高中数学选修21综合试卷.doc

数学选修2-1
一、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 椭圆x216+y225=1的焦点坐标为(　　)
A. (0,±3) B. (±3,0) C. (0,±5) D. (±4,0)
2. 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于(    )
A. 12 B. 22 C. 2 D. 2
3、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为(　　)
A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 90∘
4、△ABC中，B(−4,0)，C(4,0)，|AB|+|AC|=10，则顶点A的轨迹方程是(    )
A. x225+y29=1(x≠±3) B. x225+y29=1(x≠±5)
C.  x225+y216=1(x≠±3) D.  x225+y216=1(x≠±5)
5.已知P(8,a)在抛物线y2=4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为(　 　) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
6.命题“∃x0∈R，x0+cosx0−ex0>1”的否定是(　　)
A. ∃x0∈R，x0+cosx0−ex0<1 B. ∃x0∈R，x0+cosx0−ex0≥1
C. ∀x∈R，x+cosx−ex≥1 D. ∀x∈R，x+cosx−ex≤1
7.给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1<1”；
④在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件．
其中正确的命题的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.椭圆x216+y29=1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线斜率为(　　)
A. 916 B. 932 C. 964 D. −932
9.若A点坐标为(1,1)，F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则|PA|+|PF1|的最大值为(　　)
A. 6−2 B. 6+2 C. 5+2 D. 7+2
10.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP⋅FP的最大值为(　　) A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
11.直线l：x−2y−5=0过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为(　　)
A. x220−y25=1 B. x25−y220=1 C. x24−y2=1 D. x2−y24=1
12.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC//AD，且AB=BC=2，AD=3，PA⊥平面ABCD且PA=2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为(　　)
A. 427 B. 77 C. 33 D. 63
二、 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.抛物线x2=12y 的准线方程为_______．
14.若方程x24−k+y2k−1=1的曲线是椭圆，则k的取值范围是______ ．
15.“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线(a−1)x+3y−2=0平行”的______ 条件.(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)
16.给出下列命题：
①直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量b=(2,1，−12)，则l与m垂直；
②直线l的方向向量a=(0,1，−1)，平面α的法向量n=(1,−1,−1)，则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为n1=(0,1，3)，n2=(1,0，2)，则α//β；
④平面α经过三点A(1,0，−1)，B(0,1，0)，C(−1,2，0)，向量n=(1,u，t)是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是______.(把你认为正确命题的序号都填上)
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.命题P：函数y=lg(−x2+4ax−3a2)(a>0)有意义，命题q：实数x满足x−3x−2<0．
(1)当a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18.已知命题p：“曲线C1：x2m2+y22m+8=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“曲线C2：x2m−t+y2m−t−1=1表示双曲线”．
(1)若命题p是真命题，求m的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．

19.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆右焦点且倾斜角为45∘的直线与椭圆交于AB两点，求AB的长．

20.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0.b>0)的离心率为3，虚轴端点与焦点的距离为5．

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．

21.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1和BCC1B1均为正方形，且所在平面互相垂直．
(Ⅰ)求证：BC1⊥AB1；(Ⅱ)求直线BC1与平面AB1C1所成角的大小．

22. 如图，棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22． (1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角P−CD−B余弦值的大小；
(3)求点C到平面PBD的距离．

