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第六章 实 数
一、知识总结
（一）平方根与立方根
1、平方根
（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根。
（2）表示：非负数a的平方根记作± ，读作“正负根号a”，（a叫做被开方数）
（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数的没有平方根。
（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。
Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、 开平方与平方互为逆运算。
2、算术平方根
（1）定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。
（2）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性； 即：≥0恒成立。
（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；
负数的没有算术平方根。
3、 立方根：
（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根。
（2）表示：a的立方根记作，读作“三次根号a”（a叫做被开方数，3叫根指数）
（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。
（二）实数
1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）
2、实数：有理数和无理数统称为实数。
3、实数分类：（1）按定义分（略） （2）按正负性分（略）
4、实数与数轴上的点一一对应。
5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）
6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
7、实数大小：（1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。
实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法······
二、解题实用
1、
2、
3、
三、 典题练习
1、的平方根是 ；的算术平方根是 ；的立方根是 。
2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个
有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是 。
3、一个自然数的算术平方根是x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是 。
4、下列各数中一定为正数的是 （填序号）
① x ② ③ ④ ⑤
5、当x<-1时，，-x,和的大小关系 。
6、比较下列各组数的大小
7、的绝对值为 ，相反数为 ，倒数为 。
8、已知，y为4的平方根，，求x+y的值。
9、已知，求x2+y的平方根。
10、如果一个非负数的平方根为2a-1和a-5，则这个数是 。
11、a为的整数部分，b为的小数部分，则a+2b的值为 。
12、若，试求的值。（提示：找出题中的隐含条件）
第七章 一元一次不等式与不等式组
一、 知识总结
（一）不等式及其性质
1、不等式：
（1）定义用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。
不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。
二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。
（4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。
2、不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
即：如果，那么.
性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
即：如果，并且，那么；.
性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
即：如果，并且，那么；.
性质4：如果，那么.（对称性）
性质5：如果,,那么.（传递性）
（二）一元一次不等式
1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，
叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解法：
根据是不等式的基本性质；一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；
(4)合并同类项；(5)系数化为1.
解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。
3.不等式的解集在数轴上表示：
（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左
（三）一元一次不等式组
1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组
2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。
3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
4、一元一次不等式组的解法
1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况：
不等式组
解集
口诀记忆
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解
大大小小则无解
（四）一元一次不等式（组）解决实际问题
解题的步骤：
⑴审题，找出不等关系→ ⑵设未知数→ ⑶列出不等式（组）→
⑷求出不等式的解集→ ⑸找出符合题意的值→ ⑹作答。
二、解题技巧
一、 有解无解问题：
（1）（2）
2、 特征解问题：
解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为) 当作已知数，去解原式——→得到原式的解（含)——→根据解的特征列出式子（关于的式子)——→解出的值。
例：已知的解集为，求的值。
解：解不等式 ······把当作已知数，去解原式
得 ······得到原式的解（含)
则 ······根据解的特征列出式子
解得 ······解出的值
三、典题练习
1、 若关于的不等式有解，则的取值范围是？若无解呢？
2、已知关于，的方程组的解满足，求的取值范围。
3、适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：
（1）x只有一个整数解； （2）x一个整数解也没有。
4、解不等式（组）
（1） （2） （3）
（4）－5＜6－2x＜3 （5）
5、若m、n为有理数，解关于x的不等式(－m2－1)x＞n．
6、已知关于x，y的方程组的解满足x＞y，求p的取值范围。
7、已知关于的不等式组的整数解共有3个，求的取值范围。
8、已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较A与B的大小。
9、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值。
10、某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?
11、某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件
5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。在这
20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。
（1）若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y。
（2）若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?
12、某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42座
客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元。
（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱?
