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,*,*,大学文科数学,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,第一章 微积分,1.3,导数与微分,第1页,1.3,导数与微分,主要教学内容：,导数与微分概念，计算,高阶导数,隐函数导数与微分,分段函数导数,经济学函数弹性,用微分作近似计算,二元函数导数与微分,第2页,1.3,导数与微分,导数概念,1.,曲线切线斜率,圆切线：与圆相交于唯一点直线,但对于普通曲线,切线是不能这么定义例以下列图中右边曲线在,P,点处切线,除,P,点外还交曲线于,Q,点。,第3页,1.3,导数与微分,为确切表示切线含义,需应用极限思想请看下列图,第4页,1.3,导数与微分,点,P(,x,0,f(x,0,)=P(,x,0,y,0,),是曲线,y=f(x),上给定点,点,Q(x,y)=Q(x,f(x),是曲线上动点,可在,P,两侧：在右侧时,x,x,0,；在左侧时,x,x,0,动直线,PQ,是曲线割线,假如动点,Q,无限地迫近定点,P,时,动直线,PQ,有一个,极限位置,PT,即,则称,PT,为,曲线在,P,点切线,第5页,建立,PT,方程,只需确定其斜率因为,PT,是,PQ,极限,从而,PT,斜率是,PQ,斜率极限,极限过程是由,QP,产生而,QP,即,x,x,0,现设,PT,对于,x,轴倾角,(,即,x,轴正向逆时针旋转至,PT,经过角,),为,PT,斜率就为,k,=tan,1.3,导数与微分,现在割线,PQ,斜率为,则切线,PT,斜率为：,由此得切线,PT,方程是：,y,f,(,x,0,)=,k,(,x,x,0,),所以有必要讨论如,k,表示那类极限！,第6页,1.3,导数与微分,2.,导数定义,定义,设函数,y=f(x),在,点,x,0,一个邻域,X,内,(36,页下,),有定义，,y,0,=f(x,0,),。,假如,xX x,0,，我们称,x=xx,0,(,读作,delta),为,自变量改变量,，,y=f(x)f(x,0,),为,函数,(,对应,),改变量,，比值 为函数,差商或平均改变率。,假如极限 存在，则称函数,y=f(x),在点,x,0,可导,(,或可微,),，,该极限称为函数,y=f(x),在,x,0,点关于自变量,x,导数,(,或微商,),记作 因,x=xx,0,，,x=x,0,+x,，故还有,“函数平均改变率”是整体（区间）概念；“函数改变率”是局部（点）概念。,第7页,此时，曲线,y,=,f,(,x,),在点,(,x,0,，,f,(,x,0,),切线方程是,注,.x,可正可负，依,x,大于或小于,x,0,而定,1.3,导数与微分,第8页,1.3,导数与微分,依据定义求已知函数,y=f(x),在,给定点,x,0,导数步骤是：,1.,计算函数在自变量,x,0,+x,处函数值,f(x,0,+x),；,2.,计算函数对应改变量,y=f(x,0,+x)f(x,0,),；,3.,写出函数差商,4.,计算,x,x,0,（,x,0,）时极限，即导数值,第9页,1.3,导数与微分,例,1.3.1,求常数函数,y=c,导数,解 因,y=y(x+x)y(x)=c c=0,，,差商,此处,x,可为任意实数，即常数函数,y,在任意点,x,处导数均为,0.,第10页,1.3,导数与微分,例,1.3.2,设,n,是正整数，求幂函数,y=x,n,在点,x,处导数,解因,尤其，当,n,=1,时，函数,y=x,在任意点,x,处导数均为,1,第11页,1.3,导数与微分,例,1.3.3,求曲线,y,x,3,在点,(2,8),处切线方程,解在上例中取,n,=3,可知函数,y,x,3,在点,x,处导数为,3x,2,，于是在点,(2,，,8),处切线斜率是：,y,(2)=32,2,=12,，故曲线,y,x,3,在,(2,8),处切线方程是,:,y,8,=,12(,x,2),，即,12,x,y,16,=,0,第12页,1.3,导数与微分,注,:,(1),普通情况下，给定函数,y=f(x),在某个区间,X,内每一点都可导，这么可求出,X,内每一点导数,y(x),，,xX,于是,y(x),成为,X,内有意义一个,新,函数，它称为给定函数,y=f(x),导函数,，且经常省略定义中字样,“,在,x,点处关于自变量,”,，甚至简称为“,f(x),导数”,比如,:,常数函数,y=c,导数是,0,，,y=x,导数是,1,，,y=x,n,导数是,nx,n-1,等等，分别记作,c=0,，,x=1,，,(x,n,)=nx,n-1,等，,而不尤其指明“在某点导数”,(2),关于改变量记号,，应把它与其后面变量,x,或,y,看作一个整体，绝不能把,x,看成,与,x,乘积，为防止误解，用,(x),2,来表示,x,平方,导数是局部（点）概念，导函数是整体（定义域内）概念,（本质上是点概念）,。