初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解).doc

相似三角形难题易错题
一．填空题（共2小题）
1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=　_________　．

二．解答题（共17小题）
3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．

4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．

5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．

6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．

9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．

10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．
求证： ．

11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．

12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．
求证：（1） （2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．

13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．

14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．

15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．

16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．

17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．
（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）

18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．

19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．

20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证1AB+1AC=1BC　　

提示：要证明如1a+1b=1c几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为a+bab=1c或a+ba=bc，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。②通分法：将原等式变为ca+cb=1，利用相关定理将两个个比通分即：ca=md，cb=nb，且m+n=d，则原式成立。
2013初中相似三角形难题易错题
参考答案与解析
　一．填空题（共2小题）
1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

考点：
平行线分线段成比例．725636
专题：
计算题．
分析：
由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF．
解答：
解：在△ABC中，因为EF∥AB，
所以EF：AB=CF：CB①，
同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②，
①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．
设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
x：6+x：9=1，
解得x=．
故EF=厘米．
点评：
考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．

2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=　　．

考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．725636
专题：
计算题．
分析：
首先作辅助线：取AB的中点M，连接OM，由平行四边形的性质与三角形中位线的性质，即可求得：△EFB∽△EOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可求得BF的值．
解答：
解：取AB的中点M，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∴OM∥AD∥BC，OM=AD=c，
∴△EFB∽△EOM，
∴，
∵AB=a，AD=c，BE=b，
∴ME=MB+BE=AB+BE=a+b，
∴，
∴BF=．
故答案为：．

点评：
此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．

二．解答题（共17小题）
3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．

考点：
相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定．725636
专题：
证明题．
分析：
过D引DE∥AB，交AC于E，因为AD平分∠BAC（=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．
解答：
证明：过D引DE∥AB，交AC于E．
∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°．
又∠BAD=∠EDA=60°，
所以∴△ADE是正三角形，
∴EA=ED=AD．①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，
∴===1﹣．②
由①，②得=1﹣，
从而+=．

点评：
本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED∽△CAB是解题的关键．

4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．

考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．725636
专题：
证明题．
分析：
应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．
解答：
证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．
在△EIH中，由于DF∥IH，
∴=．
∵IH=AB，∴=，
从而，﹣=﹣===1+．①
在△OED与△OBH中，
∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，
∴△OED≌△OBH（AAS）．
从而DE=BH=AI，
∴=1．②
由①，②得﹣=2．

点评：
此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题．

5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．
求证：．

考点：
三角形的面积．725636
专题：
证明题．
分析：
连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证．
解答：
证明：如图，连接BE、AD，
∵△BDE与△DCE等高，∴=，
∵△DCE与△ADE等高，∴=，
∵△ADF与△BDF等高，∴=，
∵△AEF与△BEF等高，∴=，
∴=，
∴••=••=1．

点评：
此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比．

6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

考点：
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．725636
专题：
计算题．
分析：
由FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB∽△AFG∽△ABC，于是=，=，再结合=，先计算式子右边的和，易求++==2，从而有++=2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可．
解答：
解：∵FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，
∴四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，
∴△IHB∽△AFG∽△ABC，
∴=，=，
∴++=，
又∵DE=PE+PD=AI+FB，
AF=AI+FI，
BI=IF+FB，
∴DE+AF+BI=2×（AI+IF+FB）=2AB，
∴++==2，
∵DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，
∴++=++=2，
∴++=2，
解得d=306．

点评：
本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质．

7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

考点：
平行线分线段成比例．725636
分析：
由平行线的性质可得===，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长．
解答：
解：∵AD∥BC，EF∥BC，
∴===，
又==，==，
∴OE=BC=，OF=AD=，
∴EF=OE+OF=15．
点评：
本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．

8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．

考点：
相似三角形的判定与性质．725636
专题：
证明题．
分析：
由于AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可．
解答：
证明：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，AB∥CD，
∴==
∴﹣=﹣==1．
点评：
本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．

9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．

考点：
相似三角形的判定与性质；梯形．725636
专题：
计算题．
分析：
由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长．
解答：
解：∵MN∥BC，∴在△ABD中，=，即OM==，
同理ON==，
∴MN=OM+ON=．
点评：
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．

