高中数学必修5常考题型：一元二次不等式.doc

一元二次不等式及其解法
【知识梳理】
1．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象

ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
或x>x2}

R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集

∅
∅
【常考题型】
题型一、一元二次不等式的解法
【例1】　解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)x2－4x－5≤0；
(3)－4x2＋18x－≥0；
(4)－x2＋3x－5＞0；
(5)－2x2＋3x－2＜0.
[解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－，或x＜－3}．
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
【类题通法】
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
【对点训练】
1．解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6.
(3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，
x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.
解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为
{x|1<x<6}．
(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
(4)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.
∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠}.
题型二、解含参数的一元二次不等式
【例2】　解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
[解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式解集为∅；
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
【类题通法】
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【对点训练】
2．解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
解：原不等式可化为：
(ax＋1)(x－1)＜0，
当a＝0时，x＜1，
当a＞0时(x－1)＜0
∴－＜x＜1.
当a＝－1时，x≠1，
当－1＜a＜0时，(x－1)＞0，
∴x＞－或x＜1.
当a＜－1时，－＜1，
∴x＞1或x＜－，
综上原不等式的解集是：
当a＝0时，{x|x＜1}；
当a＞0时，；
当a＝－1时，{x|x≠1}；
当－1＜a＜0时，
.
当a＜－1时，，
题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系
【例3】　已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．
[解]　∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．
由韦达定理有
得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.
由2x2－3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜或x＞1.
∴bx2＋ax＋1＞0的解集为∪(1，＋∞)．
【类题通法】
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．
【对点训练】
3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2.
(1)求a、b的值；
(2)解不等式ax2＋bx－1＞0.
解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，
由根与系数的关系，得
解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0可变为－2x2＋3x－1＞0，
即2x2－3x＋1＜0，解得＜x＜1.
∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|＜x＜1}．
【练习反馈】
1．不等式x(2－x)＞0的解集为(　　)
A．{x|x＞0}　　　　 B．{x|x＜2}
C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}
解析：选D　原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2.
2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，
则M∩N为(　　)
A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}
B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}
C．{x|x≤－2或x＞3}
D．{x|x＜－2或x≥3}
解析：选A　∵M＝{x|x2－3x－28≤0}
＝{x|－4≤x≤7}，
N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，
∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．
3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________．
解析：由y＜0得x2－4x＋3＜0，
∴1＜x＜3
答案：(1,3)
4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则实数a＝________，实数b＝________.
解析：由题意可知－，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．
由根与系数的关系得
解得a＝－2，b＝3.
答案：－2　3
5．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2＞2(x－1)．
解：(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2＞0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.