不过“导函数”往往又简称为“导数”。,第13页,1.3,导数与微分,例,1.3.4,y=sinx,导数是,(sinx)=cosx,，,y=cosx,导数是,(cosx)=sinx,证,同理可证，,(cos,x,)=,sin,x,第14页,1.3,导数与微分,例,1.3.5,y=,log,a,x,(0,a,1),导数是,(log,a,x,)=,尤其，,(ln,x,),=,1,x,第15页,1.3,导数与微分,例,1,.3.6,指数函数,y=a,x,(0,a,1),导数是,(,a,x,)=,a,x,ln,a,证：,(,a,x,)=,尤其，,第16页,1.3,导数与微分,1.3.2.,改变率问题,1.,运动速度问题,设一质点沿直线运动，经过旅程,s,是时间,t,函数：,s=s,(,t,),时刻,t,到,t+,t,时间段内质点平均速度为：,该瞬时速度,v,(,t,),就是极限：,即质点运动速度是旅程,s,关于时间,t,导数,（本质上是点概念）,。,第17页,1.3,导数与微分,例,1.3.7,已知自由落体运动方程为,s=,（,1/2,）,gt,2,，其中,g 9.8(m/s,2,),是重力加速度常数，,t,与,s,分别以秒,(s),和米,(m),为单位求：,(1),落体在,t,到,t+t,时间内平均速度；,(2),落体在,t=,2,，,t,=0,.,1,，,0,.,01,，,0,.,001,，,0,.,0001,这些时间段内平均速度,;,(3),落体在,t,及,t=,2,时刻瞬时速度,解,(1),落体在,t,到,t+,t,时间内行程是,s,=-=,所以平均速度,=.,第18页,1.3,导数与微分,(2),按照,(1),所求出平均速度表示式，我们用下表列出,t=,2,开始各个时间段内平均速度：,t,时刻瞬时速度：,在,t=,2,时刻瞬时速度是：,v,(2)=2,g,29,.,8=19,.,6(,m/s,),第19页,1.3,导数与微分,2.,经济学函数边际,（不作为基本要求）,边际：导数在经济理论中别名,设,y=f,(,x,),是某个经济学函数经济学把自变量在,x,0,处改变一个单位所引发函数改变称为函数,f,(,x,),在,x,0,处,边际改变,自变量单位大小可能引发大小不一样误差比如成本函数,C,=,C,(,x,),，自变量,x,是产量，用吨作单位与千克作单位，引发成本改变就相差很大为减小这种误差，应取尽可能小单位但不论取多小单位，自变量取值还是非负整数为了利用科学微积分工具，我们假定成本等经济学函数自变量,x,可取连续非负实数值,第20页,1.3,导数与微分,下面仍以成本函数,C,=,C,(,x,),为例,自变量,(,产量,),x,0,x,0,+,x,改变,x,(,个单位,),函数,(,成本,),C,(,x,0,),C,(,x,0,+,x,),改变,C,=,C,(,x,0,+,x,),C,(,x,0,),差商是,x,个产量平均成本，即从,x,0,到,x,0,+,x,时,1,个单位自变量改变引发函数平均改变假如,x=,1,，得,C,(,x,0,),C,=,C,(,x,0,+1),C,(,x,0,),由此可见，,C,(,x,0,),近似地表示产量从,x,0,增加,1,个单位时添加成本，或近似地表示第,x,0,+1,个单位产量成但经济学中常略去,“,近似,”,二字，把,C,(,x,0,),称为边际成本，并解释为在产量,x,0,水平上，再增加,1,个单位产量所增加成本,定义,设经济学函数,y=f,(,x,),在,x,0,可导，则称导数,f,(,x,0,),为函数,f,(,x,),在,x,0,处边际值；,若,f,(,x,),是可导函数，则导数,f,(,x,),称为,f,(,x,),边际函数,第21页,1.3,导数与微分,例,1.3.8,设某产品总成本函数为,C,(,x,)=1100+,，其中,x,为产量数求,(1),生产,900,个单位时总成本与平均成本,;,(2),生产,900,个单位到,1000,个单位时总成本平均改变率,;,(3),生产,900,个单位时边际成本，并解释其实际经济意义,解,(1),生产,900,个单位时总成本为,C,(900)=1100+=1775,此时平均成本为,第22页,1.3,导数与微分,(2),生产,900,个单位到,1000,个单位时总成本平均改变率为,(3),生产,x,个单位时边际成本为 ，所以生产,900,个单位时边际成本为,.,其经济意义是：当产量在,900,水平上，若生产增加,(,或降低,)1,个单位，成本将增加,(,或降低,)1,.,5,注,:,此处,C,(900)=1,.,5,，指是近似于,1,.,5,，即生产第,901,个产品成本近似于,1,.,5,，生产第,900,个产品成本也近似于,1,.,5,实际上，经计算,C,(901),C,(900)1,.,5008,C,(900),C,(899)1,.,4992,第23页,教材第,51,页上,（应该熟记）,基本初等函数导数公式,第24页,1.3,导数与微分,已得基本初等函数导数,（导函数）,公式以下：,第25页,1.3,导数与微分,1,.3.3,微分概念,在学习了导数之后，我们来学习与导数相伴微分概念让我们回到导数定义图，并放大,P,点邻近图形,:,第26页,在光滑曲线,y=f,(,x,),上点,P(x,0,f,(x,0,),邻近，曲线看起来像直线,(,就是过,P,切线,),，其斜率是导数,f,(x,0,),因为一次函数计算比绝大多数别函数简单，所以我们能够期望在,P,邻近近似地用切线,PT,来代替曲线，即用,一次函数（直线）,y=f,(x,0,)+,f,(x,0,)(,x,x,0,),来代替,y=f,(,x,).,设函数,y=f,(,x,),可导，其图象是光滑曲线，取定点,P(x,0,，,f,(x,0,),，以下列图 所表示,1.3,导数与微分,第27页,1.3,导数与微分,第28页,1.3,导数与微分,第29页,1.3,导数与微分,第30页,1.3,导数与微分,第31页,定义：,设函数,y=f(x),在,x,0,可导，则,x,线性倍数,f(x,0,),x,称为,y=f(x),在,x,0,对应于自变量改变量,x,微分,，记作,d y=f(x,0,),x.,注,1,.,微分依赖于两个原因：,(1),函数导数,f(x,0,),；,(2),自变量改变量,x,一旦,x,0,取定，导数,f(x,0,),也就取定，此时微分仅与,x,成正比，百分比系数即,f(x,0,),1.3,导数与微分,第32页,1.3,导数与微分,第33页,定理,1.3.1,若函数,y=f(x),在,x,0,可导,则,f(x),在,x,0,连续,1.3,导数与微分,第34页,现在,y,dy,，得计算函数值近似公式,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,)+,f,(,x,0,),x,例,1.3.9,求函数,y=x,在,x,处对应于自变量改变量,x,微分,解 因,x=,1,，故微分为,dy=y,(,x,),x,=1,x,=,x,另首先，,y=x,，,dy=dx,由此得,dx=,x,这表明自变量微分等于自变量改变量,1.3,导数与微分,第35页,于是又可把微分,dy=f,(,x,0,),x,写成,dy=f,(,x,0,),dx,注意,dx=,x,是自变量,x,改变量，恒不为,0,，又可得到,总而言之，对每一函数,y=f,(,x,),，有导数,(,可导,),与有微分,(,可微,),是同一件事，求导数与求微分运算规律就完全统一在下述公式中：,dy=f,(,x,),dx.,1.3,导数与微分,第36页,从前面得到导数公式有以下微分公式,：,1.3,导数与微分,第37页,函数,y=f(x),在点,x,0,导数概念和记法为,函数,y=f(x),微分为：,dy=f(x)dx,1.3,导数与微分,第38页,1.3,导数与微分,已得基本初等函数导数公式以下：,第39页,1.3.4,导数与微分计算,1.,导数与微分四则运算,设,u=u(x),v=v(x),为可导函数，,c,为常数，则,公式,1.(uv)=u v,d(uv)=dudv.,证,u(x)+v(x),1.3,导数与微分,第40页,公式,2,.(uv)=uv+uv,d(uv)=vdu+udv,证：,2.3,导数与微分,第41页,公式,3.,(cu)=cu,d(cu)=cdu,证：,2.3,导数与微分,第42页,2.3,导数与微分,第43页,1.3,导数与微分,第44页,1.3,导数与微分,例,12,求,y=tanx,y=cotx,导数。,第45页,1.3,导数与微分,例,13,求,y=secx,y=cscx,导数,第46页,1.3,导数与微分,例,14,求,y=(1+4x)(2x,2,-3x,3,),导数,第47页,1.3,导数与微分,例,15,求函数,y=(x+sinx)lnx,微分。