（2）若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省
租金，请选择最节省的租车方案。
第八章 整式乘除与因式分解
一、知识总结
（一）幂的运算：
1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。
注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；
（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，
等于这个数的p指数幂的倒数。
（3）科学记数法：或
绝对值小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原
数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。
（二）整式乘法：
1、单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于
只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别
相乘，再把所得的积相加。
3、多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一
个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
（三）、完全平方公式与平法差公式
1、完全平方公式： 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。
2、平法差公式： 两个数的平方之差等于这两个数的和
与这两个数的差之积。
（四）、整式除法
（1）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对
于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（2）多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这
个单项式再把所得的商相加。
（五）、因式分解
1、定义：把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项
式分解因式。
2、分解因式的基本方法：
（1）提公因式法
（2）公式法：运用完全平方公式和平法差公式
（3）对于二次三项式的因式分解的方法：
1）配方法，2）十字相乘法：公式
例：将因式分解。
方法一：配方法：原式= ==
方法二：十字相乘法：=
（4）分组分解法
3、分解因式的技巧：
(1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；
(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁
(3)变形技巧：
①符号变形 Ⅰ、 Ⅱ、当n为奇数时，
Ⅲ、当n为偶数时，
②增项变形：
例：
③拆项变形：
例
二、 典题练习
1、计算题
(1) （2) (3) (4) (5) (6)
2、快速计算：（1） （2） （3）
3、，，求的值。
4、如果成立，那么 , 。
5、在括号内填上指数和底数
（1） （2）
6、化简求值：已知，求的值。
7、已知，再求的值。
8、已知，，求代数式的值：（1） （2）
9、因式分解：1） 2） 3）
10、比较的大小。
11、不解不等式组，求的值。
第九章 分 式
一、 知识总结
（一） 分式及其性质
1、分式
（1）定义：一般的，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子叫做分式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。
（2）有理式：整式和分式统称为有理式。
（3）分式=0分子=0，且分母≠0 （分式有意义，则分母≠0）
（4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
2、分式的性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变
即： （a，b，m都是整式，且）
分式的性质是分式化简和运算的依据。
3、约分：把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。
注：约分的结果应为最简分式或整式。
约分的方法：
1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数，
再找相同字母最低次幂；
2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。
（二）分式运算
1、分式的乘除
1）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：
2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；
即：
3）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。即： ，
2、分式的加减
1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：
2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，
即：
（三）分式方程
1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、解法：
1）基本思路：分式方程整式方程
2）转化方法：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。
3）一般步骤：分式方程整式方程解整式方程检验
注： 检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。
（四）分式应用
列分式方程解决实际问题的一般步骤：审题设未知数，找等量关系列方程
检验（①是否有增根，②是否符合题意）得出答案
二、分式解题中常用的数学思想和技巧
1、已知，求的值。 （整体思想、构造法）
2、已知，求的值。 （整体思想、构造法）
3、已知，求的值。
4、已知，，，求。
（先得到的值，然后按第1题方法做）
5、已知，求的值。 （提示：）
6、已知，求的值。 （提示：参数法）
7、已知，求的值。 （倒数求值法）
8、已知，求的值。 （提示：由得）
9、已知，，求的值。
（提示：消元代入法，把其中一个未知数看成常数，用它表示其它的未知数）
10、计算：1） （提示：用字母代替数）
2） （提示：局部通分）
3） (提示：假分式可先变形）
三、典题练习
1、如果分式的值为0，那么x的值是 。
2、在比例式9:5=4:3x中，x=_________________ 。
3、计算:=_______________ 。
4、当分式的值相等时，x须满足 。
5、把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值 。（填扩大或缩小的倍数）
6、下列分式中，最简分式有 个。
7、分式方程的解是 。
8、若2x+y=0，则的值为 。
9、当为何值时，分式有意义？
10、当为何值时，分式的值为零？
11、已知分式:当x= 时，分式没有意义；当x= _______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______。
12、当a=____________时，关于x的方程=的解是x=1。
13、一辆汽车往返于相距a km的甲、乙两地，去时每小时行m km，返回时每小时行n km，则往返一次所用的时间是_____________。
14、某班a名同学参加植树活动，其中男生b名(b<a)．若只由男生完成，每人需植树15棵；若只由女生完成，则每人需植树 棵。
15、当 时，分式的值与分式的值互为倒数。
16、若方程有增根，则增根是 。
17、若，则的值是 。
18、已知，求的值。
19、已知x+=3，则x2+= ________ 。
20、已知=3，则分式= 。
21、化简求值．
（1）（1+）÷（1－），其中x=－；
（2），其中x=。
22、解方程:
（1）=2； （2）。
23、已知方程，是否存在的值使得方程无解？若存在，求出满
足条件的的值；若不存在，请说明理由。
24、若，且?，求、、的值。