10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．
求证： ．

考点：
平行线分线段成比例．725636
专题：
证明题．
分析：
（1）由平行线可得△PIF∽△CAB，得出对应线段成比例，即==，同理得出==，即可证明结论；
（2）证明方法与（1）相同．
解答：
证明：（1）∵DE∥AB，IH∥AC，FG∥BC，
∴可得△PIF∽△CAB，
∴==，
同理==，
++=++=1．

（2）仿（1）可得==，===，
∴++=++=1．
点评：
本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论．

11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．

考点：
相似三角形的判定与性质；梯形．725636
专题：
计算题．
分析：
由平行线可得对应线段成比例，又由已知EF=FG=CH=HI=IJ，可分别求出线段AB、CD与AE、CJ的关系，进而可求解结论．
解答：
解：∵AB∥CD，EF=FG=CH=HI=IJ，
∴==，
∴==，==，
∴DJ=4AE，又=，
解得AB=AE，
又AE=CJ，
∴AB=CJ，EB=4CJ，
==，
CD=5CJ，
∴AB：CD=：5=1：2．
点评：
本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．

12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．
求证：（1） （2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．

考点：
平行线分线段成比例．725636
专题：
证明题．
分析：
（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．
（2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设≤，即3AD≤PD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论．
解答：
解：（1）由面积概念得：
S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC①
整理等式得：
++=1，②
由面积概念得：
=，=，
∴=，
即=③
同理得：
=④
=⑤
把式③、④、⑤、代入式②得：
；

（2）由，知，，中至少有一个不大于，
不妨设≤即3AD≤PD．
而AD=AP+PD，
∴AP≥2PD，
∴≥2，即不小于2，
同理可证三式中至少有一个不大于2．

点评：
本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题．

13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．

考点：
相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．725636
专题：
证明题．
分析：
利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEF∽△MAB，从而EF∥AB
解答：
证明：过B作BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE．
∵BG∥AC，
∴∠CAE=∠G，
∴∠BAE=∠G，
∴BA=BG．又BD⊥AG，
∴△ABG是等腰三角形，∠ABF=∠HBF，
∴F到AB与BH的距离相等，
∴S△ABF：S△HBF=AB：BH，
∵S△ABF：S△HBF=AF：FH，
∴AB：BH=AF：FH．
又M是BC边的中点，且BH∥AC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，
∴AB：AC=AF：FH．
∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，
∴AB：AC=BE：EC，AF：FH=BE：EC，即
（AM+MF）：（AM﹣MF）=（BM+ME）：（BM﹣ME）
（这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC）．
由合分比定理，上式变为AM：MB=FM：ME．
在△MEF与△MAB中，∠EMF=∠AMB，
∴△MEF∽△MAB
∴∠ABM=∠FEM，所以EF∥AB．
点评：
此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的理解和掌握，证明此题的关键是过B引BG∥AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H．和利用合分比定理．

14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．

考点：
相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质．725636
专题：
证明题．
分析：
要证QH⊥DH，只要证明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，从而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ与△DHC相似．
解答：
证明：在Rt△PBC中，∵BH⊥PC，
∴∠PBC=∠PHB=90°，
∴∠PBH=∠PCB．
显然，Rt△PBC∽Rt△BHC，
∴=，
由已知，BP=BQ，BC=DC，
∴=，∴=．
∵∠ABC=∠BCD=90°，∠PBH=∠PCB，
∴∠HBQ=∠HCD．
在△HBQ与△HCD中，∵=，∠HBQ=∠HCD，
∴△HBQ∽△HCD，
∴∠BHQ=∠DHC，
∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC．
又∵∠BHQ+∠QHC=90°，
∴∠QHD=∠QHC+DHC=90°，
即DH⊥HQ．