2-1数学
1【答案】A解：根据题意，椭圆的方程为x216+y225=1，其焦点在y轴上，且a=25=5，b=16=4，则c=25−16=3，则椭圆的焦点为(0,±3)；
2、【解析】解：∵椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，∴b=c
∴a=b2+c2=2c ∴e=ca=c2c=22 故选B．
3.【解析】解：∵A1B//D1C，
∴异面直线直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C，
∵△AD1C为等边三角形，∴∠AD1C=60∘．故选：C．
由A1B//D1C，得异面直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C.
4.【答案】B
解：∵△ABC中，B(−4,0)，C(4,0)，|AB|+|AC|=10，
∴|BC|=8
∵|AB|+|AC|=10>8=|BC|
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，a=5，c=4，则b=3，
所求椭圆方程为：x225+y29=1，x≠±5．故选B．
5.【解析】解：设点P(8,a)在抛物线y2=4px(p>0)上的射影为M，则M(−p2,m)，
依题意，|PM|=|PF|=10，即8−(−p2)=10，∴p=4.即点F到抛物线准线的距离等于4．故选：B．
6.【答案】D
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x0+cosx0−ex0>1”的否定是：∀x∈R，x+cosx−ex≤1；故选：D．
7.【解析】【分析】
解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；
②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”，故正确；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1<1”，故正确；
④在∆ABC中，“A>B”⇔“a>b”⇔“2RsinA>2RsinB”⇔“sinA>sinB”，
故“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，故正确【答案】D
8.解：设弦的两端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆得x1216+y129=1x2216+y229=1，
两式相减得(x1+x2)(x1−x2)16+(y1+y2)(y1−y2)9=0，即(x1+x2)(x1−x2)16=−(y1+y2)(y1−y2)9，
9.【解析】解：椭圆5x2+9y2=45即为x29+y25=1，
可得a=3，b=5，c=2，∵|PF1|+|PF2|=2a=6，
那么|PF1|=6−|PF2|，所以|PF1|+|PA|=6−|PF2|+|PA|
=6+(|PA|−|PF2|) 根据三角形三边关系可知，
当点P位于P2时，|PA|−|PF2|的差最大，此时F2与A点连线交椭圆于P2，
易得|AF2|=2，此时，|PF1|+|PA|也得到最大值，其值为6+2．故选：B．
求得椭圆的标准方程，可得a=3，|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6−|PF2|，所以|PF1|+|PA|=6−|PF2|+|PA|=6+(|PA|−|PF2|)，由此结合图象能求出|PF1|+|PA|的最大值．
10.【解析】解：由题意，F(−1,0)，设点P(x0,y0)，则有x024+y023=1，解得y02=3(1−x024)，
因为FP=(x0+1,y0)，OP=(x0,y0)，所以OP⋅FP=x0(x0+1)+y02=x024+x0+3，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=−2，
因为−2≤x0≤2，所以当x0=2时，OP⋅FP取得最大值224+2+3=6，故选C．
11.【解析】解：直线l：x−2y−5=0经过点(5,0)，可得c=5，即a2+b2=25，①
由题意可得直线l平行于渐近线y=bax，可得12=ba，②
由①②解得a=25，b=5，则双曲线的方程为x220−y25=1．故选：A．
12.【解析】解：依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP
为x，y，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，AB=BC=2，AD=3，PA=2，则P(0,0，2)，
B(2,0，0)，C(2,2，0)，D(0,3，0)，
从而PB=(2,0，−2)，PC=(2,2，−2)，PD=(0,3，−2)，
设平面PCD的法向量为n=(a,b，c)，n⋅PC=0n⋅PD=0即3b−2c=02a+2b−2c=0，不妨取c=3，则b=2，a=1，所以平面PCD的一个法向量为n=(1,2，3)，所以PB与平面PCD所成角的正弦值sinθ=|cos<PB，n>|=|2−622+(−2)2⋅12+22+32|=|−77|=77，故选：B．
13.【答案】y=−3【解答】解：∵x2=12y，∴p=6且表示焦点在y 正半轴上的抛物线，∴准线方程为y=−p2=−3，故答案为y=−3．
14.【答案】1<k<4且k≠52解：由曲线x24−k+y2k−1=1表示椭圆，
可得4−k>0k−1>04−k≠k−1，即k<4k>1k≠52，解得1<k<4，且k≠52．故答案为1<k<4且k≠52
15.【答案】充分不必要
解：a=3时，2x+3y+1=0和2x+3y−2=0平行，是充分条件，
若直线2x+ay+1=0和直线(a−1)x+3y−2=0平行，
则2a−12a−1=a3，解得：a=3或a=−2，不是必要条件，故答案为充分不必要．
16.【答案】①④【解析】解：对于①，∵a=(1,−1,2)，b=(2,1，−12)，
∴a⋅b=1×2−1×1+2×(−12)=0，∴a⊥b，∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，a=(0,1，−1)，n=(1,−1,−1)，∴a⋅n=0×1+1×(−1)+(−1)×(−1)=0，∴a⊥n，∴l//α或l⊂α，②错误；对于③，∵n1=(0,1，3)，n2=(1,0，2)，
∴n1与n2不共线，∴α//β不成立，③错误；对于④，∵点A(1,0，−1)，B(0,1，0)，C(−1,2，0)，∴AB=(−1,1，1)，BC=(−1,1，0)，向量n=(1,u，t)是平面α的法向量，∴n⋅AB=0n⋅BC=0，即−1+u=0−1+u+t=0；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．
17.【答案】解：(1)由−x2+4ax−3a2>0得x2−4ax+3a2<0，
即(x−a)(x−3a)<0，其中a>0，得a<x<3a，a>0，
则p：a<x<3a，a>0．若a=1，则p：1<x<3，由x−3x−2<0解得2<x<3．
即q：2<x<3．若p∧q为真，则p，q同时为真，即1<x<32<x<3，解得2<x<3，
∴实数x的取值范围(2,3)．(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
∴即(2,3)是(a,3a)的真子集．所以3a≥3a≤2，解得1≤a≤2．实数a的取值范围为[1,2]．
18.【答案】解：(1)若p为真：则m2≥2m+82m+8>0，解得−4<<−2，或m>4；
(2)若q为真，则(m−t)(m−t−1)<0，即t<m<t+1，
∵p是q的必要不充分条件，则{m|t<m<t+1}⊊{m|−4<<−2，或m>4}
即−4≤t≤t+1≤−2或t≥4解得−4≤t≤−3或t≥4．
19.【答案】解：(1)由题意的焦点在x轴上，设椭圆方程：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由c=1，e=ca=12，则a=2，则b2=a2−c2=3，∴椭圆的方程为：x24+y23=1；(2)直线的AB的斜率k=tan45∘=1，则直线AB的方程为y=x+1，则3x2+4y2=12y=x+1，整理得：7x2+8x−8=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−87，x1x2=−87，∴|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=2(−87)2−4×(−87)=247，∴AB的长247．
20【答案】解：(1)由题意，得ca=3，c2+b2=5，c2=a2+b2，解得a=1，c=3，b=2，
∴所求双曲线C的方程为：x2−y22=1．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0)，
由x2−y22=1x+y+m=0得x2−2mx−m2−2=0(判别式△=8m2+8>0)，
∴x0=x1+x22=m，y0=x0+m−2m，
∵点M(x0,y0)，在圆x2+y2=5上，∴m2+(2m)2=5，∴m=±1．
21.【答案】(Ⅰ)连接B1C，由题设，AC⊥CC1，BC⊥CC1，所以∠ACB是二面角A−CC1−B的平面角．又平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，所以∠ACB=90∘，即AC⊥CB，
所以AC⊥平面BCC1B1，进而AC⊥BC1．由四边形BCC1B1是正方形，得CB1⊥BC1，
因此BC1⊥平面AB1C，故BC 1⊥AB1.                                                      