25、小亮在购物中心用12.5元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒便宜0.5元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去14元，买的饼干盒数比第一次买的盒数多，问他第一次在购物中心买了几盒饼干？
第十章 相交线、平行线与平移
一、 知识总结
（一） 相交线
1、对顶角：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的角叫对顶角。
对顶角性质：对顶角相等
2、 垂直：
（1）定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说明两条直线
相互垂直。记作；垂直的两条直线其中一条直线叫做另一条直线的
垂线；它们的交点叫做垂足；连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段。
注：1）垂直是相交的一种特殊的情况；
2）两条线段垂直，垂足可能在线段上，也可能在延长线上。
（2）性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离。
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。
4、垂线的画法： 略
（二） 平行线
1、定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。记作AB∥CD。
在同一平面内，两条直线的关系不是相交就是平行，没有其他。
2、相关概念：同位角，内错角，同旁内角。
3、性质：
基本性质：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线。
其他性质：① 两直线平行，同位角相等；
② 两直线平行，内错角相等； 两直线位置关系角的关系
③ 两直线平行，同旁内角互补。
4、平行判定：① 同位角相等，两直线平行；
② 内错角相等，两直线平行； 角的关系两直线位置关系
③ 同旁内角互补，两直线平行。
5、平行线的画法： 略
（三） 平移
1、定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这个图形的变换叫做平移。
2、性质：1）一个图形和它经过平移后所得到的图形中，两组对应点连接的线段平行
（或在同一直线上）且相等；
2）平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。
3、确定平移的要素： 1）方向； 2）距离。
二、典题练习
1、如图所示，下列判断正确的是( )
1
2
1
2
1
2
1
2
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
A、图⑴中∠1和∠2是一组对顶角 B、图⑵中∠1和∠2是一组对顶角
C、图⑶中∠1和∠2是一对邻补角 D、图⑷中∠1和∠2互为邻补角
2、下列说法中正确的是（ ）
A、有且只有一条直线垂直于已知直线；
B、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
C、互相垂直的两条直线一定相交；
D、直线外一点A与直线上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点
A到直线的距离是3cm。
3、如图，下列说法错误的是（ ）
A.∠A与∠C是同旁内角 B.∠1与∠3是同位角
C.∠2与∠3是内错角 D.∠3与∠B是同旁内角
第7题图
第6题图
第3题图
4、在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )
A． B． C ． D．
5、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50°
C．第一次左拐50°，第二次左拐130° D．第一次右拐50°，第二次右拐50°5、6、如图，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为 。
7、如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判断a∥b的条件是 。（填序号）
8、如图，当剪刀口∠AOB增大21°时，∠COD增大 。
9、吸管吸易拉罐的饮料时，如图，，则 。
10、 如图，由三角形ABC平移得到的三角形共有 个。
第8题图 第9题图 第10题图
第11题图
11、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则________ 。
12、 已知：如图，。试说明。
13、如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M,N分别是?位于公路AB两侧的村庄，设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB上分别画出P，Q两点的位置。
14、如图所示，已知AB∥CD，分别探索下列四个图形中∠P与∠A、∠C之间的关系，请你 从所得的四个关系中任选一个加以说明。
(1) (2) (3) (4)
15、如图所示，一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，是折痕。
（1）试判断与的位置关系；
（2）如果，求的度
第十一章 频数分布
一、知识总结
（一） 频数与频率
1、概念：一般地，如果一组数据共有n个，而其中一类数据出现m次，那么m就叫做
该类数据在该组数据中出现的频数；而则称为该类数据在该组数据中出现的频率。
2、频数分布：频数分布表，频数分布图（频数分布直方图，频数分布折线图）
（1）整理数据的步骤：
1）计算这批数据的极差（极差=最大值-最小值）
2）决定组距和组数（当数据个数在100以内，一般分为5~12组，数据多分组多，
数据少分组少，若有的组内的频数为0时，则应放宽组距）
组距= 组数=
3）决定分点（为了避免出现某一数据所在组不能确定的情况，应使分点比已知数据
多一位小数，且把第一组的起点稍微放小）
4）画频数分布表。
3、 注意：
（1）频率概率
（2） 三种统计图的特点：
条形统计图 ：能清楚地表示出事物的绝对数量；
折线统计图 ：能清楚地反映事物的变化趋势；
扇形统计图 ：能清楚地表示各部分占总体的百分率。
二、典题练习
1、对某班的一次数学测验成绩进行统计分析，各分数段的人数如图所示（分数取正整数
满分为100分）．请根据图形回答下列问题：
40～49
50～59
60～69
70～79
80～89
90～99
成绩/分
学生人数
20
15
10
5
0
①该班有 名学生；
②70～79分这一组的频数是 ，频率是 。
2、频数分布直方图（如图22-2-9所示）显示了学生半分钟心跳数情况，总共统计了_________
名学生的心跳数情况；__________次人数段的学生数最多，约占__________；如果半
分钟心跳数30—39属于正常范围，心跳次数属于正常范围的学生约占__________。
3、校课外活动小组为了了解本校九年级学生的睡眠时间情况，对学校若干名九年级学生
的睡眠时间进行了抽查，将所得数据整理后画出了频数分布直方图的一部分，如图所
示，已知图中从左到右前5个小组的频率分别是0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第二
小组的频数为4，请回答：
（1）这次被抽查的学生人数是多少？补全频率分布直方图；
（2）被抽查的学生中，睡眠时间在哪个范围内的人数最多？这一范围的人数是多少？
（3）如果该学校有900名九年级学生，若合理的睡眠时间值为，那么请你估计
一下这个学校九年级学生中睡眠时间在此范围的人数是多少？
4、校八年级（2）班40个学生某次数学测验成绩如下：
63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77。
数学老师按10分的组距分段，算出每个分数段学生成绩出现的频数，填写频数分布表：
（1）请把频数分布表、频数分布直方图(如图22-2-19)补充完整并画出频数分布折线图；
（2）请你帮老师统计一下这次数学测验的及格率（60分以上为及格，含60分）
及优秀率（90分以上为优秀，含90分）；
（3）请说明哪个分数段的学生最多？哪个分数段的学生最少？
成绩段
49.5—
59.5
59.5—
69.5
69.5—
79.5
79.5—
89.5
89.5—
99.5
频数
记录
频数
2
9
5
频率
0.250
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