高中数学必修5数列习题及答案.doc

第二章 数列
一、选择题
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 ＝，则＝( )．
A． B． C． D．
2．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有( )．
A．a3＋a9＜b4＋b10 B．a3＋a9≥b4＋b10
C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定
3．在等差数列{an}中，若a1 003＋a1 004＋a1 005＋a1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为( )．
A．18 072 B．3 012 C．9 036 D．12 048
4．△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，
∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝( )．
A． B．1＋ C． D．2＋
5．过圆x2＋y2＝10x内一点(5，3)有k条弦的长度组成等差数列，且最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为数列的末项ak，若公差d∈，则k的取值不可能是( )．
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )．
A．15 B．30 C．31 D．64
7．在等差数列{an}中，3(a2＋a6)＋2(a5＋a10＋a15)＝24，则此数列前13项之和为( )．
A．26 B．13 C．52 D．156
8．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( )．
A．160 B．180 C．200 D．220
9．在等比数列{an}中，a1＝2，前n项和为Sn，若数列{an＋1}也是等比数列，则Sn等于( )．
A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1
10．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( )．
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C．(1－4－n) D．(1－2－n)
二、填空题
11．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .
12．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝_____.
(n为正奇数)
(n为正偶数)

13．已知数列{an}中，an＝ 则a9＝ (用数字作答)，设数列{an}的前n项和为Sn，则S9＝ (用数字作答).
14．已知等比数列{an}的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ．
15．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，则a13＋a14＋a15＝ ，该数列的前15项的和S15＝ .
16．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝ ．
三、解答题
17．设数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，且＝9S2，S4＝4S2，求数列{an}的通项公式．

18．设{an}是一个公差为d(d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110且a1，a2，a4成等比数列．
(1)证明a1＝d；
(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式.

19．在等差数列{an}中，公差d≠0，a1，a2，a4成等比数列．已知数列a1，a3，，，…，，…也成等比数列，求数列{kn}的通项kn．

20．在数列{an}中，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证数列{cn}是等差数列；
(3)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式.