,第48页,2.,复合函数导数与微分,定理,1.3.2,（链锁法则）,设,z=f(y),y=g(x),分别在点,y,0,=g(x,0,),与,x,0,可导，则复合函数,z=f(g(x),在,x,0,可导，且,1.3,导数与微分,第49页,链锁法则几点说明,1.,略去法则中,x=x,0,与,y=y,0,法则成为公式,2.,计算复合函数值过程为：,而复合函数求导过程为：,1.3,导数与微分,第50页,1.3,导数与微分,例,16,求,y=sin5x,导数,第51页,1.3,导数与微分,例,17,求,y=lncosx,导数,第52页,1.3,导数与微分,例,18,求幂函数,y=x,m,导数,m,为任意实数,.,第53页,注,3.,链锁法则能够推广到多层次中间变量复合函数。,(,板书,;,分层脱衣,),注,4.,在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量,v,u,z,等可无须写出，只要,心中有数,即可。,注,5.,链锁法则微分形式为：,1.3,导数与微分,第54页,例,19,求 导数,1.3,导数与微分,第55页,例,1.3.19,求函数 微分,.,1.3,导数与微分,第56页,基本初等函数导数与微分公式,例,2.3.20,求 微分,(,符号函数,sign x),1.3,导数与微分,第57页,1.3,导数与微分,第58页,导数导数,二阶导数,定义：,若函数,y=f(x),导数,y=f(x),可导，则称,y=f(x),导数：,(y)=f(x),为,y=f(x),二阶导数，记作：,y=f(x).,递推地，若函数,y=f(x),n-1,阶导数存在且可导，则函数,y=f(x),n,阶导数为：,统称为函数,y=f(x),高阶导数。,1.3,导数与微分,第59页,1.3,导数与微分,第60页,1.3,导数与微分,第61页,隐函数导数与微分,定义,：由方程,F(x,y)=0,其中,x,为自变量，,y,为因变量，确定函数,y=f(x),称之为隐函数。,比如：,有能够从方程中解出,y,，表示为显函数,y=f(x),，有不能。,1.3,导数与微分,第62页,隐函数求导方法,方法,1.,在方程,F(x,y)=0,中，把,y,看成,x,函数：,y=y(x),于是方程可看成关于,x,恒等式,F(x,y(x)=0.,其两端对,x,求导，即可求出隐函数导数。,1.3,导数与微分,第63页,方法,2,：,对方程两边求微分，再导出导数,。,1.3,导数与微分,第64页,例,1.3.26,一飞机在离地面,1200m,高空以速率,150(m s),向探照灯,L,沿水平直线飞行,(,见右图,),探照灯强光照在机身试问：当飞机在地面上正投影,A,离探照灯,600m,时，为使灯光不离开机身，探照灯应以怎样速度逆时针旋转,?,1.3,导数与微分,第65页,解 记时间变量为,t,，探照灯光线仰角,(,由地平线逆时针转向光线角,),为,=(t),，飞机在地面上正投影,A,离探照灯,L,距离,LA,为,x,=,x,(,t,),，它们都是,t,函数按题意,首先建立变量,与,x,联络方程：,tan =1200 x,-1,对此方程两边求微分：,1.3,导数与微分,第66页,1.3,导数与微分,第67页,例,1.3.27,求曲线,x,2,+,xy,+y,2,=,4,在点,(2,2),处切线方程,.,解过点,(2,2),切线由其斜率确定,.,为此先求该方程确定函数,y=y,(,x,),在,x,=2,处导数,.,对方程,x,2,+,xy,+y,2,=,4,两边求微分得：,2,x d x,+,x d y,+,y dx,+2,y d y,=0,(,x,+2,y,),dy,=(,y,+2,x,),dx,由此解出,再将,x,=2,y,=2,代入,即得,1.3,导数与微分,第68页,1.3,导数与微分,第69页,分段函数导数,主要研究分段函数在分段点可导性,(,以,x,表示自变量改变量，符号非本质,),1.3,导数与微分,第70页,1.3,导数与微分,（右导数、左导数概念）,第71页,从图中看到,在函数,y=f,(,x,),图象上点,(0,1),处没有切线,因为在其左边有一条,“,半切线,”,斜率是,1,但在其右边有一条,“,半切线,”,斜率是,0.,1.3,导数与微分,第72页,左，右导数定义,1.3,导数与微分,第73页,1.3,导数与微分,第74页,1.3,导数与微分,第75页,本节结束,谢谢！,1.3,导数与微分,第76页,