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四川省2017年高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=
A． B． C． D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．(+)(2-)5的展开式中33的系数为
A．-80 B．-40 C．40 D．80
5． 已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆
有公共焦点，则C的方程为
A． B． C． D．
6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2π
B．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=
D．f(x)在(,π)单调递减
7．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，
则输入的正整数N的最小值为
A．5 B．4
C．3 D．2

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B． C． D．
9．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A．-24 B．-3 C．3 D．8
10．已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
11．已知函数有唯一零点，则a=
A． B． C． D．1
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．
14．设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
15．设函数则满足的x的取值范围是_________。
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所称角的最小值为45°；
④直线AB与a所称角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．
20．（12分）
已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．
21．（12分）
已知函数 =x﹣1﹣alnx．
（1）若 ，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．
23．[选修45：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围．

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参考答案

一、选择题：
1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A
11．C 12．A
11、【解析】由条件，，得：

∴，即为的对称轴，
由题意，有唯一零点，
∴的零点只能为，
即，
解得．
12、【解析】由题意，画出右图．
设与切于点，连接．
以为原点，为轴正半轴，
为轴正半轴建立直角坐标系，
则点坐标为．
∵，．
∴．
∵切于点．
∴⊥．
∴是中斜边上的高．

即的半径为．
∵在上．
∴点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：

而，，．
∵
∴，．
两式相加得：

(其中，)
当且仅当，时，取得最大值3．
二、填空题：
13． 14． 15． 16．②③
16、【解析】由题意知，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1，
故，，
斜边以直线为旋转轴旋转，则点保持
不变，
点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．
以为坐标原点，以为轴正方向，为
轴正方向，
为轴正方向建立空间直角坐标系．
则，，
直线的方向单位向量，．
点起始坐标为，
直线的方向单位向量，．
设点在运动过程中的坐标，
其中为与的夹角，．
那么在运动过程中的向量，．
设与所成夹角为，
则．
故，所以③正确，④错误．
设与所成夹角为，
.
当与夹角为时，即，
．
∵，
∴．
∴．
∵．
∴，此时与夹角为．
∴②正确，①错误．
三、解答题：
17．（1）由得，
即，又，
∴，得.
由余弦定理.
又∵代入并整理得
，故.
（2） ∵，
由余弦定理.
∵，即为直角三角形，
则，得.
由勾股定理.
又，则，
.

18．⑴易知需求量可取

.
则分布列为：

⑵ ①当时：，此时，当时取到.
②当时：

此时，当时取到.
③当时，

此时.
④当时，易知一定小于③的情况.
综上所述：当时，取到最大值为.

19．
⑴ 取中点为，连接，；
为等边三角形
∴
∴
.
∴,即为等腰直角三角形，
为直角又为底边中点
∴
令，则
易得：，
∴
由勾股定理的逆定理可得
即

又∵
由面面垂直的判定定理
可得
⑵ 由题意可知
即,到平面的距离相等
即为中点
以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
易得：，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，解得
，解得
若二面角为，易知为锐角，
则

20．⑴ 显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设，，，
联立：得，
恒大于，，．

∴，即在圆上．
⑵ 若圆过点，则

化简得解得或
①当时，圆心为，
，，
半径
则圆
②当时，圆心为，
，，
半径
则圆

21．⑴ ，
则，且
当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意；
当时，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增．
①若，在上单调递增∴当时矛盾
②若，在上单调递减∴当时矛盾
③若，在上单调递减，在上单调递增∴满足题意
综上所述．
⑵ 当时即
则有当且仅当时等号成立
∴，
一方面：，
即．
另一方面：
当时，
∵，，
∴的最小值为．

22．⑴ 将参数方程转化为一般方程
……①
……②
①②消可得：
即的轨迹方程为；
⑵将参数方程转化为一般方程
……③
联立曲线和
解得
由解得
即的极半径是．

23．⑴ 可等价为.由可得：
①当时显然不满足题意；
②当时，，解得；
③当时，恒成立.综上，的解集为.
⑵ 不等式等价为，
令，则解集非空只需要.
而.
①当时，；
②当时，；
③当时，.
综上，，故.

8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。
9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。
10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。

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