点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三角形的判定方法．

15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．

考点：
直角三角形斜边上的中线；勾股定理．725636
专题：
证明题．
分析：
以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，根据旋转的旋转可得△MCQ与△MBN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=QC，MN=MQ，全等三角形对应角相等可得，∠MBN=∠C，再连接PN，可以证明PM垂直平分NQ，所以PN=PQ，然后证明△PBN为直角三角形，根据勾股定理即可证明．
解答：
证明：如图，以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，
∴△MCQ≌△MBN，
∴BN=QC，MN=MQ，∠MBN=∠C，
连接PN，∵PM⊥QM，
∴PM垂直平分NQ，
∴PN=PQ，
∵△ABC是直角三角形，BC是斜边，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠MBN=90°，
即△PBN是直角三角形，
根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2，
∴PQ2=PB2+QC2．

点评：
本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以PQ、PB、QC转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键．

16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．

考点：
相似三角形的判定与性质；平行线的判定．725636
专题：
证明题．
分析：
由题中条件可得AC=AF，即△ACF是等腰三角形，所以EC=EF，进而得出∠ECF=∠EFC，结论得证．
解答：
证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAD=∠BCD，又AE平分∠CAB，CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠CAE，∠B=∠ACD，
∴∠B+∠ECF=∠B+∠BCF，即∠ACF=∠AFC，
又AE平分∠CAB，∴AC=AF，∴CE=EF，
即∠ECF=∠EFC，
∴∠EFC=∠BCF，即EF∥BC．
点评：
本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌握．

17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．
（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）

考点：
相似三角形的判定与性质．725636
专题：
证明题．
分析：
用∠APB=∠APC=120°，∠CBP=∠BAP两个对应角相等证明△PAB∽△PBC，根据相似比可证到结论．
解答：
证明：∵∠APB=120°，
∴∠ABP+∠BAP=60°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠ABP+∠CBP=60°，
∴∠CBP=∠BAP，
又∵∠APB=∠APC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
∴=，
∴BP2=PA•PC．
点评：
本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相似，然后根据相似对应边成比例证明结论．

18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．

考点：
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．725636
专题：
证明题．
分析：
过B作BC的垂线交CE的延长线于点F，从而可推出AC∥BF，根据平行线的性质可得到两组对应角相等从而可判定△ACE∽△BFE，根据相似三角形的对应边对应成比例可得到AC=2BF，进而得到CD=BF，再利用HL判定△ACD≌△CBF，由全等三角形的性质得其对应角相等，再根据等角的性质不难证得结论．
解答：
证明：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F，（1分）

∴∠FBC=∠ACB=90°．
∴AC∥BF．

∴△ACE∽△BFE．（3分）
∴．
∴AC=2BF．（4分）

∵AC=BC，
∴CD=BF．（5分）
在△ACD和△CBF中
，
∴△ACD≌△CBF．（6分）
∴∠1=∠2．
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°．
∴∠4=90°．
∴CE⊥AD．（7分）

点评：
此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质及相似三角形的判定及性质的综合运用．

19．（巧解妙解）如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．

考点：
平行线分线段成比例．725636
专题：
应用题．
分析：
作已知图形的中心对称图形，如图所示，设BF=a，FG=b，GE=c，由平行线的性质分别求出a，b与c之间的关系，即可得出其比值．
解答：
解：如答图所示．
作已知图形的中心对称图形，以E为对称中心．令BF=a，FG=b，GE=c．
∵M′C∥AM，N′C∥AN
∴a：（2b+2c）=BM：MC=1：2
∴a=b+c，而（a+b）：2c=BN：NC=2：1
∴a+b=4c，所以a=c，b=c．
∴BF：FG：GE=5：3：2．

点评：
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，要求线段的比，通过作平行线构造比例线段是一种重要的方法．

20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证1AB+1AC=1BC　　

提示：要证明如1AB+1AC=1BC将原等式变为AB+ACAB*AC=1BC或AB+ACAB=ACBC，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．
证 延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=AB＋AC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．
　　设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则:∠A+∠B+∠C=7α=180°．
　　由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以 ∠ACE=180°-4α＝3α，
　　所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．从而
∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．
　　∵AE=AC，AE=BD，
∴ BE=BD，△BDE是等腰三角形，
∴∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，
∴ △ABC∽△DAE，
∴ADAE=ABBC，即AB+ACAC=ABBC　　
∴1AB+1AC=1BC

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