
4． 不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
5． 已知函数．若对于一切，恒成立，求实数的取值范围．
高次不等式与分式不等式
一、 分式不等式

例题：解不等式
二、 高次不等式
例：解不等式
解：变形得：

4
原不等式的解集为．
总结一般步骤：
(1)变形：变形后一边是0，另一边是各因式的乘积，且的系数为正；
(2)找跟
(3)标根：在数轴上标出方程的根；
(4)穿根：“自左向右，自上而下，见根就穿，奇过偶不过”
(5)根据图写出不等式的解集
练习：解不等式
二元一次不等式（组）与简单的线性规划
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％．那么信贷部应如何分配资金？
解：设用于企业贷款的资金为元，用于个人贷款的资金为元，则由题意可知：

概念：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．满足二元一次不等式（组）的和得取值构成有序数对，所有这样的有序数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集．有序数对可以看成直角坐标平面内的点的坐标．二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标平面内的点构成的集合．
求所表示的图形．
解：作出直线的图形，可以发现该直线将平面内的点分为三部分，即直线上方的点、直线上的点、直线下方的点，且同一侧的所有点的符号相同．
图中阴影部分即为所求不等式所表示的区域．
概念：（1）一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线
某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界；不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
（2）直线同一侧的所有点，把它的坐标带入所得值的符号都相同．
（3）若点、在直线的两侧，其坐标应满足条件
．
（4）若点、在直线的同侧，其坐标应满足条件
．
例：画出不等式表示的平面区域．
例：用平面区域表示不等式组

的解集．
题型三：求不等式组表示的平面区域的面积．
简单的线性规划问题
线性规划主要用于解决生活中资源利用、人力调配、生产安排等问题．
某工厂用两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个配件和12个配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
设每天生产甲产品件，乙产品件，则由题意可知：

设该厂获得的利润为，则，变形有：
由图可知，当直线过点时，截距最大，最大值为．
当每天生产4件甲产品，2件乙产品时，工厂可获得最大利润为14万元．
概念：
名称
意义
约束条件
由变量组成的不等式（方程）组
线性约束条件
由的一次不等式（或方程）组成的不等式组
目标函数
关于的函数解析式，如等．
线性目标函数
关于的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
例：设满足约束条件，则的最大值与最小值分别为 ．
练习：
1．点在不等式表示的平面区域内，且到直线的距离等于，点的坐标为 ．
2．已知已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是 ．
3．若满足，设，则的取值范围是 ．
4．实数满足不等式组，则的取值范围为 ．
5．已知满足不等式组，
（1）求的最小值．（2）
6．设函数，已知，，则的取值范围为 ．
基本不等式
1．复习利用赵爽弦图证明勾股定理：

2．利用赵爽弦图证明重要不等式：
当且仅当时，，
3．利用，证明重要不等式．
4．构造图形
练习：
1．下列函数最小值为4的是 ．
A． B．
C． D．
2．设，则下列等式正确的有
①； ②； ③； ④；
⑤
3．若是与 的等比中项，则的最大值为 ．
4．若，，求证：
5．已知，求函数的最大值．
6．求函数的最值．
7．已知，，求的最大值．
8．已知正数满足，则有 值为 ．
9．当时，不等式恒成立，则实数的最大值为 ．
10．设，且恒成立，则的最大值为 ．
11．已知，，则的最小值为 ．
12．若正数满足，则的最小值为 ．
13．已知，求的最小值 ．