静安区2019年度高三数学一模含答案.doc

静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测
高三数学试卷
考生注意：
1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸．
2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．函数的定义域是______________．
2．已知向量，，则向量的坐标是____________．
3．在二项式(x2-1x)5的展开式中，x4项的系数为__________．（结果用数值表示）
4．若直线轴平行，则a的值是__________．
5．若a、b是一元二次方程2x2+x+3=0的两个根，则1α+1β=__________．
6．在数列中，，且是公比为13的等比数列．设Tn=a1+a3+a5+⋯+a2n-1，则limn→∞Tn=__________．()
7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数）
8．已知，则_________．
9．以两条直线l1:2x+y=0和l2:x+3y+5=0的交点为圆心，并且与直线x+3y+15=0相切的圆的方程是__________．
10．已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm3．（结果保留圆周率p）
11．集合A=yy=log12x-x,1≤x≤2，B=xx2-5tx+1≤0，若A∩B=A，则实数t的取值范围是__________．
12.若定义在实数集R上的奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，fx=x13，则方程fx=13在区间（-4，10）内的所有实根之和为__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.
（A） （B） （C） （D）
14．已知椭圆的标准方程为x216+y2m2=1 (m>0)，焦点在轴上，则其焦距为（　　）.
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
15．已知下列4个命题：
①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数．
②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数．
③复数z是实数的充要条件是z=z．（z是z的共轭复数）．
④已知复数z1=-1+2i, z2=1-i,z3=3-2i（i是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C. O为坐标原点．若OC=xOA+yOB（x，y∈R），则x+y=1.
则其中正确命题的个数为（ ）.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
16．设 a ,b 表示平面向量，a ,b 都是小于9的正整数，且满足a +b a +3b =105，a +b ∙a +3b =33，则a 和b 的夹角大小为（ ）.
（A）π6 （B）π3 C2π3 （D）5π6
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．

17．（本题满分14分）
如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

F
P
A
B
C
D
E

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
设fx=sin2x+2acosx+a2-6a+13，x∈[-π2，π2]．
（1）求函数fx的最大值M；
（2）对（1）中的M，是否存在常数b（b>0且b≠1），使得当a>1时， y=logbM有意义，且y的最大值是-43？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设，椭圆：与双曲线：的焦点相同．
（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若k1∙k2=-1，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值；
（3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且9<4TA∙TB<10，求实数的取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
将个数，，…，的连乘积记为，将个数，，…，的和记为．（）
（1）若数列满足，，，设，，求P5+S5；
（2）用表示不超过的最大整数，例如，，．若数列满足，，，求的值；
（3）设定义在正整数集上的函数满足：当（）时，，问是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知）．
静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测
高三数学解答
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．. 2．. 3．10.
4．12． 5．-13． 6．limn→∞Tn=98.
7．13795.16元 8．． 9．x-12+y+22=10.
10．12288p cm3． 11．t≤-23. 12. 24.
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．~~~~16．ABBC
三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤．
17．（本题满分14分）
解：根据题意，在△ABC中，AB=1.95,AC=1.40，ÐBAC=66O20/，
由余弦定理，得

计算得：BC2≈3.571. BC≈1.89.
答：顶杆 约长1.89米．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

F
P
A
B
C
D
E
G
解：（1）由题意，△是等边三角形，因为是的中点，所以，
又平面，所以，
所以平面．
（2）取中点，连结，，则∥，
所以，为异面直线与所成角，
设，在△中，，，
，
所以，
．
所以，异面直线与所成角的大小为．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解： (1)
fx=sin2x+2acosx+a2-6a+13=-cos2x+2acosx+a2-6a+14
设cosx=t，因为x∈[-π2，π2]，所以t∈[0,1].
fx=-cos2x+2acosx+a2-6a+14=-t2+2at+a2-6a+14.
M=a2-6a+14, a<0,2a2-6a+14, 0≤a≤1,a2-4a+13, a>1.
(2)当a>1时，M=a2-4a+13=a-22+9≥9，该函数当a∈（1，2]时递减，当a∈[2，+∞）时递增。要使logbM有意义且取得最大值，logbM关于自变量a的单调性必是当a∈（1，2]时增, 当a∈[2，+∞）时递减，所以根据题意得：0<b<1，
于是logb9=-43，得b=9-34,b=39．所以存在b=39，使得当a>1时， y=logbM的最大值是-43
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
解：（1）由题意，，所以．
所以椭圆的方程为，双曲线的方程为x2-y2=1．
（2）双曲线的右顶点为，因为k1∙k2=-1，不妨设，则，
设直线的方程为，
由y=k1x-1,x2-y2=1,得1-k12x2+2k12x-k12-1=0，
则1∙xP=k12+1k12-1,( 1+xP=-2k121-k12,xP=-1-2k121-k12=k12+1k12-1,)，yP=k1k12+1k12-1-1=2k1k12-1.
同理，xQ=k22+1k22-1，yQ=2k2k22-1，
又k1∙k2=-1，所以xQ=k22+1k22-1=-k12+1k12-1=-xP，yQ=2k2k22-1=-2k11-k12=yP.
因为，所以直线与轴平行，即为定值，倾斜角为0．
（3）设，，直线的方程为，
由整理得，
△，故．
，，
设的中点为，则，，
又在直线上，所以，．
因为，，
所以

，所以．又9<4TA∙TB<10，b≠-14。
即b∈(-12,-14)∪(-14,0).
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1）
由xn+1=xn2+xn，得11+xn=xnxn+1,或xn2=xn+1-xn
且11+xn=xn2xn+1xn=xn+1-xnxn+1xn=1xn-1xn+1，
所以．又，所以，．
从而S5+P5=1x1-1x6+x1x6=1.

（2）由，，因为，
所以，，
所以，，
因为，所以．
（3）若存在正整数n，则由已知i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6得i=117i2=17(17+1)(34+1)6=1785，
i=118i2=18(18+1)(36+1)6=2109，且1785<2019<2109，
因此所求和的最后一项fn必定出现在1+2+3+…+17=153项之后，且fn=18，共有n-153个18，
所以，i=117i2+n-153×18=1785+18n-2754=18n-969,
所以，18n-969=2019，解得n=166．
所以存在正整数n=166，使得.