参考答案
一、选择题
1．A
解析：由等差数列的求和公式可得＝＝，可得a1＝2d且d≠0
所以＝＝＝．
2．B
解析：解法1：
设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，由a6＝b7，即a1q5＝b7．
∵ b4＋b10＝2b7，
∴ (a3＋a9)－(b4＋b10)＝(a1q2＋a1q8)－2b7
＝(a1q2＋a1q8)－2a1q5
＝a1q2(q6－2q3＋1)
＝a1q2(q3－1)2≥0．
∴ a3＋a9≥b4＋b10．
解法2：
∵ a3·a9＝a，b4＋b10＝2b7，
∴ a3＋a9－(b4＋b10)＝a3＋a9－2b7．又a3＋a9－2＝(－)2≥0，
∴ a3＋a9≥2．
∵ a3＋a9－2b7≥2－2b7＝2a6－2a6＝0，
∴ a3＋a9≥b4＋b10．
3．C
解析：∵ a1＋a2 008＝a1 003＋a1 006＝a1 004＋a1 005，
而a1 003＋a1 004＋a1 005＋a1 006＝18，a1＋a2 008＝9，
∴ S2 008＝(a1＋a2 008)×2 008＝9 036，故选C．
4．B
解析：∵ a，b，c成等差数列，∴ 2b＝a＋c，
又S△ABC＝acsin 30°＝，∴ ac＝6，
∴ 4b2＝a2＋c2＋12，a2＋c2＝4b2－12，
又b2＝a2＋c2－2accos 30°＝4b2－12－6，
∴ 3b2＝12＋6，b2＝4＋2＝(1＋)2．
∴ b＝＋1．
5．A
解析：题中所给圆是以(5，0)为圆心，5为半径的圆，则可求过(5，3)的最小弦长为8，最大弦长为10，
∴ ak－a1＝2，即(k－1)d＝2，k＝＋1∈[5，7]，
∴ k≠4．
6．A
解析：∵ a7＋a9＝a4＋a12＝16，a4＝1，∴ a12＝15．
7．A
解析：∵ a2＋a6＝2a4，a5＋a10＋a15＝3a10，
∴ 6a4＋6a10＝24，即a4＋a10＝4，
∴ S13＝＝＝26．
8．B
解析：∵
∴ (a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54，
即3(a1＋a20)＝54，
∴ a1＋a20＝18，
∴ S20＝＝180．
9．C
解析： 因数列{an}为等比数列，则an＝2qn－1．因数列{an＋1}也是等比数列，
则(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2
an＋an＋2＝2an＋1an(1＋q2－2q)＝0(q－1)2＝0q＝1．
由a1＝2得an＝2，所以Sn＝2n．
10．C
解析：依题意a2＝a1q＝2，a5＝a1q4＝，两式相除可求得q＝，a1＝4，又因为数列{an}是等比数列，所以{an·an＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，根据等比数列前n项和公式可得＝(1－4－n)．
二、填空题
11．－2．
解析：当q＝1时，Sn+1＋Sn+2＝(2n＋3)a1≠2na1＝2Sn，∴ q≠1．
由题意2Sn＝Sn+1＋Sn+2Sn+2－Sn＝Sn－Sn+1，
即－an+1＝an+2＋an+1，an+2＝－2an+1，故q＝－2．
12．1．
解析：方法一 ∵ Sn－Sn－1＝an，又Sn为等差数列，∴ an为定值．
∴ {an}为常数列，q＝＝1．
方法二：an为等比数列，设an＝a1qn－1，且Sn为等差数列，
∴ 2S2＝S1＋S3，2a1q＋2a1＝2a1＋a1＋a1q＋a1q2，q2－q＝0，q＝0(舍)q＝1.
所以答案为1．
13．256，377．
解析：a9＝28＝256，
S9＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8)
＝(1＋22＋24＋26＋28)＋(3＋7＋11＋15)
＝341＋36
＝377．
14．74．
解析：由{an}是等比数列，S10＝a1＋a2＋…＋a10，S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20＝q10S10，S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30＝q20S10，即S10，S20－S10，S30－S20也成等比数列，得(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，得(56－32)2＝32(S30－56)，
∴ S30＝＋56＝74．
15．，．
解析：将a1＋a2＋a3＝8， ①
a4＋a5＋a6＝－4． ②
两式相除得q3＝－，
∴ a13＋a14＋a15＝(a1＋a2＋a3) q12＝8·＝，S15＝＝．
16．．
解析：由an+2＋an+1＝6an得qn+1＋qn＝6qn－1，即q2＋q－6＝0，q＞0，解得q＝2，
又a2＝1，所以a1＝，S4＝＝．
三、解答题
17．解析：设等差数列{an}的公差为d，由前n项和的概念及已知条件得
a＝9(2a1＋d )， ①
4a1＋6d＝4(2a1＋d )． ②
由②得d＝2a1，代入①有＝36a1，解得a1＝0或a1＝36．
将a1＝0舍去． 因此a1＝36，d＝72，
故数列{an}的通项公式an＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1)．
18．解析：(1)证明：因a1，a2，a4成等比数列，故＝a1a4，
而{an}是等差数列，有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，
即＋2a1d＋d2＝＋3a1d．
d≠0，化简得a1＝d．
(2)由条件S10＝110和S10＝10a1＋，得到10a1＋45d＝110，
由(1)，a1＝d，代入上式得55d＝110，故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n．
因此，数列{an}的通项公式为an＝2n(n＝1，2，3，…)．
19．解析；由题意得＝a1a4，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d(d－a1)＝0，
又d≠0，∴ a1＝d．
又a1，a3，，，…，，…，成等比数列，
∴ 该数列的公比为q＝＝＝3， ∴ ＝a1·3n+1．
又＝a1＋(kn－1)d＝kna1，
∴ kn＝3n+1为数列{kn}的通项公式．
20．解析：(1)由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴ b1＝a2－2a1＝3．
由Sn＋1＝4an＋2 ①，则当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2． ②
②－①得an＋1＝4an－4an－1，∴ an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
又∵ bn＝an＋1－2an，∴ bn＝2bn－1．∴ {bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
∴ bn＝3×2 n－1．
(2)∵ cn＝，∴ cn＋1－cn＝－＝＝＝＝，
c1＝＝，∴ {cn}是以为首项，为公差的等差数列．
(3)由(2)可知数列是首项为，公差为的等差数列．
∴ ＝＋(n－1)＝n－，an＝(3n－1)·2n－2是数列{an}的通项公式．
设Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2．
Sn＝2Sn－Sn
＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1
＝－1－3×＋(3n－1)·2n－1
＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1
＝2＋(3n－4)·2n－1．
∴ 数列{an}的前n项和公式为Sn＝2＋(3n－4)·2n－1．
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