(Ⅱ)易知CA，CB，CC1两两垂直，建立如图所示坐标系，设AC=1，则A(1,0，0)，B(0,1，0)，B1(0,1，1)，C1(0,0，1)，AC1→=(−1,0，1)，AB1→=(−1,1，1)，BC1→=(0,−1,1)，设平面AB1C1的法向量为m→=(x,y，z)．由{AC1→·m→=0,AB1→·m→=0,得{x−z=0,x−y−z=0,可取x=1，得m→=(1,0，1)．设BC1与平面AB1C1所成的角为θ，所以sinθ=|cos<BC1→,m→>|=12，又0∘≤θ≤90∘，所以θ=30∘．
22【答案】证明：(1)∵棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22．
∴PA⊥BD，AB=BD2−AD2=(22)2−22=2，
∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．解：(2)∵棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，
PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=22．
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∴∠PDA是二面角P−CD−B的平面角，∵PA=AD=2，PA⊥AD，∴∠PDA=45∘，∴cos∠PDA=cos45∘=22，∴二面角P−CD−B余弦值为22．(3)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则C(2,2，0)，B(2,0，0)，D(0,2，0)，P(0,0，2)，PB=(2,0，−2)，PD=(0,2，−2)，PC=(2,2，−2)，设平面PBD的法向量n=(x,y，z)，则n⋅PB=2x−2z=0n⋅PD=2y−2z=0，取x=1，得n=(1,1，1)，
∴点C到平面PBD的距离：
d=|PC⋅n||n|=23=233．
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